Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Rzavinskay.pdf

Скачиваний:

564

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Лекция 4. Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений

Правило Крамера. Исследование произвольной системы

линейных алгебраических уравнений. Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений

4.1. Правило Крамера

Пусть дана система

линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными:

... + a

= b ,

11 1

... + a

= b ,

(4.1)

21 1

...........................................

... + a

= b .

n1 1

Обозначим

A =

aij

i, j =1,..., n .

∆ =

будем

называть

определителем системы (4.1).

Обозначим

(4.1) равносильна

X = ...

B =

... . Система

матричному уравнению

AX = B .

(4.2)

Теорема 1.

Если

∆ =

≠ 0 ,

то система (4.1) имеет,

притом

единственное, решение.

Доказательство. Так как ∆ = A ≠ 0 , то A−1 . Умножим обе части

(4.2) на A−1 слева:

A−1 (AX )= (A−1A)X = EX = X = A−1B .

Итак, решением матричного уравнения (4.2) является матрица

X = A−1B - матричное уравнение (4.2) имеет решение, следовательно, система (4.1) совместна.

x j

(A1 j b1 + A2 j b2 +... + Anj bn )=

∆

a11

...

a1n

∆ j

a21

...

a2n

j =1,...n.

∆

...

... ... ... ...

∆

(4.3)

an1

...

ann

j-й

столбец

144442444443

обозначим ∆j

Решение системы (4.1) дается формулами (4.3), и так как ∆, ∆ j , j =1,..., n , вполне определенные числа, единственно.

Теорема доказана.

Правило Крамера: если ∆ = A ≠ 0 , то решение системы (4.1)

может быть найдено по формулам x j =	∆ j	, j =1,..., n , где	∆ j	-
	∆

определитель, который получится из ∆ , если столбец коэффициентов при x j заменить столбцом свободных членов.

Пример 1. По правилу Крамера, если оно применимо, решить систему

			3x			+4x	−5x = 2,
				1		2	3
			2x1 −3x2 +3x3 = 2,
					x	−2x	+ x = 0.
Решение. Имеем				1		2	3
Решение. Имеем
	3	4	−5
	3	4	−5
∆ =	2 −3 3				= −9 +12 + 20 −15 +18 −8 =18 ≠ 0 ,
	1	−2		1

следовательно, правило Крамера применимо.

	2	4	−5		2	4	−5		−7	8


∆ =	2	−3	3	=	0	−7	8	= 2			= 2(−7 +16) =18 ,
1									−2	1
	0	−2	1		0	−2	1		−2	1
	0	−2	1		0	−2	1

∆2 =	3		2	−5		=		3		2	−8	=1			2	−8		=18 ,


	2		2		3			2		2	1
	1		0		1			1		0	0				2		1
	1		0		1			1		0	0
		3		4	2				3	10	2		10			2


∆3 =		2 −3 2					=		2 1 2			=					=18 .
		1		−2	0				1	0	0			1		2
		1		−2	0				1	0	0

По формулам (4.3) находим

x1 = ∆∆1 =1 , x2 = ∆∆2 =1 , x3 = ∆∆3 =1 .

4.2. Исследование произвольной системы линейных уравнений

Пусть дана система s уравнений с n неизвестными:

x +a

+... +a

= b ,

11 1

x +a

+... + a

= b ,

(4.4)

21 1

...........................................

x + a

+... +a

= b .

s1 1

Обозначим матрицу из коэффициентов A :

a11

a12

...

a1n

...

A =

... ...

as2

...

as1

asn

Матрица

содержит матрицу A и

еще

столбец

свободных

членов, она называется расширенной матрицей по отношению к A :

a11

a12

...

a1n

...

A =

... ...

...

Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и

только тогда, когда rang

= rang

A .

Доказательство. Необходимость. Пусть

совместна

λ1, λ2 ,..., λn

решение

(4.4),

справедливы тождества

a λ +a λ

+... + a

= b ,

11 1

λ +a

+... + a

= b ,

21 1

.............................................

λ +a

+... + a

= b .

s1 1

система (4.4) следовательно,

(4.5)

Вматрице A к последнему столбцу прибавим первый,

умноженный на −λ1 , второй,			умноженный на −λ2 ,…, n -й,
умноженный на −λn . Получим, учитывая (4.5),
	a11	a12	...	a1n	0
	a	a	...	a	0
A ~	21	22		2n		= B .
	... ...		... ...		...
		as2	...	asn	0
	as1	as2	...	asn	0

Поскольку			выполнялись	элементарные преобразования, то
rang B = rang			, но rang B = rang				A (добавление столбца из нулей
		A
не может изменить ранга), отсюда
			rang		= rang A .
				A
Достаточность. Пусть rang							= rang	A = r . Это означает, что
						A
существует минор D ≠ 0 порядка						r , а все		миноры порядка	r +1 ,
окаймляющие D , равны нулю.
Пусть D	расположен в левом верхнем углу матрицы A								(это

предположение не ограничивает общности рассуждений, так как можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные и тем самым добиться того, что D будет расположен в первых r строках и первых r столбцах матрицы A ):

a		...	a	...

