Министерство образования Российской Федерации Московский государственный институт электронной техники (Технический университет)

Е.В. Ржавинская, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова

Лекции по линейной алгебре

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом института

Москва 2001

ББК 22.143 Р48

УДК 512.8

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, проф. А.М.Аллавердиев,

доц. Е.Н.Васильева.

Ржавинская Е.В., Олейник Т.А., Соколова Т.В.

Р48 Лекции по линейной алгебре. Уч. пособие. - М.: МИЭТ, 2001. - 92 с.: ил.

ISBN 5-7256-0276-1

Пособие представляет собой краткий курс линейной алгебры, соответствующий действующим в настоящее время государственным образовательным стандартам.

Тщательно продуманное изложение дало возможность в небольшом объеме охватить обширный материал. Лекции 1 и 2 посвящены определителям и матрицам, лекции 3 и 4 - системам линейных уравнений. В лекциях 5 - 8 рассматриваются линейные пространства и линейные операторы, действующие в них. Большое число примеров и упражнений значительно расширяет содержание руководства.

Пособие предназначено для студентов первого курса факультетов МПиТК и ИМЭ.

Учебное пособие

Ржавинская Елена Владимировна Олейник Татьяна Анатольевна Соколова Татьяна Владимировна

Лекции по линейной алгебре

Редактор Л.М.Рогачева. Выпускающий редактор С.В.Козинцева. Технический редактор Л.Г.Лосякова.

ЛР № 020516 от 12.05.97. Подписано в печать с оригинала макета 07.12.01. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л. 5,34. Усл.-изд. л. 4,6. Тираж300 экз. Заказ297.

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ. 103498, Москва, МИЭТ.

Предисловие

Курс "Линейная алгебра" в МГИЭТ, как и в большинстве технических вузов, читается в первом семестре и включает 34 часа лекций и 51 час практических занятий. Пособие написано на основе опыта преподавания авторами этой математической дисциплины на факультетах МП и ТК и ИМЭ. Оно охватывает часть курса, а именно: лекции 1 - 4 посвящены теории систем линейных уравнений, лекции 5 - 8 - линейным векторным пространствам и линейным операторам.

Значительное сокращение числа часов, отведенных на изучение ставшего традиционным курса линейным алгебры, привело к возникновению новой концепции курса (как и вообще подобных "старых" курсов).

Чтобы изложение не стало поверхностным, а сокращение объема материала не сказалось отрицательно на математической эрудиции слушателей, авторы пошли по следующему пути. Многие теоремы приводятся без доказательств, но при этом строго формулируются и иллюстрируются примерами. Усвоению материала, по замыслу авторов, должны способствовать подробно разобранные в тексте примеры и типовые задачи. Кроме того, в конце каждого параграфа приводятся упражнения для самостоятельной работы, к которым предполагается непременно обращаться на практических занятиях.

Таким образом, семинарские занятия примут на себя часть нагрузки по усвоению теоретического материала (значительно большую, чем это было ранее). Кроме того, студенты могут отрабатывать этот материал самостоятельно, формируя навыки работы с книгой, развивая математическое мышление, умение задавать вопросы и искать ответы на них.

При самостоятельной работе с пособием читателю следует обратить внимание на определения и формулировки теорем. Очень полезным при усвоении материала является вывод свойств и доказательство утверждений, формулировки которых приведены в пособии.

Так, в лекции 1 дано понятие матрицы и определителя произвольной размерности, приведены их свойства, часть из которых доказана, а оставшиеся свойства могут быть выведены читателем самостоятельно.

В лекции 2 введено понятие обратной матрицы, указано необходимое и достаточное условие ее существования и обоснован алгоритм построения. Доказательство свойств обратной матрицы предоставлено читателю в качестве упражнения. Кроме того, здесь же введено понятие ранга матрицы, приведены способы его нахождения.

В лекции 3 рассмотрены основные понятия, связанные с системами линейных уравнений, обоснован метод Гаусса их решения.

Лекция 4 посвящена общей теории систем линейных уравнений: доказано достаточное условие существования и единственности решения системы из n линейных уравнений с n неизвестными, обоснован алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений, введено понятие фундаментальной системы решений однородной системы, рассмотрена их связь с решениями неоднородной.

Влекции 5 введено аксиоматическое определение линейного пространства, приведены различные примеры, большое внимание уделено проверке аксиом для конкретных пространств.

Влекции 6 доказана теорема о преобразовании координат при переходе от одного базиса к другому, дано определение подпространств

иприведены их примеры.

Лекция 7 рассматривает понятие линейного оператора, его матрицы, доказана теорема о матрицах линейного оператора в разных базисах. Дано определение собственных векторов и собственных значений линейного оператора, доказана теорема о приведении матрицы линейного оператора к диагональному виду.

Лекция 8 посвящена евклидовым пространствам. Большое внимание уделено примерам и проверке аксиом. Введено понятие ортогонального и ортонормированного базиса, обоснован процесс ортогонализации.

Таким образом, в пособии отражены те темы и разделы курса "Линейная алгебра", которые вызывают наибольшее затруднение при изучении. Авторы считают, что пособие частично или полностью может быть использовано на всех технических факультетах.