Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Rzavinskay.pdf

Скачиваний:

564

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению всего одного определителя второго порядка.

Пример 7. Вычислить определитель порядка n :


	1		2	3 ...	n
	−1		0	3 ...	n
∆ =	−1		−2	0 ...	n		.
	... ... ... ... ...
	−1		−2	−3 ...	0
Решение. Первую строку прибавим ко второй, третьей и т.д. n -й
строке. Придем к определителю
		1	2	3 ...	n
		1	2	3 ...	n
		0	2	6 ...	2n
∆ =		0	0	3 ...	2n	.
		... ... ... ... ...
		0	0	0 ...	n

Получен определитель треугольного вида.

Применим n −1 раз теорему 1 (разложим по первому столбцу) и получим

	2	6 ...	2n			3	8 ...	2n
∆ =1	0	3 ...	2n	(−1)1+1	=1 2	0	4 ...	2n
∆ =1	... ... ... ...			(−1)1+1	=1 2	... ... ... ...
	0	0 ...	n			0	0 ...	Ln

Замечание. Определитель треугольного произведению элементов главной диагонали.

= ... = n!.

вида равен

1.3. Основные операции над матрицами

	Определение 5. Две матрицы			A =	aij	, i =1, 2,.., s , j =1, 2,.., n , и
B =	bij		, i =1, 2,.., s , j =1, 2,.., n ,	будем		называть равными, если

i j		aij = bij .

Краткая запись: A = B .

Таким образом, две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны.

Определение

Суммой двух

матриц

A =

aij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n ,

B =

bij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n , называется такая

матрица C =

cij

, i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n , что i

j cij

= aij +bij .

Иначе говоря, складывать можно только матрицы одних и тех же

порядков, причем сложение осуществляется поэлементно.

Пример 8. Найти сумму матриц

3 4

−2

0 −3

A =

5 и B = 3 7

8 .

1 −7

1 9

В соответствии с определением 6 находим

−1

C = A + B = 5

12 13 .

−6 15

Правило сложения матриц распространяется на сумму любого

конечного числа слагаемых.

Определение

Произведением

матрицы

A =

aij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n ,

на

вещественное

число

называется такая матрица

C = cij , i =1, 2,.., s , j =1, 2,.., n , для которой i j cij = λaij .

Иными словами, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все ее элементы и оставить полученные произведения на прежних местах.

Пример 9. Найти линейную комбинацию3A + 2B матриц

A = 2	1	−1	и B = −2		1		0	.
0	1	−4		−3	2		2
Пользуясь определением 7, получаем
3A = 6	3	−3	,	2B = −4		2		0	,
0	3	−12		−6		4		4

далее привлекаем определение суммы матриц (определение 6):

3A + 2B = 2 5

−3

−6 7

−8

Свойства операций сложения матриц

и умножения на число

Сложение коммутативно, A + B = B + A .

Сложение ассоциативно, (A + B) +C = A +(B +C) .

Существует

нулевая матрица

Θ ,

удовлетворяющая

условию A +Θ = A для всех А.

Для любой матрицы А существует противоположная матрица В,

удовлетворяющая условию A + B = Θ .

Для любых матриц А и В и любых действительных чисел

λ, µ

имеют место равенства:

λ(A + B) = λA +λB .

(λ +µ)A = λA +µA .

(λµ)A = λ(µA) .

1 A = A .

Проверим свойство 1.

Обозначим

C = A + B ,

D = B + A .

Пусть

C =

cij

, D =

dij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n . Имеем

b + a

b + a = d

ij определение 6

так как сложение чисел ij

коммутативно

и, так как равенство доказано для произвольного элемента, в соответствии с определением 5 C = D . Свойство 1 доказано.

Аналогично доказывается свойство 2.

В качестве матрицы Θ	возьмем матрицу порядка s ×n , все
элементы которой равны нулю.
0	...	0
	...
Θ = ...	...	... s строк
	...
0	...	0
1442443
n	столбцов

Сложив Θ с любой матрицей A по правилу, данному в определении 6, мы матрицы A не изменим, и свойство 3 справедливо.

a11

a12

...

a1n

...

Проверим свойство 4.

Пусть

A =

. Положим

...

... ...

as2

...

as1

asn

−a11

−a12 ...

−a1n

−a

...

−a

. Тогда

A + B = Θ , следовательно, свойство

B =

...

... ...

...

−as1

−as2 ...

−asn

4 справедливо.

Проверку свойств 5 - 8 опустим.

Определение 8.

Произведением матрицы A =

aik

i =1, 2,.., s ,

k =1, 2,.., p , на матрицу B =

bkj

k =1, 2,.., p ,

j =1, 2,.., n ,

называется

матрица

C =

cij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n ,

элементами

cij = ∑aik bkj = ai1b1 j + ai2b2 j +... + aipbpj .

k =1

Краткая запись: С = AB .

Пример 10. Найти произведение матриц

B =

−3

A =

−1

В соответствии с определением 8 находим

−3

AB =

−1

4 2 +9 1

4 (−3) +9 5

8 +9

−12 + 45

2 +3 1 (−1) (−3) +3 5

3 +

(−1)

−2 +3

1 18

Пример 11. Перемножить матрицы

−1

−1 3 1

и B

−2 1

A =

3 0 −2

0 −1 4

Имеем

			−1		3	0
5		−1 3 1		−2	1	1	=
AB =	2	0 −1 4		3 0		−2	=
	2	0 −1 4		3 0		−2
				4	1	2
				4	1	2

−5 +2 +9 + 4 15 −1+1			−1−6 + 2	10 15		−5
=	−2 −3 +16	6 + 4	2 +8	=	11 10	10	.

