II. Елементи квантової механіки

2.1. Гіпотеза Луї де Бройля. Корпускулярно-хвильовий дуалізм

У 1924 р. (за даними [4] у 1923 р.) французький фізик-теоретик Луї де Бройль (н. 1892 р.), аналізуючи корпускулярно-хвильові властивості світла, цілком підтверджені дослідним шляхом, а також теорію Бора будови атома, висунув гіпотезу про існування аналогії між властивостями світла і частинок речовини.

Як відомо, для світла існують співвідношення, які зв’язують хвильові характеристики (частоту ν і довжину хвилі λ) з корпускулярними (енергією і імпульсом ) у такій формі:

, , (2.1)

де ; - хвильовий вектор, модуль якого . За аналогією до співвідношення (2.1) Л. де Бройль припустив, що будь-якій частинці речовини масою m, яка рухається зі швидкістю , можна зіставити хвильовий процес, для якого енергія і імпульс збігаються з тими значеннями енергії рухомої частинки і її імпульсу, які задаються теорією відносності

, , де ,

тобто рухомій частинці мають відповідати певні частоти та довжини хвилі

, , звідки . (2.2)

Відповідно до гіпотези Л. де Бройля, потоку вільних електронів притаманні як корпускулярні, так і хвильові властивості.

Співвідношення де Бройля (2.2) мають універсальний характер і застосовуються для аналізу корпускулярно-хвильових властивостей як світла, так і рухомих частинок. Співвідношення (2.1) є частинним випадком (2.2), бо стосується об’єктів електромагнітної природи і ультрарелятивістських за властивостями (, і т. ін.).

Знайдемо вирази для фазової і групової швидкостей поширення хвиль де Бройля. Фазова швидкість визначається співвідношенням

. (2.3)

Оскільки , то з виразу (2.3) випливає, що . Для фотонів у вакуумі , у цьому випадку . Одержаний результат не повинен непокоїти, оскільки на величину фазової швидкості немає ніяких обмежень.

Це також не створює яких-небудь суперечностей з теорією відносності, яка забороняє існування швидкостей, більших за швидкість світла . Твердження теорії відносності справедливі тільки для процесів, пов’язаних з перенесенням маси і енергії. Фазова ж швидкість хвилі не характеризує швидкість перенесення енергії і маси частинки. Їх перенесення характеризується не фазовою, а груповою швидкістю хвиль де Бройля.

Групова швидкість визначається за формулою:

.

Оскільки (у нерелятивістському випадку)

, то , тоді

. (2.4)

У релятивістському випадку . Тоді , тобто групова швидкість хвиль де Бройля завжди дорівнює швидкості частинки.

Рис. 2. 1

Гіпотеза Луї де Бройля була підтверджена експериментально.

У 1927 р. американські фізики

К. Д. Девіссон (1888 – 1959) і Л. Х. Джермер (1896-1971) вивчали відбивання прискорених електронів від металевих поверхонь. На рис. 2.1 зображено схему установки, що включає в себе вакуумну трубку, в яку вміщено електронну гармату, монокристал нікелю, шліфована поверхня якого паралельна кристалографічній площині з індексами Міллера (1, 1, 1) слугує мішенню, і детектор, який можна повертати і встановлювати під різними кутами .

Рис. 2. 2

У досліді сформований електронною гарматою моноенергетичний пучок електронів падав на монокристал нікелю. Згідно з класичною теорією відбиті кристалом електрони мали розлітатися врізнобіч. Переміщенням детектора можна виміряти силу струму відбитих електронів під різними кутами , яка не повинна сильно залежати від кута та енергії електронів. Однак досліди засвідчили протилежне: сила струму відбитих електронів великою мірою залежить від кута вильоту, орієнтування кристала, а також від енергії електронів, що формуються електронною гарматою. На рис. 2.2 наведено графік кутового розподілу відбитих електронів в одному з дослідів К. Д. Девіссона і Л. Х. Джермера. На кривій виявлено різкий максимум за кінетичної енергії і кута , що взагалі неможливо пояснити на підставі класичної теорії. Одержану картину можна пояснити тільки за припущення, що електронам притаманні хвильові властивості.

За кінетичної енергії 54 еВ електрон можна розглядати як нерелятивістську частинку, і його маса . На підставі формули (2.2) за кінетичної енергії 54 еВ довжина хвилі де Бройля дорівнює

.

Наявність максимумів сили струму відбитих електронів можна пояснити дифракцією електронних хвиль де Бройля аналогічно дифракції рентгенівських променів у дослідах Вульфа-Брегга. Максимуми на кривій кутового розподілу відбитих електронів у дослідах Девіссона і Джермера відповідають дифракційним максимумам; їх положення, знайдені експериментально, точно збігаються з обчисленими за умовою Вульфа-Брегга

(2.5)

де n – ціле число.

