Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Rzavinskay.pdf

Скачиваний:

564

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2.2. Ранг матрицы

Пусть A - прямоугольная матрица размера s ×n :

a11	a12	...	a1n
a	a	...	a
A = 21	22	...	2n .
...	...	...	...
	as2	...
as1	as2	...	asn

Назовем арифметическими n-мерными векторами упорядоченные наборы n чисел строки матрицы A и обозначим их через

α1 = (a11, a12 ,..., a1n ) , α2 = (a21, a22 ,..., a2n ) ,…, αs									= (as1, as2 ,..., asn ) .
Нулевым арифметическим вектором назовем θ = (0, 0,..., 0) .
Будем говорить, что система векторов									α1, α2 ,..., αs линейно
зависима,	если	ki , i =1,..., s ,			не	все		равные		нулю, что
k1α1 + k2α2 +... + ksαs = θ .
Система векторов α1, α2 ,..., αs					называется линейно независимой,
если она не является линейно зависимой.
Пример 3. В матрице
		1		−1	3	5	7
			3 4		−4 −2 −3
		A =
			4	3	−1	3	4

α1 = (1, −1,3,5,7) ,		α2 = (3, 4, −4, −2, −3) , α3 = (4,3, −1,3, 4) .
Решение.		Имеем			α3 = α1 +α2 ,				следовательно,
α1 +α2 +(−1) α3 = θ и система строк матрицы A линейно зависима.
Заметим, что и столбцы матрицы						A	можно рассматривать как
арифметические s -мерные векторы.
Определение 3. Пусть A - прямоугольная матрица размера s ×n .
Выберем в	A	произвольные		k	строк		и	k столбцов.		Элементы,

стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель M порядка k , который называется минором порядка k матрицы A .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы A называется рангом матрицы A .

Обозначение ранга A : rang A .

Пример 4. Найти ранг матрицы A :

1		−2	2	3
A =	2	−4	−3	5	.

Решение. Заметим, что миноры первого порядка - это элементы матрицы, выпишем их все (в данном случае, миноров первого порядка

восемь): 1, −2, 2, 3, 2, −4, −3, 5 .
Уже на этом шаге можно утверждать,														что	rang		A ≥1 , так как
среди миноров первого порядка есть отличные от нуля.
Выпишем все миноры второго порядка:
	1	−2	,	1 2	,	1	3	,		−2	2		,	−2	3	,	2 3
	1	−2	,	1 2	,	1	3	,		−2	2		,	−2	3	,	2 3
	2	−4		2 −3		2	5			−4	−3			−4	5		−3 5
и отметим,		что, например,				M1213 =			1		2	= −7		≠ 0	и по определению 4
и отметим,		что, например,				M1213 =			1		2	= −7		≠ 0	и по определению 4
									2		−3
rang A = 2		(миноры третьего порядка из												элементов матрицы A

составить нельзя, так как содержит всего две строки).

Пусть матрица A имеет размер s ×n и rang A = r . Это означает,

что хотя бы один минор M порядка r отличен от нуля, а все миноры порядка r +1 и выше равны нулю. Минор M называется базисным, а столбцы матрицы, его содержащие, - базисными столбцами матрицы A (строки, содержащие минор M , называются базисными строками).

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный

минор, линейно зависимы. Любой	столбец матрицы		A	является
линейной комбинацией базисных	столбцов	одного	и	того же
базисного минора.
Доказательство. Пусть rang	A = r и отличен от нуля минор M ,
расположенный в первых r строках и первых r		столбцах матрицы A ,
то есть в левом верхнем углу:

a	...	a	...
11		1r
... ... ... ...
A = a	...	a	...
r1		rr
... ... ... ...
	...	asr ...
as1	...	asr ...

a1n

...

arn .

... asn

Докажем сначала, что арифметические векторы

...11

, α

...21

as1

as2

a1r

=...asr

составляют линейно независимую систему.

Допустим,

что

α1, α2 ,..., αr

линейно

зависимы,

тогда

k1,..., kr , j, 1 ≤ j ≤ r ,

k j ≠ 0 , что

k1α1 + k2α2 +... + kr αr = θ ,

то есть

выполняется система тождеств:

a k

+ a

+... +a

= 0,

11 1

= 0,

+... + a

(2.4)

21 1

........................................

... + a

= 0.

s1 1

Первые r равенств системы (2.4) можно переписать в виде

a1 j

...11

+... + k

...

+... + k

...1r

...

