27.1. Основные формулы

 Радиус внешней границы k-й зоны Френеля:

, k=1,2,3...

a - расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света; b - расстояние диафрагмы от экрана , на котором ведется наблюдение дифракционной картины;

k - номер зоны Френеля;  - длина волны.

Для плоской волны

.

 Дифракция Фраунгофера от щели; свет падает нормально. Условие минимумов интенсивности:

a sin k , k = 1 , 2 , 3 ....

a - ширина щели;  угол дифракции.

 Условие максимумов интенсивности света

k = 1 , 2 , 3 .....

^- приближенное значение угла дифракции.

 Дифракционная решетка, свет падает нормально. Условие главных Фраунгоферовых максимумов:

d sin^kk = 1 , 2 , 3 .....

d - период решетки; k - номер главного максимума; - угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных волн;

 Условие добавочных минимумов:

d sin ^’ =k ^‘/N k^’ =1, 2, 3 ..., кроме 0 , N , 2N ...

 Угловая дисперсия дифракционной решетки.

.

 Линейная дисперсия дифракционной решетки

.

 Для малых углов дифракции , угловая дисперсия:

,

где f- главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экране дифрагирующие волны.

 Разрешающая способность дифракционной решетки

R=λ/δλ=kN ,

где N - число штрихов решетки.

 Разрешающая сила объектива

R=1/D/1,

где  - наименьшее угловое расстояние, разрешаемое объективом, D – его диаметр.

 Формула Вульфа-Брэгга. Условия дифракционных максимумов

2d sin±kk = 1 , 2 , 3 .....

d - межплоскостное расстояние; - угол скольжения.

27.2. Примеры решения задач

1.На дифракционную решетку нормально падает пучок монохроматического света. Максимум третьего порядка наблюдается под углом  = 36⁰48 к нормали. Найти постоянную решетки, выраженную в длинах волн падающего света.

Решение. Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем постоянную решетки, выраженную в длинах волн падающего света

,

где - угол дифракции,- длина волны монохроматического света, к – порядок дифракционного максимума.

Произведем вычисления:

.

2. На диафрагму с диаметром отверстия D=2мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (мкм). При каком наибольшем расстоянии b_max. между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?

Дано:	Решение.
D= 2мм=210-3м  0,6мкм=0,610-6м	Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется числом зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.
bmax = ?	Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана
Рисунок 27.1	от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум (k=2). Убедимся в этом. Колебания, возбуждаемые в точке наблюдения между двумя соседними зонами, противоположны по фазе, т.к. разность хода от сходственных точек этих зон до точки М равна .

На рисунке 27.1 точки B и B^/ соответствуют внешней границе k-й зоны.

Тогда L= b+k/2 , откуда общее число зон Френеля k = 2Lb/

Из рисунка видно:

.

После преобразований получим, что:

.

Найдем b_max, для чего продифференцируем b по k и полученное выражение приравняем к нулю, т.е. b = b_max при выполнении условия

db/dk = 0

,

db/dk=0 при k² ^D² = 0, что невозможно. Следовательно, примем k = 2 и b_max = (D² - k²λ²)/(4kλ) Членом, содержащим ^, можно пренебречь, тогда

.

Решение задачи можно упростить, сразу допустив, что расстояние от точки наблюдения M на экране до края отверстия на 2( /2) больше, чем b= b_max и наименьшее четное число зон Френеля k = 2. Тогда

L= b_maх + 2( /2 )

Из прямоугольного треугольника ВМО по теореме Пифагора

D² / 4 = (b_max + 2 λ/2)² - b²_max = 2λb_max + λ²

Учтя, что b_max и что числом ^ можно пренебречь, получим D²/4=2b_max

b_max = D⁴ / 8 м