Лекция 8. Евклидовы пространства

(λx, y) = (λx1) y1 +...+(λxn ) yn = λ(x1 y1 +...xn yn ) = λ(x,y) ,

(8.2)

аксиома III выполняется.

x2

+...+ x2.

Проверим выполнение аксиомы IV: (x, x) =

(8.2)

1

n

Если x ≠ θ ,

то среди компонент вектора

x

найдется xi ≠ 0 ,

1 ≤ i ≤ n , тогда x2

+...+ x2 > 0 и (x, x) > 0 , следовательно, аксиома IV

1

n

а) x En (x,θ) = 0 ;

б) если x = α1a1 +... +αk ak ,

y = β1b1 +... +βlbl , то

k

l

(x,y)

cos

x,y

=

.

(8.3)

x

y

Покажем, что угол

действительно

можно определить

x,y

равенством (8.3), то есть покажем, что

(x,y)

≤1 .

x

y

Теорема 1 (неравенство

Коши - Буняковского). Для любого

x En и любого y En справедливо неравенство

(x, y)2 ≤

x

2

y

2 .

(8.4)

Доказательство. Пусть

α -

произвольное вещественное число.

Положим a = x −αy . Тогда по аксиоме IV имеем

(a,a) = (x −αy,x −αy) ≥ 0 .

Воспользуемся аксиомами I - III:

f (α) = (x −αy, x −αy) = (x,x) −2α(x, y) +α2 (y, y) ≥ 0 .

Так как α f (α) ≥ 0 ,

то дискриминант D

квадратного трехчлена

f (α) неположителен:

D = 4(x, y)2 −4(x, x)(y, y) ≤ 0 .

Отсюда (x, y)2 ≤ (x,x)(y, y)

или

(x, y)2 ≤

x

2

y

2 , и неравенство

(8.4) выполняется.

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Пусть x = (x1, x2 ) и

y = ( y1, y2 ) -

произвольные векторы

пространства арифметических векторов R2 .

Показать, что скалярное

произведение в R2 можно определить следующими способами:

а) (x, y) = 2x1 y1 +5x2 y2 ;

б) (x, y) = x1 y1 +3x2 y2 .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. В евклидовом пространстве En

всякая

система

ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независима.

Доказательство. Пусть a1,a2 ,...,ak

- произвольная ортогональная

система векторов в En ; i =1,.., k ai ≠ θ .

Пусть

α1a1 +... +αk ak

= θ.

(8.5)

Умножим обе части (8.5) скалярно на a1 :

α1(a1,a1) +α2 (a2 ,a1) +... +αk (ak ,a1) = (θ,a1) .

(8.6)

Поскольку система векторов a1,a2 ,...,ak ортогональна,

то верны

равенства: (a2 ,a1) = 0 ,…, (ak ,a1) = 0 ; следствие а)

из аксиом дает

коэффициентами, один из которых,

а именно коэффициент при a2 ,

заведомо отличен от нуля, не может равняться нулю).

Подберем α1 так, чтобы (b1,b2 ) = 0 , то есть

(α b +a

2

,b ) = α (b ,b ) +(a

2

,b ) = 0 и α

= −

(a2 ,b1)

.

1

1

1

1

1

1

1

1

b1

≠θ (b1,b1)

(b1,b1)≠0

Шаг

3.

Примем b3 = β1b1 +β2b2 +a3 . Отметим, что b3 ≠ θ , так

линейно независимы. Подберем β1

и

β2

так,

чтобы

(b3,b1) = 0 и

(b3,b2 ) = 0 .

(b3,b1) = (β1b1 +β2b2 +a3 ,b1) =β1(b1,b1)+β2 (b2 ,b1)+(a3,b1) = 0,

≠0

=0

(b

3

,b

2

) =

(β b

+β

2

b

2

+a

3

,b

2

) =β

(b

,b

2

)+β

2

(b

2

,b

2

)+(a

3

,b

2

) = 0,

1

1

1

1

=0

≠0

отсюда

(a3,b1)

(a3,b2 )

β = −

, β

2

= −

.

1

(b1,b1)

(b2 ,b2 )

Шаг

4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых

векторов

b1,...,bs ,

причем i, 1 ≤ i ≤ s ,

bi

является

линейной

комбинацией векторов a1,...,ai .

Положим

bs+1 = γ1b1 +... +γsbs +as+1 .

Вектор bs+1 ≠ θ,

так как является линейной комбинацией линейно

независимых векторов

a1,a2 ,...,as+1

с коэффициентами,

один

из

которых,

а именно коэффициент при as+1 ,

заведомо отличен от нуля

(поскольку as+1 не входит в b1,...,bs ).

Коэффициенты γ1,..., γs подберем так, чтобы bs+1 был

ортогонален векторам b1,...,bs :

Отсюда

(bs+1,bi ) = 0,

i =1, 2,..., s .

(bs+1,bi ) = (γ1b1 +... +γsbs +as+1,bi ) = γ1 (b1,bi )+... +

=0

+γi (bi ,bi )+... +γs (bs ,bi )+(as+1,bi ) = 0

и

≠0

=0

(as+1

,bi )

γi

= −

,

i =1,..., s .

(bi ,bi )

Продолжая процесс, построим ортогональную систему векторов

b1,...,bk ,

причем i, i =1,..., k ,

bi

≠ θ , откуда

в силу теоремы

2

следует, что b1,...,bk

- линейно независимы. Линейная оболочка

L

векторов

a1,...,ak

является

подпространством

размерности

k ( dim L = k ), а это означает, что b1,...,bk - базис в L

(по построению

(b2 ,b1) = (α1b1 +a2 ,b1) = = α1(b1,b1) +(a2 ,b1) = 0 ,

z

откуда α

= −

(a2 ,b1)

= − −1+2 −10 =1 .

1

(b1,b1)

1+ 4 +4

Итак,

b2 = b1 +a2 ={0,3, −3},

и

a1 (b1)

базис в линейной

оболочке

L(a1,a2 )

составляют

векторы

b1 = (1, 2, 2) ,

O

b2 = (0,3, −3) .

y

Геометрический

смысл

процедуры

b2

иллюстрирует рис. 8.1. Подпространство

L , натянутое на

вектора

a1,a2 ,

-

x

a2

плоскость, проходящая через O(0, 0, 0)

и

векторы a1 и a2 , приведенные к точке

O(0, 0, 0) . В этой плоскости построен

Рис. 8.1.

базис b1 , b2 ,

такой, что b1 b2 .

Упражнения.

a1 = (1, −2,1,3)

1. Проверить ортогональность системы векторов

и

a2 = (2,1, −3,1)

в евклидовом

пространстве

R4

и

дополнить ее

до

ортогонального базиса.

ортогональный базис

в

линейной

оболочке

системы

векторов:

f1 = (1, −2, 2) , f2 = (−1,0, −1) , f3 = (5, −3, −7) , f4 = (6, −5, −5) .

Замечание.

Всякое

евклидово

пространство En

обладает

ортогональными базисами.

En - евклидово пространство, dim En = n ,

Действительно,

пусть

e1,e2 ,...,en - базис

в

En .

Применим

к базису

e1,e2 ,...,en

процесс