1.4. Комплексный чертеж (эпюр) точки.
Одну из плоскостей - плоскость π1 мы будем называть горизонтальной плоскостью проекций, вторую плоскость, перпендикулярную ей, плоскость π2 – фронтальной плоскостью проекций.
Рис.1.6
Имея две проекции точки - В′ и В″, мы всегда сможем найти положение в пространстве самой точки В (рис.1.6).
Следовательно, двухкартинный чертеж, т.е. чертеж, содержащий две плоскости проекций, обладает свойством обратимости.
После того как точка будет спроецирована на π1 и π2, чертеж разгибается. Тогда обе проекции точки будут находиться в одной плоскости. Это изображение называют комплексным чертежом или эпюром Монжа или просто эпюром (рис. 1.7).
Рис.1.7
Гаспар Монж (1746 – 1818г.г.), выдающийся французский ученый, математик, геометр, является
создателем начертательной геометрии (1795г.). Впервые методы начертательной геометрии были научно обобщены и последовательно изложены Г. Монжем.
Чтобы судить о расположении точки в пространстве и о форме изображенного предмета, имея их комплексный чертеж, надо непременно сопоставить обе проекции.
Выводы:
1.Две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве.
2.Проекции точки всегда лежат на линии связи, перпендикулярной оси проекции
A′ A″ х; B′ B″ x.
Линии, соединяющие проекции точки мы будем называть линиями связи.
Однако, как это мы увидим в дальнейшем, некоторые задачи удобно решать при использовании третьей плоскости проекций - π3, которую называют профильной плоскостью проекций (рис.1.8,а). Плоскость проекций π3 перпендикулярна оси проекций х, т.е. она перпендикулярна как плоскости проекций π1, так и плоскости проекций π2.
а) |
б) |
|
Рис.1.8 |
При построении комплексного чертежа все три плоскости проекций совмещаются в одну плоскость - плоскость чертежа (рис. 1.8,б), т.е. плоскость проекций π1 совмещается с плоскостью проекций π2 вращением около оси проекций х, а плоскость проекций π3 - вращением около оси проекций z.
Выводы:
1.Если заданы две проекции точки, то третья её проекция не может быть выбрана
произвольно.
7
2. Если линия связи А′ А″ перпендикулярна оси проекций х, то линия связи А″ А″′ всегда перпендикулярна оси проекций z.
1.5. Система обозначений.
Авторы многочисленных учебников по начертательной геометрии применяют различные системы обозначений. Мы примем систему обозначений, совпадающую с системой, принятой С.А. Фроловым.
Таблица 1.
|
Обозначения геометрических фигур. |
Обозначения |
Содержание |
А, В,…,1, 2,… |
Точки |
a, b,… ,l, m,… |
Линии, произвольно расположены в пространстве |
|
Линии уровня: |
h |
горизонталь |
f |
фронталь |
[AB] |
Отрезок прямой, ограниченной точками |
|
А и В |
|
Поверхности (в том числе плоскости) |
ABC , |
Угол с вершинной в точке В, угол α |
ABC, … |
Угловая величина (градусная мера) угла |
|
АВС, угла |
|
Обозначения прямого угла |
|
Расстояние между геометрическими фигурами: |
|
между точками А и В |
|
между точкой А и поверхностью |
|
между линиями a и b |
1 |
Горизонтальная плоскость проекции |
|
|
2 |
Фронтальная плоскость проекции |
|
|
3, 4,… |
Профильная и другие дополнительные плоскости |
|
проекций |
|
|
x,y,z |
Оси проекций: x-ось абсцисс, y-ось ординат, |
|
z-ось аппликат |
|
|
A’, B’,…,1’, 2’,… |
Проекции точек: |
A”, B”,…,1”, 2”,… |
горизонтальные |
|
фронтальные |
|
|
a’,b’,…, l’, |
Проекции линий: |
a”b,”…, l’’, |
горизонтальные |
|
фронтальные |
|
|
|
Проекции поверхностей (в том числе плоскостей): |
|
горизонтальные |
|
фронтальные |
|
|
απ1, hоa |
Следы плоскостей (поверхностей) |
απ2, foa |
горизонтальные |
|
фронтальные |
|
|
|
Следы прямых линий: |
lπ1 |
горизонтальные |
lπ2 |
фронтальные |
|
|
Таблица 2.
Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами.
Обозначение |
Содержание |
Пример записи |
|
совпадает |
|
|
конгруэнтны |
|
|
подобны |
|
|
параллельны |
// b |
|
перпендикулярны |
|
|
скрещиваются |
Cb |
|
касательные |
t |
|
принадлежит, |
A |
|
является элементом |
|
|
включает, содержит |
b |
|
объединение |
A B=[AB] |
|
пересечение |
M=L |
9