Учитывая, что k j ≠

a1 j

...

arj

0 , отсюда получим

	k	a1 j		k		a
					r	1r
= −	1	...	−... −			...	;

	k j a			k j a
		rj				rr

j-й столбец определителя M оказался линейной комбинацией остальных. Тогда M = 0 - противоречие, и, следовательно, векторы

α1, α2 ,..., αr линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы A является линейной комбинацией первых r столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

		a11	...	a1r	a1l
∆l	=	... ... ...			...	,
		ar1	...	arr	arl
		ak1	...	akr	akl

полученный "окаймлением" минора M элементами k-й строки и l-го столбца, 1 ≤ k ≤ s, r +1 ≤ l ≤ n . Утверждается, что ∆l = 0 .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: k > r . Тогда ∆l - минор матрицы A порядка r +1 и по условию ∆l = 0 (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен r , следовательно, все миноры порядка r +1 равны нулю).

Случай 2:	k ≤ r .		Тогда		∆l	содержит		две одинаковые строки,
следовательно,	∆l = 0 .
Итак, всегда ∆l = 0 . Разложим ∆l							по последней строке.
Отметим,	что если			Akj -	алгебраическое дополнение к элементу
akj из последней строки определителя ∆l , то
A	=	a11	...	a1, j−1		a1. j+1 ...		a1l	(−1)r+1+ j ,

		...	...	...		...	...	...
kj		ar1	... ar, j−1			ar, j+1 ...		arl

и Akj не зависит от k			( k был номером строки в матрице A , а в ∆l эти

элементы занимают r +1 строку). Поэтому алгебраические дополнения

к элементам akj в ∆l ,	j =1,.., n , можем обозначить Aj .
∆l = ak1A1 + ak 2 A2 +... + akl M = 0
										M ≠0
a	= −	A1	a	−	A2	a	−... −	Ar	a .
					M
kl		M k1				k 2		M		kr

Полагая k =1,..., s , получим s равенств:

a1l = − MA1 a11 − MA2 a12 −... − MAr a1r ,

a2l = − MA1 a21 − MA2 a22 −... − MAr a2r ,

…………………………………………

asl = − MA1 as1 − MA2 as2 −... − MAr asr ,

или в матричной форме:

a1l			a11
a2l		A	a21
	= −	1		−
	= −	M		−
...		M	...

asl			a s1

то есть l -й столбец матрицы

	a12			a1r
A	a22		A	a2r
2		−... −	r		,
M		−... −			,
M	...		M ...

	as2			asr

A оказался линейной комбинацией

первых r столбцов с коэффициентами −

, −

,..., −

Было принято, что r +1 ≤ l ≤ n .

Если 1 ≤ l ≤ r , то

a1l

a11

a1l

a1r

= 0

+... +1

+... +0

...

asl

a s1

asl

asr

Таким образом, любой столбец матрицы A является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: через строки матрицы, содержащие базисный минор, линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице A некоторый минор M порядка r отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то rang A = r .

Доказательство этого утверждения опустим. Пример 5. Найти ранг матрицы A :

2		−1	3	−2	4
	4	−2 5		1	7
A =						.
	2	−1	1	8	2

Решение. Имеем M11 = 2 ≠ 0 (следовательно, rang A ≥1 ).

M1212 =	2	−1	= 0 ;	M1213 =	2	3	=10 −12 = −2 ≠ 0	( rang A ≥ 2 );

	4	−2			4	5

			M123123 =		2	−1	3
					2	−1	3
					4	−2	5	= 0 ;
					2	−1	1
M123134 =	2	3	−2	= 80 +6 −8 + 20 −2 −96 =106 −106 = 0 ;
	2	3	−2
	4	5	1
	2	1	8

M123135 =	2	3	4		2	3	4
M123135 =	4	5	7	=	0	−1	−1	= 0 .
	2	1	2		0	−2	−2

Таким образом, известен минор второго порядка, отличный от нуля ( M1213 = −2 ≠ 0 ), а все миноры третьего порядка, окаймляющие его, равны нулю, следовательно, rang A = 2 .

Базисный минор M1213 = 24 53 . Через первый и третий столбцы

линейно выражаются остальные столбцы матрицы.

Изложенный способ нахождения ранга матрицы называется

методом окаймляющих миноров.

Метод элементарных преобразований

Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1)перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число λ ≠ 0 ;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства.

Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Определение 6. Матрица A размером s ×n имеет диагональную

форму, если i j aij = 0 , кроме a11,..., arr , 0 ≤ r ≤ min(s, n) , то есть

a11		0
	0	a
		22
... ...
A =	0	0


... ...
	0	0

Отметим, что rang	A = r ,

...	0	...	0
...	0	...	0

...	...	...	...
...	arr	...	0	.

...	...	...	...

...	0	...	0

так	как		минор M порядка r ,

расположенный в левом верхнем углу (в первых r строках и первых r столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей).

Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.

Действительно, пусть

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A =	21	22		2n	.
A =	...	...	...	...	.
	...	...	...	...
		as2	...
	as1	as2	...	asn

Если i j

aij = 0 , то по определению 6

имеет диагональную

форму.

