≤ 2 . Доказать,

что

система многочленов

x2 +1, −x2 +2x, x2 − x

образует базис в

V .

Найти матрицу перехода от базиса 1, x, x2

к

этому базису и координаты многочлена −2x2 + x −1 в нем.

2. В произвольном линейном пространстве векторы e1′,e′2 ,e3′ и

x

заданы своими координатами в некотором базисе e1,e2 ,e3 : e1′

= (1,1,1) ,

e′2 = (1,1, 2) , e3′

= (1, 2,3) , x = (9,6,14) .

Доказать,

что система векторов e1′,e′2 ,e3′

- базис в

V ,

и найти

координаты x в этом базисе.

3. В произвольном линейном пространстве V

векторы e1,e2 ,e3 (I)

и e1′,e′2 ,e3′ (II)

заданы своими координатами

в

некотором

базисе:

e1 = (1, 2,1) ,

e2 = (2,3,3) , e3 = (3,7,1) , e1′

= (3,1,1) ,

e′2 = (5, 2,1) ,

Пример 1. Пусть V = Rn -

линейное

пространство всех

арифметических n -мерных векторов

(x1 ,...,xn );

L - совокупность

то есть векторов вида (0,x ,...,x

,0).

L - подпространство в Rn .

2

n−1

Действительно, пусть

x L

и

y L ,

следовательно,

по

определению L x = (0, x2 ,...,xn−1 , 0)

и y = (0,

y2 ,..., yn−1 , 0).

По

правилу сложения векторов в Rn x +y = (0, x

+ y

2

,...,

x

+ y

,0) L

2

n−1

n−1

и, таким образом, сумма любых двух векторов из L принадлежит L .

Пусть x L и λ - произвольное вещественное число. Но

x Rn

(так как

L Rn ), следовательно,

по правилу умножения вектора на

число в

Rn λx = (λ 0, λx ,...,λx

, 0)= (0,λx ,λx

,...,0) L

и вместе с

2

n−1

2

3

любым вектором произведение его на λ тоже принадлежит L . В

соответствии с определением

2

это означает,

что

L

-

линейное

подпространство в Rn .

Замечание. Если L -

линейное подпространство в

V ,

то

L

само является линейным пространством относительно введенных в

V

операций сложения и умножения на число.

Убедимся в справедливости аксиомы 3.

0 x L ,

Пусть x L ,

λ = 0 , следовательно, согласно условию 2)

но, по следствию 5 из аксиом в V , 0 x = θ, таким образом,

θ L и в

L справедлива аксиома 3.

Пусть

x L ,

λ = −1 .

Следовательно,

согласно

условию 2)

(−1) x L ,

но,

по следствию 8 из аксиом в

V

(−1) x = −x , таким

образом, (−x) L

и в L справедлива аксиома 4.

Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8,

следовательно,

L - линейное пространство.

Пусть

V

- произвольное линейное пространство,

a1,a2 ,...,ak -

некоторая

система векторов

в V . Рассмотрим

совокупность всех

векторов вида

λ1a1 +λ2a2 +... +λk ak , где λ1, λ2 ,..., λk

принимают

Пусть a L , b L ,

следовательно,

по

определению L

λ1,λ2 ,..., λk ,µ1,µ2 ,...,µk

такие,

что

a = λ1a1 +λ2a2 +... +λk ak ,

b = µ1a1 +µ2a2 +... +µk ak .

Имеем

a +b = (λ1 +µ1)a1 +(λ2 +µ2 )a2 +...+(λk +µk )ak

и

(a +b) L .

Пусть a L ,

δ - произвольное вещественное число.

Имеем

δa =δ(λ1a1 +λ2a2 +...+λkak ) =(δλ1)a1 +...+(δλk )ak

и (δa) L .

Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и L

является линейным подпространством в V .

Говорят, что L порождено системой векторов a1,a2 ,...,ak

или L

"натянуто" на систему a1,a2 ,...,ak .

Заметим, что само линейное пространство

V

может

рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.

Пример

2.

V = R4

Найти

размерность

и базис линейной

оболочки векторов x1 = (0, −1, 2,0) , x2 = (1,0, 2, −1) ,

x3 = (1, −2,6, −1) .

Найдем ранг матрицы, строками которой являются данные векторы

x1 , x2 , x3 :

1

0 2 −1

1 0

2 −1

1

0 2 −1

A = 0

−1 2 0 ~ 0 −1

2 0

~

0

−1 2 0 .

1

−2 6 −1

0 −2

4 0

0

0 0 0

Минор второго порядка

1

0

≠ 0 rang

A = 2 ,

следовательно,

0

−1

x2 составляют линейно независимую

систему

векторов

в

R4 , а

следовательно, и в линейной оболочке {x1, x2 , x3} , и вектор

x3

через

них линейно выражается. Тогда любой вектор

y L тоже линейно

выражается через x1 и x2 . Векторы

x1 и x2

являются базисом в

L ={x1, x2 , x3} , dim L = 2 .