2.8. Гармонічний осцилятор

Поняття осцилятор можна застосувати до фізичних систем, в яких наявні періодичні коливальні процеси. Вони характеризуються значенням деякої величини , що періодично змінюється з часом. Величина залежить від природи коливального процесу. Якщо потенціальна енергія частинки змінюється за законом

, (2.44)

де - константа коливального процесу, то осцилятор називають гармонічним. У випадку, коли до виразу (2.44) входять доданки з вищими степенями величини , осцилятор називають ангармонічним. Коливання атомів у двохатомних молекулах можна розглядати як коливання осцилятора. Іноді рух електрона в атомі розглядаються як коливальний рух лінійного гармонічного осцилятора. Електричні коливання в коливальному контурі також розглядають як коливальний рух осцилятора.

Згідно з класичною механікою осцилятор виконує гармонічні коливання з циклічною частотою . У квантовій теорії цю рівність варто розглядати як введення деякої нової сталої, а не як частоту коливань осцилятора. Скориставшись цією величиною, на підставі співвідношення (2.44), знаходимо, що потенціальна енергія одновимірного осцилятора

. (2.45)

Для такої системи рівняння Шредінгера має вигляд

. (2.46)

Складності знаходження хвильових функцій за рівнянням (2.46) зумовлені наявністю члена, до якого входить . Тому наведемо тільки результати розв’язку. Виявляється, що рівняння (2.46) має скінченні, однозначні, неперервні і гладкі рішення (власні функції) при власних значеннях енергії , що дорівнюють

, . (2.47)

Власні функції (за даними [3]) для енергетичних рівнів, коли мають вигляд:

;

;

,

де .

На рис. 2.9 наведено графік функції (крива 1), дозволені рівні енергії для та відповідний розподіл густини ймовірності (, , ). Точки і , і , і є тими точками, де потенціальна енергія дорівнює допустимій певній енергії для даного значення квантового числа .

На відміну від класичного осцилятора, мінімальна енергія якого дорівнює нулю, у квантового осцилятора мінімальна енергія

.

Її називають нульовою енергією.

Вона являє собою основний рівень квантового осцилятора.

У дискретному спектрі (2.47) проміжки між сусідніми рівнями не залежать від квантового числа . Таке розміщення енергетичних рівнів у спектрі називають еквідистантним.

Рис. 2.9

Те, що мінімальна енергія квантового осцилятора не дорівнює нулю, зумовлена квантовими властивостями системи і зв’язана із співвідношенням невизначеностей. Якби енергія частинки дорівнювала нулю, то частинка знаходилася б у спокої, а її імпульс і координата мали б одночасно певні значення, що суперечить вимогам принципу невизначеностей.

Наявність нульової енергії підтверджується експериментально, наприклад, при досліджені залежності розсіяння світла кристалами зі зміною їх температури.

Більш детальний розрахунок, що виходить за межі рівняння Шредінгера, показує, що для квантового осцилятора можливі переходи тільки між сусідніми «стаціонарними» рівнями, за яких квантове число змінюється на 1:

. (2.48)

Умову (2.48) називають правилом відбору для квантового гармонічного осцилятора.

При кожному з таких переходів випромінюється або поглинається фотон з енергією , де - його циклічна частота. Саме в цьому полягає фізичний зміст введеної величини . Стверджувати, що в стаціонарних станах квантовий осцилятор виконує коливання з частотою , принципово невірно, про що свідчать графіки розподілу щільності знаходження частинки при (див. [3] та [5]).