Следствия 4 - 8 докажите самостоятельно.

5.2. Базис линейного пространства

Определение 2. Пусть V - линейное пространство. Вектор u называется линейной комбинацией векторов x,y,..., z , если найдутся

такие числа α,β,..., γ , что

u = αx +βy +... +γz .

Определение 3. Система векторов x,y,..., z , принадлежащих

линейному пространству V , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа α,β,..., γ , не все равные нулю одновременно, что

выполняется равенство

αx +βy +... +γz = θ.

Определение линейно зависимой системы векторов можно дать в следующей эквивалентной форме, иногда более удобной.

Определение 3'. Система векторов x,y,..., z , принадлежащих

линейному пространству V , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Определение 4. Система векторов x,y,..., z , принадлежащих

линейному пространству V , называется линейно независимой, если из

равенства

αx +βy +... +γz = θ

следует, что α =β =... = γ = 0 .

Привлекая правила умножения матриц на число и сложения матриц, получим

Равенства (5.1) и (5.2) дают

µ = 0,

λ = 0,

2λ = 0,

откуда λ = µ = 0 , следовательно, A и B - линейно независимы.

Справедливы следующие два утверждения, которые приведем без доказательства.

Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Теорема 2. Всякая система векторов a1,a2 ,...,ar , содержащая линейно зависимую подсистему k векторов, k < r , линейно зависима.

Определение 5. Система векторов e1,e2 ,...,en линейного пространства V называется базисом в V , если

1)e1,e2 ,...,en линейно независима;

2)x V λ1,λ2 ,..., λn (вещественные числа):

Приведем примеры базисов в конкретных линейных

Решение. Составим линейную комбинацию векторов e1,e2 ,...,en+1

и приравняем ее нулевому вектору:

λ1e1 +λ2e2 +... +λn+1en+1 = θ,

или

λ1 +λ2 x +... +λn+1xn = 0 .

Имеет место основная теорема алгебры: всякий многочлен степени n с действительными коэффициентами имеет ровно n корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Это

степени ≤ n . В последней записи Pn (x) представлен в виде линейной комбинации векторов e1,e2 ,...,en+1 , что вместе с линейной независимостью этих векторов доказывает, что система e1,e2 ,...,en+1 -

базис в пространстве многочленов степени ≤ n (в соответствии с определением 5).

Пример 6. V - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2. Показать, что базисом является система

независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее θ :

λ1E1 +λ2 E2 +λ3E3 +λ4 E4 = θ,

или

Привлекая определение сложения матриц и произведения матрицы на число, получим

комбинации E1, E2 , E3 , E4 . В соответствии с определением 5 это вместе с доказанной выше линейной независимостью E1, E2 , E3 , E4 означает, что E1, E2 , E3 , E4 - базис.

= (α1e1 +α2e2 +... +αnen ) +((−1) β1e1 +(−1) β2e2 +... +(−1)βnen ) =

Допустив, что вектор x имеет два разложения по базису e1,e2 ,...,en , мы получили, что эти разложения совпадают, это и

означает, что координаты вектора x относительно базиса e1,e2 ,...,en

определены однозначно. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть V - линейное пространство, e1,e2 ,...,en -

базис в V . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,

Подставив (5.5) во все равенства (5.4), начиная со второго, получим

Для размерности линейного пространства V принято обозначение dim V .

В рассмотренных примерах:

1)если V - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, dim V = 3 ;

2)если V - линейное пространство всех многочленов степени

≤n , dim V = n +1 ;

3)если V - линейное пространство всех квадратных матриц

порядка 2, dim V = 4 .