Лекция 1. Матрицы

Определение и некоторые свойства определителей порядка n. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций

1.1. Основные понятия

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Для обозначения матрицы используются круглые скобки или сдвоенные вертикальные линии:

Числа s и n (число строк и столбцов матрицы) называются ее порядками.

Говорят также, что A - матрица размером s ×n . Если s = n , матрица A называется квадратной.

Для краткой записи используется также обозначение A = (aij ) (или A = aij ) и далее указывается, в каких пределах изменяются i и

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами ( i ≠ j ) равны нулю:

1.2. Определители порядка n

Пусть дана квадратная матрица порядка n :

Составим всевозможные произведения n элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах, т.е. произведения вида

доказательства).

Будем считать все эти произведения членами определителя порядка n , соответствующего матрице (1.1).

Вторые индексы множителей в (1.2) составляют перестановку

перестановка 1 2 3 4 5 6 - четная ( 0 инверсий).

Определение 2. Определителем порядка n , соответствующим матрице (1.2), называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел 1, 2,..., n , и со знаком "–", если нечетной.

Обозначать определитель матрицы (1.2) принято так:

an1 an2 ... ann

Замечание. Определение 2 для n = 2 и n = 3 приводит к уже знакомым нам определителям 2-го и 3-го порядка:

−a13a22a31 −a23a32a11 −a12a21a33 .

Транспонированием вокруг главной диагонали матрицы A

называется переход к матрице AT , для которой строки матрицы A являются столбцами, а столбцы - строками:

транспонированием определителя ∆ .

Свойства определителя порядка п

1.∆T = ∆ (определитель не меняется при транспонировании вокруг главной диагонали).

2.Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю.

3.От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак.

4.Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5.Если все элементы некоторой строки определителя умножить на

число k , определитель умножится на k .

6.Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7.Если все элементы i -й строки определителя представлены в

виде суммы aij = bj +c j , j =1,...n , то определитель равен сумме двух

определителей, у которых все строки, кроме i -й, такие же, как в исходном определителе, а i -я строка в одном определителе состоит из bj , а в другом - из c j .

Определение 3. i -я строка определителя является линейной

строки, кроме i -й, получим i -ю строку.

8.Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных его строк, определитель равен нулю.

9.Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Мы сформулировали свойства определителя для

вычеркнуть столбец и строку, на пересечении которых расположен aij ,

оставшиеся строки и столбцы образуют определитель порядка n −1 , который называется минором определителя ∆ , соответствующим элементу aij .

Пример 3. В определителе

Теорема 1 (о разложении по строке). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

Теорема 1 позволяет свести вычисление определителя порядка n к вычислению n определителей порядка n −1 .

Пример 5. Вычислить определитель 4-го порядка:

Замечание. Можно вначале упростить определитель, воспользовавшись свойством 9, а затем использовать теорему 1. Тогда вычисление определителя порядка n сведется к вычислению всего одного определителя порядка n −1 .

Пример 6. Вычислить

Решение. Прибавим первый столбец ко второму и первый столбец, умноженный на ( −2 ), к третьему, в результате получим

Теперь применим теорему 1 и разложим по последней строке:

вычисление определителя 4-го порядка свелось к вычислению всего одного определителя 3-го порядка.

Далее аналогично к первому столбцу прибавим третий и полученный определитель разложим по первой строке: