Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений

Первоначальные понятия. Метод Гаусса

3.1. Метод Гаусса

Пусть дана система s уравнений первой степени (линейных) с n неизвестными. Неизвестные обозначим x1,..., xn , уравнения будем считать пронумерованными: первое, второе,…, s -е. Коэффициент из i - го уравнения при неизвестном x j обозначим aij , свободный член - bi .

Система запишется в следующем виде:

Определение 1. Решением системы линейных уравнений (3.1) называется такой набор чисел k1,..., kn , что каждое из уравнений (3.1)

обращается в тождество после замены неизвестных xi числами ki , i =1,..., n .

Определение 2. Система (3.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Наиболее удобным для практического разыскания решений системы (3.1) является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Выполним следующие преобразования системы: обе части одного уравнения умножим на некоторое число и прибавим к обеим частям другого уравнения. Покажем, что мы придем к эквивалентной системе.

a21k1 +... + a2nk n = b2 ,

то есть k1,..., kn удовлетворяют также второму уравнению в (3.1), и

всякое решение системы (3.2) является решением системы (3.1). Системы (3.1) и (3.2) в соответствии с определением 4 эквивалентны.

Перейдем к изложению метода Гаусса.

Дана система (3.1). Пусть a11 ≠ 0 (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при x1 ,

отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, - иначе x1 просто отсутствовал бы).

Система (3.5) эквивалентна системе (3.1).

Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго.

Уже после первого шага может встретиться уравнение вида

уравнению (3.6) не удовлетворяет никакой набор чисел k1,..., kn , и

система, содержащая такое уравнение (3.6), несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей система (3.1). В этом случае преобразования по методу Гаусса будем прерывать.

уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на − as′2 , -

a22′

к обеим частям s -го уравнения. Этим исключим неизвестное x2 из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе

неизвестных.

Если после нескольких шагов получим уравнение вида (3.6), в котором bi′ ≠ 0 , можно сделать вывод о несовместности системы. Если

же такое уравнение не встретится, придем к системе

k ≤ s, k ≤ n .

При k = n система (3.7) имеет вид

уравнения, из которого определится x1 . Система (3.8) в этом случае

имеет единственное решение и эквивалентная ей система (3.1) является определенной.

При k < n в последнем уравнении системы (3.7) присвоим неизвестным xk +1,..., xn произвольные числовые значения:

двигаясь снизу вверх по системе (3.7), найдем вполне определенные значения xk ,..., x1 . Так как значения для неизвестных xk +1,..., xn можно

выбрать бесчисленным множеством способов, система (3.7) в случае k < n будет неопределенной.

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (3.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (3.7).

Пример 1. Решить систему методом Гаусса:

Решение. Исключаем неизвестное x1 . Первое уравнение,

умноженное на −1 , прибавляем ко второму, умноженное на −2 , к третьему и четвертому, получаем

Обе части второго уравнения умножим на − 12 :

Второе уравнение, умноженное на 5 , прибавляем к третьему, умноженное на 3 - к четвертому, получим в результате:

Обе части третьего уравнения, умноженные на −1 , прибавляем к четвертому уравнению, получим

Последнее уравнение отбрасываем, из третьего уравнения находим x3 = −2 , подставляем во второе: x2 + 4 = 6 и находим x2 = 2 . Затем x2