Рис.5.9 Содержание лекции изложено: [1, стр. 207-234].
ЛЕКЦИЯ № 6. Кривые поверхности.
Тема лекции.
Поверхности. Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей - методы вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение прямой с поверхностью.
Содержание лекции.
Задание поверхности. Принадлежность точки поверхности. Очерк поверхности. Поверхность вращения. Порядок поверхности. Сечение поверхности проецирующей плоскостью. Конические сечения. Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью. Поверхности – посредники. Метод вспомогательных секущих плоскостей. Взаимное пересечение поверхностей (метод вспомогательных секущих плоскостей).
6.1.Задание поверхности.
В начертательной геометрии предпочтителен кинематический способ задания поверхности. Поверхность рассматривается как множество положений движущейся в пространстве по определенному закону линии.
49
Если прямая l перемещается в пространстве так, что при своем движении она все время пересекает направляющую m, и остается параллельной заданному направлению s, то такая прямая опишет цилиндрическую поверхность (рис.6.1, а).
Если прямую l перемещать в пространстве так, чтобы при своем движении она все время проходила через точку S и пересекала направляющую m, , то такая прямая опишет коническую поверхность (рис. 6.1, б).
а) |
б) |
Рис.6.1
6.2.Принадлежность точки поверхности.
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей данной поверхности.
При определении принадлежности точки кривой поверхности следует пользоваться инструментальными линиями - прямыми или окружностями (рис.6.2).
Для того чтобы построить горизонтальную проекцию точки А достаточно построить параллель р(p′, p″) принадлежащую данной поверхности α:
(Aα) ↔ {( Ap) ^ ( p α)}
Для построения горизонтальной проекции точки В достаточно построить образующую ℓ (ℓ ′, ℓ ″) поверхности α:
(Вα) ↔ {( В ℓ) ^ (ℓ α)}
Рис.6.2
Задача имеет два решения, однако учитывая, нахождение точек в приделах видимости находим их на плоскости π1.
6.3.Очерк поверхности.
Очерк поверхности или полный контур видимости наносят на эпюр лишь для наглядности, чтобы подчеркнуть, что за приделами этого контура нет точек, принадлежащих данной поверхности.
51
а) |
б) |
Рис.6.3
На рис.6.3 представлена круговая коническая поверхность заданная:
а) осью конуса i и образующей ℓ, вращающейся вокруг неподвижной оси i;
б) очерком поверхности;
Сравнивая два чертежа, видим, что второй чертеж с точки зрения наглядности изображения имеет несомненные преимущества, хотя с точки зрения определенности задания поверхности оба чертежа равноценны. Однако, с точки зрения полноты изображения, задание поверхности очерком является графически избыточным.
6.4 Поверхность вращения.
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.
Каждая точка образующей - a(A,B,C,D) при вращении вокруг неподвижной оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют
параллелями.
Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую экватором.
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения называют меридиональными, а линии по которым они пересекают поверхность – меридианами.
Меридиональную плоскость, параллельную плоскости проекций, называют главной меридиональной плоскостью, а линию пересечения с поверхностью вращения – главным меридианом.
Рис.6.4.
р1- горло (шейка), р2 – экватор, р,…,р3 -параллели, а (АВСD) - образующая (главный меридиан).
Примеры поверхностей вращения образованных окружностью.
53
Рис.6.5.
1.Если окружность m вращать вокруг оси i, проходящей через центр этой окружности, то окружность m опишет в пространстве поверхность называемую сферой (рис.6.5).
2. Если окружность m вращать вокруг оси i, принадлежащей плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр , то окружность m опишет в пространстве поверхность называемую тором.
В зависимости от взаимного расположения образующей окружности и оси вращения различают:
открытый тор – окружность не пересекает ось вращения (рис.6.6, а);
закрытый тор - окружность пересекает ось вращения или касается ее(рис.6.6, б);