	11		1r
... ... ...				...
a		...	a	...
	r1		rr


... ... ... ...
		...	asr ...
as1

a1n

... arn .

... asn

Тогда первые r строк матрицы линейно независимы, а остальные s −r строк являются их линейной комбинацией (теорема о базисном миноре), следовательно, через первые r уравнений линейно выражаются остальные s −r уравнений. Таким образом, вся система (4.4) эквивалентна первым r уравнениям:

a	x +	... + a	x	= b ,
11 1		1n	n	1		(4.6)
	..............................					(4.6)
a	x +...	+a	x	= b .
r1 1		rn	n	r
Случай 1: r = n . Система		(4.6)	имеет		единственное решение
(определитель системы (4.6)	D ≠ 0 , - применяем теорему 1). Его можно
найти, например, по правилу Крамера.
Случай 2: r < n . Перепишем (4.6) в виде
		= b1 −a1,r+1xr+1 − −a1n xn ,
a11x1 +... +a1r xr		= b1 −a1,r+1xr+1 − −a1n xn ,
..............................................................						(4.7)
a x +... +a x		= b −a		x	+1	−... −a x .
r1 1	rr r	r	r,r+1 r		+1	rn n

Неизвестные x1,..., xr назовем главными, xr+1,..., xn - свободными.

Присвоим свободным неизвестным произвольные числовые значения, положим xr+1 = cr+1,..., xn = cn . Тогда согласно теореме 1 из

системы (4.7) определится единственный набор	x1 = c1,..., xr	= cr
главных неизвестных. Таким образом, набор n чисел x1 = c1,..., xr		= cr ,
xr+1 = cr+1,..., xn = cn является решением системы (4.4).

Значения свободных неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, поэтому система (4.4) имеет бесчисленное множество решений.

И в случае 1 и в случае 2 система оказалась совместной. Достаточность доказана.

Определение 1. Формула, выражающая решение системы (4.4) в виде вектор - функции n −r свободных неизвестных, называется общим решением системы (4.4):

x (c			,...,c		)
	1	r+1		n
................
	x	(c		,...,c
X =	r	r+1		n		.
		cr+1

.................
		cn
		cn

Пример 2. Исследовать совместность системы и, если система совместна, найти общее решение и одно частное:

	2x	− x		+3x		−2x	= 4,
	1		2		3	4
4x1 −2x2 +5x3 + x4 = 7,
	2x		− x		+ x	+8x	= 2.
	1		2		3	4

Решение. Найдем ранг матриц A и A :

	2 −1			3	−2	4	2		−1 3 −2		4

		4	−2 5		1	7		0	0	−1 5	−1	~

A =							~
		2	−1	1	8	2		0	0	−2 10	−2

2		−1	3	−2	4

~	0	0	−1	5	−1 .
	0	0	0	0	0

	Итак,			rang		= 2 = rang A	(минор	второго	порядка
					A
M =		2	3	≠ 0 , все миноры, его окаймляющие, равны нулю и в A , и в

		0	−1

A ). Следовательно, согласно теореме 2 система совместна.

Так как rang A < 4 , система имеет бесчисленное множество

решений.

Вся система эквивалентна системе первых двух уравнений:

2x − x +3x −2x = 4,
	1	2	3	4
			−x3 +5x4 = −1.
В качестве главных		неизвестных		возьмем x1 и x3 ( M ≠ 0 ),

свободных - x2 и x4 и перепишем систему в виде

			2x +3x = 4 + x + 2x ,							-
					1	3	2	4		-
"укороченная" система.						x3 =1+5x4
"укороченная" система.
Отсюда				1							1
x =1+5x и x =				1	(4 + x +2x −3			−15x	) =		1	(1+ x −13x		).
x =1+5x и x =					(4 + x +2x −3			−15x	) =			(1+ x −13x		).
3	4	1	2			2	4	4			2	2	4
Общее решение			2								2
Общее решение						0,5 +0,5x −		6,5x
						0,5 +0,5x −		6,5x
							2	4
			X =				x2		.
			X =				1+5x4		.
							1+5x4
							x4
							x4

Частное решение получим, присвоив конкретные числовые значения свободным неизвестным, например, x2 = 0, x4 = 0 , тогда

0,5

Xчастное = 10 .

