Типовой расчет «теория вероятности и математическая статистика»

Вариант 1

1. a)Известно, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р = 0,9, n = 4, m = 2. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится: а) ровно m раз; б) не менее m раз; в) не более m раз; г) хотя бы один раз.

b)Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7, а разность равна 2.

c)В ящике 11 деталей, из которых 3 нестандартных. Наугад извлекают 3 детали. Найти вероятность того, что они стандартные.

d)В круг радиуса R =17 помещен правильный шестиугольник со стороной, равной 8. Найти вероятность того, что точка окажется внутри шестиугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в шестиугольник пропорциональна площади шестиугольника и не зависит от его расположения относительно круга.

e)Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,85, второй – 0,6. Найти вероятность того, что при аварии сработает только первый сигнализатор.

2. Найти закон распределения случайной величины X, которая принимает только два возможных значения: x₁ с известной вероятностью р₁ = 0,9 и x₂, причем х₁ < х₂, М(X)=3,1 и D(X)=0,09.

3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти: а) плотность вероятности f(x); б) M(x); в) D(x); г) σ(x); д) P(α < x < β), α = 0,5, β = 0,8. Построить графики F(x) и f(x).

4. Случайная величина Х задана функцией плотности:

Найти: а) коэффициент а; б) F(x). Построить графики F(x) и f(x).

5. Найти: а) вероятность попадания случайной величины Х, распределенной нормально, в заданный интервал (α; β), если известны М(х) = m и σ(х) = σ; б) вероятность того, что |х – m| < δ, если α = 2, β = 14, m = 9, σ = 5, δ = 7.

6. Построить доверительный интервал для среднего значения (математического ожидания) случайной величины, распределенной по нормальному закону с неизвестными М(х) и σ²(х) по данным выборки (n = 50).

Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность Х распределена нормально. Уровень значимости α = 0,05.

0,455	0,459	0,240	0,565	0,214
0,214	0,260	0,531	0,552	0,477
0,020	0,580	0,486	0,461	– 0,019
0,806	0,662	0,276	0,467	0,571
0,574	0,437	0,305	0,581	0,782
0,603	0,769	0,136	0,720	– 0,016
0,397	0,764	0,728	0,503	– 0,130
0,050	0,726	0,389	0,167	0,967
0,485	0,665	0,677	0,487	0,023
0,484	0,373	0,456	0,315	0,731

7. Найти выборочное уравнение прямой регрессии y на x по данным корреляционной табл. 1.

Таблица 1

x y	5	10	15	20	25	30	ny
10	2	3					5
20		7	3				10
30			2	50	2		54
40			1	10	6		17
50				4	7	3	14
nx	2	10	6	64	15	3	∑=100

Вариант 2

1. a)Известно, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р = 0,8, n = 4, m = 3. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится: а) ровно m раз; б) не менее m раз; в) не более m раз; г) хотя бы один раз.

b)Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, а разность – 4.

c)Студент знает 13 из 20 экзаменационных вопросов. Ему предлагают ответить на 2 вопроса. Какова вероятность того, что он знает ответ на оба вопроса?

d)В круг радиуса R =9 помещен правильный шестиугольник со стороной, равной 5. Найти вероятность того, что точка окажется внутри шестиугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в шестиугольник пропорциональна площади шестиугольника и не зависит от его расположения относительно круга.

e) Вероятность попадания в цель при одном залпе для первого орудия равна 0,85, а для второго орудия – 0,95. Найти вероятность того, что при одном залпе в цель попадет только одно из орудий.

2. Найти закон распределения случайной величины Χ, которая принимает только два возможных значения: х₁ с известной вероятностью р₁ = 0,8 и х₂, причeм х₁ < х₂, М(Х) = 3,2 и D(X) = 0,16.