- •I . Борівська теорія атома
- •1.1. Закономірність в атомних спектрах
- •1.2. Модель атома Томсона
- •1.3. Досліди по розсіянню -частинок. Ядерна модель атома
- •1.4. Постулати Бора. Дослід Франка і Герца
- •1.5. Елементарна борівська теорія водневого атома
- •II. Елементи квантової механіки
- •2.1. Гіпотеза Луї де Бройля. Корпускулярно-хвильовий дуалізм
- •2.2. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга
- •2.3. Рівняння Шредінгера
- •2.4. Фізичний зміст псі-функції
- •2.5. Квантування енергії
- •2.6. Рух вільної частинки
- •2.7. Частинка в нескінченно глибокій потенціальній ямі
- •2.8. Гармонічний осцилятор
- •2.9. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр
- •2.10. Квантування моменту імпульсу
- •III. Квантова теорія атомів і молекул
- •3.1. Квантова теорія атома водню
- •3.2. Багатоелектронні атоми
- •3.2.1. Спектри лужних металів
- •3.2.2. Нормальний ефект Зеємана
- •3.2.3 Мультиплетність спектрів і спін електрона
- •3.2.4 Механічний та магнітний моменти багатоелектонного атома
- •3.2.5. Розподіл електронів в атомі за станами. Періодична система елементів д.І. Менделєєва
- •3.2.6. Рентгенівські спектри
- •3.2.7. Енергія молекули
- •3.2.8. Молекулярні спектри
- •3. 2. 9 Комбінаційне розсіювання світла
- •3. 2.10. Вимушене випромінювання. Лазери
- •I. Борівська теорія атома………………………………………………………..…3
2.3. Рівняння Шредінгера
Оскільки мікрочастинки мають хвильові властивості, принципово неможливо використати класичну механіку для опису їхнього стану. У зв’язку з цим виникла необхідність створення механіки мікрочастинок, яка врахувала б їх хвильові властивості. Нова механіка, яку назвали хвильовою, або квантовою, була розроблена австрійським фізиком Е. Шредінгером (1887-1961), німецьким фізиком В. Гейзенбергом, англійським фізиком П. Діраком (н. 1902 р.) та іншими вченими.
Розвиваючи ідеї де Бройля про хвильові властивості мікрочастинок, Е. Шредінгер отримав у 1926 р. своє знамените рівняння. Він співставив руху мікрочастинки комплексну функцію координат і часу, яку назвав хвильовою функцією і позначив її грецькою буквою «псі» ( або ). Називають її псі-функцією.
Псі-функція характеризує стан мікрочастинки. Вигляд цієї функції (певне рівняння) знаходять рішенням рівняння Шредінгера:
. (2.18)
Тут - маса частинки, - функція координат і часу, яка дорівнює взятому зі зворотнім знаком потенціалу силового поля, в якому рухається частинка (), - уявна одиниця (), - оператор Лапласа. Результат дії цього оператора на певну функцію являє собою суму других часткових похідних цієї функції за координатами:
. (2.19)
Рівняння (2.18) з урахуванням (2.19) називають рівнянням Шредінгера у загальному вигляді.
Із рівняння (2.18) випливає, що вигляд псі-функції визначається функцією , тобто характером сил, що діють на частинку.
Рівняння Шредінгера є основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки. В цій області воно відіграє таку ж роль, як рівняння руху Ньютона в класичній механіці. Воно не може бути виведено з інших співвідношень. Його варто розглядати як основне передбачення, справедливість якого підтверджується тим, що всі випливаючи з нього наслідки самим точним чином узгоджуються з дослідними результатами.
Псі-функція вводиться як деякий допоміжний символ і не відноситься до безпосередньо спостережуваних величин. Проте її знання дає можливість статистично завбачити значення величин, які одержують експериментально, і які мають реальний фізичний зміст.
Оскільки в рівнянні (2.18) функція залежить від координат і часу, то очевидно, що псі-функція теж є функцією координат і часу, тобто
. (2.20)
Якщо силове поле, в якому рухається частинка, стаціонарне, то потенціал не залежить від часу і функція має смисл потенціальної енергії. У стаціонарних станах усі спостережувані фізичні параметри не змінюються з часом. Сама функція до таких параметрів не належить. Не повинні змінюватися з часом тільки фізично спостережувані величини, які можуть бути утворені з за правилами квантової механіки.
Хвильову функцію будь-якого стаціонарного стану однієї частинки можна представити у вигляді двох співмножників, один з яких залежить тільки від координат, другий – тільки від часу:
. (2.21)
Тут - повна енергія частинки, яка у стаціонарному полі залишається незмінною. Підставивши (2.21) у (2.18), отримаємо:
.
Скоротивши на загальний множник , прийдемо до диференціального рівняння, що визначає функцію :
. (2.22)
У рівняння (2.22) час не входить, і воно називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Зважаючи на те, що , рівняння (2.22) можна записати у вигляді
, (2.23)
де - частота хвильового процесу за гіпотезою де Бройля.
Якщо розглядати функцію в рівнянні (2.22) як оператор, дія якого на псі-функцію зводиться до множення на , то рівнянню (2.22) можна надати вигляду
. (2.24)
У рівняння (2.24) символом позначено оператор, що дорівнює сумі операторів і :
. (2.25)
Оператор називають оператором Гамільтона або гамільтоніаном.
Гамільтоніан є оператором енергії . У квантовій механіці іншим динамічним змінним також співставляються оператори координат, імпульсу, моменту імпульсу та ін. Для кожної динамічної змінної записується рівняння, аналогічне рівнянню (2.24). воно має вигляд
, (2.26)
де - оператор, що співставляється змінній . Значення подібних рівнянь виясняється в пункті 2.6.
Як стверджують автори [1], [2], [3], [5] та інші, рівняння Шредінгера у загальному вигляді і для стаціонарних станів задовольняють принципу суперпозиції.
Автори різних видань (наприклад [1], [2], [3], [5] та інші) пропонують різні можливі підходи для отримання рівняння Шредінгера. Нажаль на сьогодні нам невідомий шлях, обраний самим Шредінгером.
За створення хвильової механіки Е. Шредінгеру і П. Діраку у 1933 р. була присуджена Нобелівська премія.