За допомогою рентгенівських променів було встановлено, що для даної орієнтації кристала ( за ) період . Підставивши це значення у формулу (2.5), одержимо

,

що добре узгоджується з гіпотезою де Бройля.

У 1928 р. радянський фізик П. О. Тартаковський (1895-1939) і англійський учений Д. П. Томсон (1892-1975) вивчали дифракцію прискорених електронів під час проходження крізь тонкі плівки металів. Було виявлено, що дифракційні картини, одержані за допомогою пучків електронів, подібні до дифракційних картин, які одержують під час проходження рентгенівських променів крізь металеву фольгу або шар монокристалічного порошку. Щоб переконатись у тому, що інтерференційна картина утворюється розсіяними електронами, а не вторинним рентгенівським випромінюванням, у просторі між металевою і фотографічною пластинами створювали магнітне поле. У випадку електронного розсіювання картина зміщувалась і була спотвореною, у випадку рентгенівських променів ніяких змін не відбувалось.

Після виявлення дифракції електронів перед вченими постало запитання: можливо хвильові властивості притаманні тільки потоку великої кількості електронів? У 1948 р. В. О. Фабрикант (р. 1907 р.), Л. М. Біберман (н. 1915 р.) і Н. Г. Сушкін на дослідах довели, що хвильові властивості має кожен електрон зокрема. Вони здійснили дифракцію електронів за такої малої сили струму, що кожний електрон проходив через прилад незалежно від інших. У разі досить тривалої експозиції спостерігалась така ж дифракційна картина, як і при короткій експозиції значної частини потоку електронів.

Відкриття хвильових властивостей електрона показало, що електрон не можна уявляти у вигляді маленької кульки. Він має корпускулярні і хвильові властивості. Прояв корпускулярних властивостей електрона вказує на те, що він неподільний під час взаємодії з іншими матеріальними об’єктами.

Відповідно до гіпотези де Бройля, хвильові властивості повинні мати не тільки електрони, але й будь-які частинки: протони, нейтрони, атоми і молекули. Дифракцію нейтронів вперше спостерігали в 1936 р. на монокристалах оксиду магнію. Дифракцію атомів гелію і молекул водню при відбиванні їх від кристалів LiF спостерігали німецькі фізики О. Штерн (1888-1969) та І. Естерман (1900-1973). Таким чином, гіпотеза Луї де Бройля цілком підтверджена експериментально для всіх матеріальних частинок і має універсальний характер. На основі цієї гіпотези було відкрито фундаментальний закон природи, що називається дуалізмом хвиль і частинок або корпускулярно-хвильовим дуалізмом.

Суть цього закону така. Будь-якому мікрооб’єкту притаманні властивості як частинки, так і хвильового поля. Енергія мікрооб’єкта пропорційна частоті його хвилі, а імпульс – хвильовому вектору. Обидва коефіцієнти пропорційності однакові, не залежать від природи об’єкта і дорівнюють сталій Планка

; (2.6)

, (2.7)

де ; - частота хвилі; - циклічна частота; - хвильовий вектор; - одиничний вектор, перпендикулярний до хвильової поверхні.

За відкриття хвильової природи електрона Луї де Бройлю в 1929 р. була присуджена Нобелівська премія (див. [4]).

Перевага електронних пучків порівняно з пучками рентгенівського випромінювання полягає в їх здатності відхилятись під дією електричних і магнітних полів. Це дає змогу сфокусувати електронний пучок за допомогою системи спеціально підібраних індукційних котушок і конденсаторів і сконструювати різні електронні лінзи та електронні мікроскопи.

Відзначимо, що немає лінз для рентгенівського випромінювання.

Завдяки малій довжині хвилі, що відповідає потоку електронів, роздільна здатність електронних мікроскопів значно вища, ніж оптичних приладів, що широко застосовується для вивчення структури різних матеріалів. Перевага електронної методики полягає у тому, що вона дає змогу одержати значно більші інтенсивності, ніж може дати рентгенівське випромінювання. Це дає змогу суттєво скоротити час експозиції і досліджувати кінетику процесів, які відбуваються в поверхневих шарах металів при їх шліфуванні, гартуванні тощо.

Дифракція нейтронів лежить в основі нейтронографії – методу дослідження структури речовини у різних агрегатних станах.

З експериментальними методиками дослідження дифракції мікрочастинок і перевагою їх пучків у порівнянні з рентгенівськими пучками повніше можна ознайомитись за літературними джерелами [1] - [3] та іншими.