Замечание 1 . Число элементов в строке матрицы A равно числу элементов в столбце матрицы B (число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B ).

Замечание 2 . В матрице C = AB строк столько же, сколько в матрице A , а столбцов столько же, сколько в B .

Замечание 3 . Вообще говоря, AB ≠ BA (умножение матриц некоммутативно).

Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.

Пример 12. Перемножить в обратном порядке матрицы A и B из примера 10.

2		−3	4 9	8		+3	18 −9	11		9	≠ AB ,
BA =	1	5	−1 3	=	4	−5	9 +15	=	−1	24

таким образом, в общем случае AB ≠ BA .

Отметим, что в частном случае равенство AB = BA возможно. Матрицы A и B , для которых выполняется равенство AB = BA ,

называются перестановочными или коммутирующими.

Упражнения.

1. Найти все матрицы, перестановочные с данной:

а)	1	2	;	б) 1	1 .
	−1	−1		0	1

2.Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.

3.Доказать, что (AB)T = BT AT .

Свойства умножения матриц

1.Умножение дистрибутивно,

(A + B)C = AС + BC , A(B +C) = AB + AC .

2.Умножение ассоциативно, (AB)C = A(BC) .

Докажем

свойство

Пусть A =

aik

, i =1, 2,.., s ,

k =1, 2,.., p ,

B =

bik

, i =1, 2,.., s ,

k =1, 2,.., p , C =

ckj

k =1, 2,.., p , j =1, 2,.., n .

Обозначим

A + B =U =

uik

i =1, 2,.., s ,

k =1, 2,.., p ,

UC =T =

tij

i =1, 2,.., s , j =1, 2,.., n ,

AC =V =

vij

BC =W =

wij

Имеем

tij

∑uik ckj

∑(aik +bik )ckj =

по определению,

k =1

так как U

=A+B k =1

T =UC

= ∑(aik ckj +bik ckj ) = ∑aik ckj +∑bik ckj = vij + wij ,

k =1

14243

vij

wij

и, таким образом, в соответствии с определением 5

T =V +W , или,

возвращаясь к старым обозначениям,

( A + B)C = AС + BC . Свойство 1

доказано.

Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: A(B +C) = AB + AC . Опустим

доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.

Докажем

свойство 2.

Пусть

A =

aik

, i =1, 2,.., s , k =1, 2,.., r ,

B =

bkl

, k =1, 2,.., r , l =1, 2,.., p ,

C =

clj

, l =1, 2,.., p , j =1, 2,.., n .

Обозначим AB =U =

uil

, i =1, 2,.., s ,

l =1, 2,.., p ,

UC =T =

tij

i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n ,

BC =V =

vkj

k =1, 2,.., r ,

j =1, 2,.., n ,

AV =W =

wij

, i =1, 2,.., s ,

j =1, 2,.., n .

Имеем

tij

∑uil clj

∑aik bkl

вносим=

под

∑

clj c

∑

∑aik bkl clj

T =UC

l=1

U =AB l=1 k =1

l=1

k =1

знак внутренней

суммы

изменяем= порядок

выносим=

за

∑aik

∑

∑aik bkl clj a

∑bkl clj

суммирования

к=1

l=1

k =1

l=1

знак внутренней

суммы

a v

V =BC

∑ ik

W=AV

k =1

таким образом, T =W .

Вернемся к старым обозначениям и получим: ( AB)C = A(BC) , т.е.

свойство 2 доказано.

Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц A и B AB = A B .

Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2. Пример 13. Даны матрицы

							A =	1	2	и B =			0		−1
							A =			и B =			2	7		.
								3	5				2	7
Вычислить					AB		.
Вычислить					AB		.
		Воспользуемся теоремой 2:								A	= −1,		B		= 2			AB	=	A	B	= −2 .
		Воспользуемся теоремой 2:								A	= −1,		B		= 2			AB	=	A	B	= −2 .
		Найдем произведение AB непосредственно:
							1		2	0	−1				4 13
							AB =	3				=				32	.
								3	5	2 7			10			32
	AB	=	4	13		=128 −130 = −2 . Следовательно, результаты совпадают.


			10	32
			10	32

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.201976.29 Кб40readmsg.doc
#
16.09.2019308.22 Кб51referatbank-8720.doc
#
27.03.20162.81 Mб813Rivlina_Blokkh.pdf
#
13.11.2019229.38 Кб14rpd_ib_ib_oib_090900.62.doc
#
21.08.2019517.63 Кб34Ryady_razdat_material.doc
#
27.03.20161.92 Mб564Rzavinskay.pdf
#
05.06.20153.93 Mб137SAVELEVA.pdf
#
05.06.201512.44 Кб35setup OrCAD.docx
#
27.03.2016996.57 Кб85Sharafutdinova_2012.pdf
#
05.06.201519.08 Кб180Short stories. Unit 12. The Dinner Party.docx
#
05.06.201585.5 Кб175Short stories. Unit 4. A Foul Play.doc