5. Содержание лекции изложено: [1, стр. 42-51, 151-155].
ЛЕКЦИЯ №4. Способы преобразования комплексного чертежа.
Содержание лекции.
Общие понятия. Способ перемены плоскостей проекций. Способ плоскопараллельного перемещения.
4.1 Общие понятия.
Из изложенного на предыдущих лекциях материала легко установить, что проекции прямой, плоскости или фигуры, находящейся в случайном положении относительно плоскостей проекций, не всегда удобны для решения той или иной конкретной задачи. Например, проекции отрезка, расположенного наклонно ко всем плоскостям проекций, не дают непосредственного представления о натуральной его длине. Можно сказать поэтому, что в данном случае проекции отрезка "неудобны" для решения поставленного вопроса. Между тем, если бы тот же отрезок был параллелен одной из плоскостей проекций, он проецировался бы на эту плоскость без искажения и мы могли бы судить о его действительной длине без всяких дополнительных построений. При таком положении отрезка можно считать его проекции "удобными" для решения интересующего нас вопроса.
Можно привести много примеров подобного рода.
Студент, изучивший предыдущие лекции, сумеет и сам найти ряд других примеров, подтверждающих, что при одном расположении на эпюре заданных элементов задача решается сложнее, а при другом - проще.
Способы преобразования чертежа, которые нам предстоит изучить, создают возможность так изменить проекционный чертеж, чтобы геометрическая фигура /фигуры/ после преобразования заняла такое частное положение, которое давало бы решение поставленной задачи или значительно его упрощало.
При любом способе преобразования чертежа, мы должны различать и уметь выполнять следующие четыре основные задачи.
1.Преобразование прямой общего положения в прямую уровня.
2.Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.
3.Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.
4.Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.
Эти четыре основные задачи на преобразование чертежа будут в дальнейшем, при решении метрических и позиционных задач, играть исключительно важную роль.
Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить за счет изменения взаимного положения проецируемой фигуры и плоскости проекций. При сохранении ортогонального
проецирования этого можно достичь двумя принципиально различными путями.
Во-первых, введением новых плоскостей проекций, по отношению к которым проецируемая фигура, не изменяющая при этом своего положения в пространстве, окажется в частном положении.
Во-вторых, перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, остающихся неподвижными и не меняющими своего положения в пространстве.
Первый путь лежит в основе способа перемены плоскостей проекций, второй составляет теоретическую базу способа плоскопараллельного перемещения. Рассмотрим эти способы.
4..2 Способ перемены плоскостей проекций /проецирование на дополнительную плоскость/.
При выборе положения новой плоскости проекций следует руководствоваться тем, что по отношению к этой плоскости проецируемая фигура должна занять частное положение, обеспечивающее получение проекций, наиболее удобных для решения поставленной задачи. При этом должен быть выполнен основной принцип ортогонального проецирования - взаимной перпендикулярности плоскостей проекций, т.е. новую плоскость проекций необходимо располагать перпендикулярно одной из исходных плоскостей проекций (рис.4.1). Заметим, что нельзя менять обе плоскости проекции, сразу. Поэтому замену плоскостей можно производить только в последовательном порядке: сначала изменить одну плоскость, затем другую, и, если требуется для решения задачи, эту операцию можно повторять неограниченное число раз.
37
Рис.4.1.
Система плоскостей проекций обозначается как совокупность оси и плоскостей, которые ее образуют.
Для перехода к эпюру новую плоскость π4 необходимо совместить с плоскостью π1, вращая ее вокруг оси х1. На комплексном чертеже проекции точки А/ и А// лежат на перпендикуляре к оси х1:
А /A 1// x1
│ А/ A1// │ = │ A A/ │ = │ A// A x│ = z A (рис.4.2.а)
К аналогичным заключениям можно прийти при переходе к новой системе плоскостей, если новую плоскость проекций необходимо расположить перпендикулярно фронтальной плоскости проекций.
│ B/ B x│ =│B x2 B2/│=│B B // │= y B (рис.4.2.б)
а) |
б) |
|
Рис.4.2. |
Рассмотрим теперь решение основных задач на преобразование способом перемены плоскостей проекций.
Вначале решим 1-ую и 2-ую задачи.
Рис.4.3
Итак, заданную прямую общего положения АВ превратим в прямую уровня и проецирующую /рис.4.3/. |
|
Замену фронтальной плоскости проекций π2 на новую π4 производим |
так, чтобы плоскость π4 была |
параллельна прямой АВ. В этом случае отрезок AВ будет проецироваться |
на π4 в натуральную величину. |
Найдя, как было указано выше, новые проекции точек А и В, и соединяя их получаем, что |А″1 В″1| = |АВ|
Этим мы решили первую основную задачу на преобразование - прямую общего положения превратили в прямую уровня, т.к. в системе плоскостей проекций π4 / π1 прямая AВ стала фронтальной прямой. На плоскости π4 мы видим не только натуральную величину отрезка АВ, но и его угол наклона к горизонтальной плоскости проекций π1 - угол α°.
Далее переходим к замене плоскости проекций π1, на новую – π5 . Положение последней выбираем так, чтобы она оказалась перпендикулярной прямой АВ. Следовательно, новая ось проекций Х2 должна быть перпендикулярна прямой А″1 В″1. Откладывая в новой плоскости π5, на продолжении
линии связи А″1 А′2, отрезок |
|Ах 2 А′2 | = |Ах 1 А′ | или, что одно и то же, | Ах 2 А′1 | = |Вх1 В'|, мы |
|
получаем новую горизонтальную |
проекцию прямой |
A′2 B′2, которая вырождается в точку. |
Следовательно, в системе плоскостей проекций π4/ π5 наша прямая стала горизонтально-проецирующей прямой, и мы, тем самым, решили вторую задачу на преобразование.
Отметим, что при решении второй задачи на преобразование чертежа мы должны предварительно решить первую задачу, т.е. для того, чтобы превратить прямую общего положения в проецирующую, её скачала надо сделать прямой уровня.
Рассмотрим решение третьей и четвертой задачи на преобразование чертежа /рис.4.4/, т.е. преобразуем заданную плоскость общего положения α(∆АВС) в проецирующую плоскость, а затем в плоскость уровня.
39