2.9. Проходження частинки крізь потенціальний бар’єр

Нехай частинка, що рухається вздовж осі , зустрічає потенціальний бар’єр шириною і висотою (рис. 2.10). Потенціальна енергія в областях 1 і 3 , а в області 2 – .

Рис. 2.10

Відповідно до уявлень класичної механіки поведінка частинки проявлятиме наступний характер. Якщо енергія частинки більша висоти бар’єра (), частинка безперешкодно проходить над бар’єром із області 1 в область 3 майже без зміни енергії. Якщо менше (як показано на рис. 2.10), то частинка відштовхується від бар’єра і летить в зворотному напрямку; крізь бар’єр частинка проникнути не може. Вона може знаходитись тільки в тих точках простору, в яких потенціальна енергія менша від її повної енергії . Це випливає з того, що кінетична енергія частинки завжди має бути додатною величиною. Якщо , то імпульс частинки має уявне значення і її присутність там зовсім неприпустима.

У хвильовій теорії вказаному значенню імпульсу відповідає тільки експоненціальна залежність хвильової функції від координати. Тому зовсім інша картина має місце для квантових частинок. Рівняння Шредінгера для областей 1, 2 і 3 мають вигляд:

;

;

.

Розв’язками цих рівнянь будуть функції:

;

;

,

де ; .

Якщо частинка рухається зліва направо, їй відповідатиме хвиля де Бройля, яка поширюється в додатному напрямку осі . Враховуючи залежність від часу хвильової функції для хвилі падаючої і хвилі, що проходить крізь бар’єр, одержимо:

;

,

де ; .

Оскільки в даному випадку розглядаються дві хвилі: хвиля, що падає, і хвиля, що проходить крізь бар’єр, то вважатимемо, що . Амплітуда хвилі, яка проходить крізь бар’єр, менша від амплітуди падаючої хвилі: . Оскільки хвильова функція має бути неперервною, то має спадати всередині бар’єра зі зміною від до , а її амплітуда — зменшуватися від до . На основі цього вважатимемо , , тоді для одержимо співвідношення

; ; . (2.49)

Знайдемо ймовірність проходження частинки крізь потенціальний бар’єр (або коефіцієнт пропускання). Цей коефіцієнт називають прозорістю бар’єра. За означенням коефіцієнт пропускання дорівнює відношенню інтенсивності хвилі, що проходить крізь бар’єр, до інтенсивності хвилі, яка падає на межу поділу областей 1 і 2. Оскільки інтенсивність хвилі пропорційна квадрату амплітуди коливань, то коефіцієнт прозорості бар’єра

. (2.50)

Враховуючи співвідношення (2.49), вираз (2.50) перепишемо так:

. (2.51)

Формулу (2.51) можна узагальнити на випадок потенціального бар’єра довільної форми (рис. 2.11). Тоді бар’єр поділяють на ряд вузьких майже прямокутник бар’єрів з шириною , для кожного з яких коефіцієнт прозорості

.

З

Рис. 2. 11

гідно з основним положеннями теорії ймовірностей коефіцієнт прозорості потенціального бар’єра довільної форми

. (2.52)

Характерним є те, що енергія частинки при проходженні нею потенціального бар’єра не змінюється. Проходження частинки через потенціальний бар’єр називають тунельним ефектом, оскільки частинка не піднімається на вершину бар’єра, а проходить його нижче, ніби через тунель. Основи теорії тунельних переходів розроблені Л. У. Мандельштамом і М. О. Леонтовичем (1903 - 1981).

Тунельний ефект лежить в основі ряду фізичних явищ, які неможливо пояснити в межах уявлень класичної фізики. До них належать виникнення контактної різниці потенціалів і холодна емісія електронів з металів, α-розпад, спонтанний поділ атомних ядер, ядерні реакції. Явище тунельного ефекту лежить в основі дії тунельних діодів, а також роботи тунельних електронних мікроскопів з високою роздільною здатністю ( м) та ін.

Зауважимо, що автори різних робіт (наприклад [2], [5], та ін.) використовують різні математичні форми розрахунків коефіцієнта прозорості. Однак кінцевий результат співпадає з наведеними нами даними [3].