Если i j

aij ≠ 0 , то, переставляя

строки

и столбцы,

можно

добиться того, что a11 ≠ 0 .

Умножим все элементы первой строки на

a11

a12

...

a1n

A′ = a

...

... ...

as2

...

as1

asn

Первую строку, умноженную на

−a21 , прибавляем ко второй,

умноженную на −a31 - к третьей,…,

умноженную на −as1 -

к s -й.

Таким образом, получаем матрицу

	1	a12

		a11
		a11
A′′ = 0		a′
		22
... ...
	0	as′2
	0	as′2

... a1n a11

... a2′n .

... ...

... asn′

Первый столбец, умноженный на − a12 , прибавляем ко второму,...,

a11

умноженный на − a1n - к n -му, получим

a11

	1		0	...	0
		0	′′	...	′′
′′′			a22		a2n
	= ... ...			...	...	.
A
		0	′′	...	′′
			as2		asn

С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершаем аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.

				2		−1	3	−2	4
Пример	6. Найти	ранг матрицы			4	−2	5	1	7	с
				A =
					2	−1	1	8	2

помощью элементарных преобразований.								′
Решение. Договоримся			об обозначениях. Запись						будет
							A → A
означать, что	матрица	′	получена из	матрицы		A	с	помощью
		A

элементарных преобразований. При этом i -ю строку исходной матрицы A обозначим αi , а i -ю строку преобразованной матрицы A′ - α%i . Для

i -х столбцов будем использовать соответственно обозначения βi , β%i .

2 −1 3			−2 4				1		−1 3	−2 4
	4	−2 5	1	7		→		2 −2 5		1	7			→
					%								%
						=0,5 β1								=α2 +(−2) α1
	2	−1 1	8	2	β1			1	−1 1	8	2	α2
												%		=α3 +(−1) α1
													α3

		1 −1			3 −2 4															1 0 0 0					0
	→		0 0											→							0 0		−1 5					→
	→		0 0		−1 5 −1						%			→							0 0		−1 5		−1		%	→
											%							+β1									%		=β5
			0 0					β2 =β2										+β1			0 0		−2 10		−2	β2			=β5
			0 0		−2 10 −2 %						=β				+(−3) β						0 0		−2 10		−2	%			=β
									β		=β				+(−3) β												β	5	=β	2
										3				3					1									5		2
										β%		4	=β			4	+2 β
									β%			4				4		1
									β%	5	=β			5	+(−4) β
										5				5					1
	1 0			0 0 0														1			0 0 0 0

→ 0			−1	−1 5 0			α3			→									0		−1 −1 5 0			%			→
							α3	=α3 +(−2) α2																	β3 =β3 +(−1) β2
	0 −2 −2 10 0						%											0			0 0 0 0 %
	0 −2 −2 10 0																	0			0 0 0 0 %					=β4 +5 β2
																									β4	=β4 +5 β2
								1					0					0	0		0
						→			0			−1						0	0		0
						→			0			−1						0	0		0	.
									0				0					0	0		0
									0				0					0	0		0
	Матрица				приобрела						диагональную												форму,			rang A = 2
1	0	= −1 ≠		0
1	0
0	−1				.
0	−1

Упражнение. Найти ранг матрицы A методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований:

3		2	−1	2	0
	4	1	0	−3 0
A =						.
	2	−1	−2	1	1
	3	1	3	−9
					−1

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.201976.29 Кб40readmsg.doc
#
16.09.2019308.22 Кб51referatbank-8720.doc
#
27.03.20162.81 Mб813Rivlina_Blokkh.pdf
#
13.11.2019229.38 Кб14rpd_ib_ib_oib_090900.62.doc
#
21.08.2019517.63 Кб34Ryady_razdat_material.doc
#
27.03.20161.92 Mб564Rzavinskay.pdf
#
05.06.20153.93 Mб137SAVELEVA.pdf
#
05.06.201512.44 Кб35setup OrCAD.docx
#
27.03.2016996.57 Кб85Sharafutdinova_2012.pdf
#
05.06.201519.08 Кб180Short stories. Unit 12. The Dinner Party.docx
#
05.06.201585.5 Кб175Short stories. Unit 4. A Foul Play.doc

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A =	21	22		2n	.
A =	...	...	...	...	.
	...	...	...	...
		as2	...
	as1	as2	...	asn

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A =	21	22		2n	.
A =	...	...	...	...	.
	...	...	...	...
		as2	...
	as1	as2	...	asn

	a11	a12	...	a1n
	a	a	...	a
A =	21	22		2n	.
A =	...	...	...	...	.
	...	...	...	...
		as2	...
	as1	as2	...	asn