4.3. Системы линейных однородных алгебраических уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений:

	a		x	+...	+ a		x	= 0,
	11		1		1n		n	(4.8)
	.................................							(4.8)
	a	s1	x	+...	+ a	sn	x	= 0.
		s1	1			sn	n
Система (4.8) всегда	совместна (решение x1 = x2 =... = xn = 0
всегда присутствует среди решений).
Если rang A = r = n ,	то это решение - единственное, если r < n ,

система (4.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от x1 = x2 =... = xn = 0 ).

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (4.8) является решением системы

(4.8).

Доказательство. Пусть

α2

и X

β2

- произвольные

...

решения системы (4.8).

αn

βn

Пусть i - некоторое число,

1 ≤ i ≤ s . Подставим

+β

Y = X

+ X

α2 +β2

...........

αn +βn

в i -е уравнение системы (4.8):

ai1(α1 +β1) +... + ain (αn +βn ) =

= ( ai α1 +... + ainαn	) +... +(	ai1β1 +... + ainβn			) = 0.
14424443		1442443
=0, так как X1 - решение (4.8)		=0, так как X2 - решение (4.8)
Следовательно, Y = X1 + X2	удовлетворяет i -му уравнению системы
(4.8) при произвольном i ,	1 ≤ i ≤ s , то есть Y = X1 + X2					является
решением (4.8).						λα
						λα
						1
Пусть λ - произвольное вещественное число, Z = λX			1	=		λα2	.
Пусть λ - произвольное вещественное число, Z = λX				=		...	.
						...

Подставим Z в i -е уравнение системы (4.8), 1 ≤ i ≤ s :						λαn
Подставим Z в i -е уравнение системы (4.8), 1 ≤ i ≤ s :
ai1(λα1) +... + ain (λαn ) = λ(		ai α1 +... + ainαn	) = 0
		14424443
	=0, так как X1 - решение (4.8)
Следовательно, Z = λX1 - решение (4.8).

Итак, сумма любых двух решений системы (4.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (4.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (4.8) является решением.

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных

уравнений с матрицей A , rang A = r . Пусть неизвестные xi	,..., xi
1	n−r
являются свободными.

Обозначим через ek , k =1,..., n −r , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному xik присвоить

значение 1 , а остальным свободным неизвестным - значение 0 . Система решений e1,...,en−r называется фундаментальной

системой решений данной системы линейных однородных уравнений. Справедливо следующее утверждение, которое приведем без

доказательства.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей A , rang A = r , и e1,...,en−r - фундаментальная система

решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений e1,...,en−r .

Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы

		x		+ x	+ x	+ x	= 0,		(4.9)
			1	2	3	4	= 0.		(4.9)
			x	+ x	− x	+ x	= 0.
			1	2	3	4
Решение. Первое уравнение, умноженное								на −1 ,	прибавим ко
второму:
		x		+ x	+ x	+ x	= 0,
			1	2	3	4
					−2x3		= 0.
Отсюда x3 = 0, x1 = −x2 − x4 .
Общее решение				−x2 − x4
				−x2 − x4
					x
			X =			2	,
					0
					x
						4
свободными являются неизвестные x2 и x4 , главными -									x1 и x3 .
			x1		x2		x3	x4
	e1		−	1	1		0	0
	e1			1	1
	e2		−	1	0		0	1
	e2			1				1

		−1			−1

Векторы e	=	1	и e	=	0	составляют фундаментальную
1		0	2		0
		0
		0			1

систему решений системы (4.9),

X = x2e1 + x4e2 .

Последнее равенство можно проверить непосредственно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.201976.29 Кб40readmsg.doc
#
16.09.2019308.22 Кб51referatbank-8720.doc
#
27.03.20162.81 Mб813Rivlina_Blokkh.pdf
#
13.11.2019229.38 Кб14rpd_ib_ib_oib_090900.62.doc
#
21.08.2019517.63 Кб34Ryady_razdat_material.doc
#
27.03.20161.92 Mб564Rzavinskay.pdf
#
05.06.20153.93 Mб137SAVELEVA.pdf
#
05.06.201512.44 Кб35setup OrCAD.docx
#
27.03.2016996.57 Кб85Sharafutdinova_2012.pdf
#
05.06.201519.08 Кб180Short stories. Unit 12. The Dinner Party.docx
#
05.06.201585.5 Кб175Short stories. Unit 4. A Foul Play.doc