было показано на рис.6.7. Построив фигуру сечения m, находим точки пересечения прямой ℓ с поверхностью и устанавливаем видимость прямой.

6.9. Поверхности - посредники.

В задачах на построение линии пересечения заданных поверхностей пользуются вспомогательными поверхностями - посредниками, которые каждую из заданных поверхностей пересекают по какой - то линии. Пересечение этих линии, в свою очередь, дает нам точки, общие для обеих поверхностей, т.е. точки, принадлежащие линии пересечения этих поверхностей. Для упрощения задачи выбирают такие поверхности - посредники, которые пересекали бы заданные поверхности по наиболее простым для построения линиям: прямым или окружностям.

Поэтому, в качестве вспомогательных поверхностей - посредников используются либо вспомогательные секущие плоскости, либо вспомогательные секущие сферы.

6.10. Метод вспомогательных секущих плоскостей.

Этот метод нам уже знаком. Мы использовали его при решении задачи на отыскание линии пересечения двух заданных плоскостей. Зная, что линией пересечения двух плоскостей является прямая, для её отыскания было достаточно найти положение двух её точек. Пересекая заданные плоскости вспомогательной плоскостью - посредником, мы находили две прямые, по которым вспомогательная плоскость пересекала заданные плоскости. Точка пересечения этих прямых давала нам точку, принадлежащую одновременно двум заданным плоскостям, т.е. точку, принадлежащую их линии пересечения. Вторая вспомогательная секущая плоскость, таким же образом, давала вторую точку искомой прямой.

Аналогичная идея лежит в основе решения рассматриваемой задачи на отыскании линии пересечения двух кривых поверхностей. Пересекая обе поверхности плоскостью - посредником мы найдем линии пересечения этой плоскости с каждой из поверхностей. Поскольку эти линии лежат в одной плоскости, они будут пересекаться между собой, и точки их пересечения будут общими точками для обеих поверхностей, т.е. точками их линии пересечения.

Линией пересечения двух кривых поверхностей, в общем случае, является пространственная кривая. Для построения этой кривой потребуется уже не две, а значительно большее количество точек. Для отыскания этих точек необходимо будет провести на две, а несколько секущих плоскостей.

Выбор той или другой вспомогательной плоскости производится с таким расчетом, чтобы она пересекала каждую из данных поверхностей по наиболее простым и удобным

D .

Верхнюю и нижнюю точки линии пересечения мы получим с помощью фронтальной секущей плоскости γ3 . Эта плоскость пересечет данные поверхности по их главным меридианам. Пересечение этих линий даст нам точки А и Е.

6.12. Особенности пересечения поверхностей второго порядка.

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому две поверхности второго порядка всегда пересекаются по кривой четвертого порядка. При определенных условиях эта кривая распадается на несколько линий более низкого порядка. При этом сумма порядков линий, на которые распадается кривая, равна порядку самой линии. В частности, кривая четвертого порядка может распадаться на четыре прямые или две кривые второго порядка.

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадается на две кривые второго порядка, могут быть сформулированы следующими теоремами.

Содержание лекции изложено: [1, стр. 97-135,142-147,155 -165,197-199.].

Рис.6.12.

Теорема I. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

В учебной литературе эта теорема известна также, как "теорема Монжа”.

Рис. 6.12 дает представление о том, как можно определить линии пересечения конуса α и цилиндра β, описанных около сферы γ. Конус соприкасается со сферой по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок [1″2″], а с цилиндром по