Ряды
1. Числовые ряды
Выражение
, (1)
где
– заданная числовая действительная
или комплексная последовательность,
называется числовым рядом.
Сумму первых n членов числового ряда обозначают через Sn и называют n-ой частичной суммой ряда (1):
(2)
Если
существует конечный предел последовательности
частичных сумм (2)
, то ряд (1) называется сходящимся,
а число S
–
суммой
ряда
(1). В противном случае ряд называется
расходящимся.
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то
.
Пример.
Доказать, что гармонический ряд
расходится, хотя необходимый признак сходимости выполняется.
Решение.
Рассмотрим разность частичных сумм с номерами 2n и n:
.
Заменяя каждое слагаемое меньшей величиной 1/2n, получаем
.
Получили,
что при
для гармонического ряда не выполняется
критерий Коши и, следовательно, ряд
расходится.
Пример.
Показать,
что ряд
расходится.
Решение.
Рассмотрим предел n-ого члена
Этот предел не существует (при четных n он равен 1, при нечетных -1), значит, необходимый признак сходимости не выполняется и ряд расходится.
2. Признаки сходимости рядов с положительными членами
Первый признак сравнения рядов. Пусть даны два ряда
(3)
и
, (4)
причем каждый член ряда (3) не
превосходит соответствующего члена
ряда (4), т.е.
.
Тогда если сходится ряд (4), то сходится
и ряд (3); если расходится ряд (3), то
расходится и ряд (4).
Второй
признак сравнения. Если существует
конечный и отличный от нуля предел
,
то оба ряда (3) и (4) сходятся или расходятся
одновременно.
Признак Коши. Если для ряда (3) существует
,
то этот ряд сходится при
и расходится при
.
Признак Даламбера. Если для ряда (3) существует
,
то этот ряд сходится при и расходится при .
Интегральный
признак. Если
при
–
непрерывная, положительная и монотонно
убывающая функция, то ряд (3), где
сходится или расходится одновременно
с несобственным интегралом
.
3. Признак сходимости знакопеременного ряда
Рассмотрим ряд, члены которого имеют чередующиеся знаки
, (5)
где
.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (5) сходится, если выполняются два условия:
1)
2) .
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд
(6)
сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей членов этого ряда, т.е. сходится ряд
. (7)
Если ряд (6) сходится, а ряд (7) расходится, то ряд (6) сходится условно.
Очевидно, что ряд (6) сходится, если сходится ряд (7). Ряд (7) является рядом с положительными членами, поэтому для исследования вопроса о его сходимости можно применять ранее рассмотренные признаки.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Сравним данный ряд с геометрическим
рядом
.
Так как
,
то по первому признаку сравнения
из сходимости геометрического ряда
(сумма бесконечно убывающей геометрической
прогрессии
)
следует сходимость данного ряда.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом. Поскольку
,
то по второму признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость данного ряда.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Дирихле
.
Решение.
Если
,
то общий член ряда не стремится к нулю,
т.е. необходимый признак сходимости не
выполняется, и ряд расходится. В случае
применим интегральный признак Коши.
Функция положительна и не возрастает
при
.
Рассмотрим интеграл
.
Поскольку несобственный
интеграл сходится при
и расходится при
,
то аналогично ведет себя и ряд Дирихле.
Если
,
то
.
Несобственный интеграл расходится, поэтому расходится и ряд Дирихле.
Итак, ряд Дирихле сходится при
и расходится при
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Рассмотрим предел отношения последующего члена к предыдущему
.
Так как
,
то по признаку Даламбера ряд сходится.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Рассмотрим предел
.
Так как , то по признаку Коши ряд сходится.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.
Так как
и
,
то выполнены условия признака Лейбница,
и данный ряд сходится. Ряд из абсолютных
величин членов, т.е. ряд
расходится (гармонический ряд).
Следовательно, исходный ряд сходится
условно.
Задачи.
Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость ряды:
12.1.
; 12.2.
;
12.3.
; 12.4.
;
12.5.
; 12.6.
.
Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряды:
12.7.
; 12.8.
;
12.9.
; 12.10.
;
12.11.
; 12.12.
.
Используя признак Коши, исследовать на сходимость ряды:
12.13.
; 12.14.
;
12.15.
; 12.16.
;
12.17.
; 12.18.
.
Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряды:
12.19.
; 12.20.
;
12.21.
; 12.22.
.
Используя признак Лейбница, исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды:
12.23.
; 12.24.
;
12.25.
; 12.26.
.
Исследовать на сходимость ряды:
12.27.
; 12.28.
;
12.29.
; 12.30.
;
12.31.
; 12.32.
;
12.33.
; 12.34.
;
12.35.
; 12.36.
.