Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

81

Если слои жидкости движутся с различными скоростями, то, помимо того, что возникают силы взаимодействия между слоями молекул, смещающимися друг относительно друга, дополнительно возникает обмен импульсами между ними в результате беспорядочного движения молекул. Молекулы, переходящие из слоя, обладающего большей скоростью, в слой, перемещающийся медленнее, увеличивают суммарный импульс во втором слое и, наоборот, молекулы, переходя из второго слоя в первый, уменьшают его суммарный импульс. Взаимный обмен импульсами и взаимодействие молекул и создают внутреннее трение в жидкости. В газах внутреннее трение создается главным образом благодаря обмену импульсами.

Ньютон впервые предположил, что сила внутреннего трения между двумя слоями жидкости прямо пропорциональна разности скоростей слоев v, площади их соприкосновения S и обратно пропорциональна расстоянию между слоями x. Для двух бесконечно близких слоев:

где η – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости (коэффициентом динамической вязкости). Величина dv/dx – градиент скорости – характеризует быстроту изменения величины скорости в направлении нормали к поверхности трущихся слоев жидкости. Единица измерения коэффициента динамической вязкости в СИ 1 Па·с.

Выше мы мысленно разбивали текущую жидкость на параллельные слои, скользящие друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называют ламинарным (от латинского слова lamina, означающего «пластинка»).

Движение идеальной жидкости является ламинарным при любом значении ее скорости. Движение реальной (вязкой) жидкости является ламинарным лишь до тех пор, пока силы внутреннего трения невелики и не приводят к разрушению слоистости течения и возникновению перемешивания.

При возрастании сил внутреннего трения начинается активное перемешивание жидкости и ламинарное течение сменяется турбулентным (от латинского слова turbulentus, означающего «бурный», «беспорядочный»). При турбулентном течении скорость частиц в каждой точке пространства изменяется со временем беспорядочным образом. Если ламинарное течение является

стационарным, то турбулентное, напротив, нестационарно.

При ламинарном движении:

жидкость движется слоями, и скорости в каждом сечении параллельны друг другу;

скорости частиц жидкости меняются от твердых границ внутрь потока по параболическому закону;

сопротивление движению жидкости или твердого тела в ней прямо пропорционально первой степени скорости, причем сопротивление обусловлено действием сил вязкости.

При турбулентном движении:

83

свойства лишь в пределах пограничного слоя. А вне этого слоя они ведут себя подобно идеальной жидкости.

Для объяснения некоторых явлений удобно рассматривать тело и примыкающий к нему пограничный слой как нечто целое, обтекаемое потоком идеальной жидкости. В частности, лобовое сопротивление реальной жидкости обусловлено процессами, происходящими именно в пограничном слое.

Лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. При ламинарном течении вязкой жидкости возникает сопротивление трения. Такое название объясняется тем, что благодаря внутреннему трению возникают касательные силы, действующие со стороны потока жидкости на «прилипший» к поверхности тела пограничный слой.

Дж. Стокс получил выражение для силы трения (лобового сопротивления), действующей на сферические объекты с очень маленькими числами Рейнольдса Re ≤ 1 (например, очень маленькие частицы) в непрерывной вязкой жидкости:

F = 6πrηv, (5.56)

где F – сила трения, так же называемая силой Стокса, r – радиус сферического объекта, η – коэффициент вязкости жидкости, v – скорость частицы.

По закону Стокса (5.56) можно определить скорость осаждения мелких капель тумана, коллоидных частиц, частиц ила и других мелких частиц.

При достаточно больших значениях числа Рейнольдса, когда возникает турбулентность, начинает преобладать сопротивление давления. Это объясняется тем, что при образовании позади тела турбулентных завихрений там понижается давление жидкости; оно оказывается меньше давления жидкости, набегающей на тело. Разность давлений и обуславливает возникновение сопротивления давления.

Оценим силу сопротивления. Пусть плоская пластина площадью S движется со скоростью v, нормальной к поверхности пластины. Тогда Svdt есть элементарный объем жидкости, отталкиваемый пластиной за время dt, а ρSvdt (ρ – плотность жидкости), дает отталкиваемую элементарную массу. Если она приобретает при этом скорость v, то передаваемый жидкости импульс равен:

dp = ρSv2dt.

Тогда сила сопротивления, действующая на пластину, равна:

где Сх – коэффициент, существенно зависящий от формы тела, S – наибольшее поперечное сечение тела, перпендикулярное невозмущенному потоку.

Иногда выражение (5.57) считают общим для всех скоростей и Сх рассматривают как функцию скорости.

Можно показать, что равенство чисел Рейнольдса для двух различных потоков является одним из условий их гидродинамического подобия, что особенно

84

важно для исследования на моделях течений жидкости в различных условиях (или обтекания различных тел).

Если мы, например, решили задачу об обтекании некоторого цилиндра радиуса R1 потоком со скоростью v1, а затем интересуемся обтеканием цилиндра другого радиуса R2 другой жидкостью с другой скоростью v2, и число Рейнольдса Re в обоих случаях одно и то же, то эти два течения жидкости будут подобны. Этот вывод очень важен, поскольку позволяет получать достоверные результаты, скажем, для каналов, трубопроводов, судов, самолетов и т.д., изучая их уменьшенные лабораторные модели. В этом практическая ценность гидродинамического подобия.

Контрольные вопросы

1.Что такое деформация тела? Какие деформации тела являются основными (элементарными)?

2.Сформулируйте закон Гука и укажите условия его применения.

3.Что определяют и чем определяются модули Юнга, всестороннего сжатия, сдвига?

4.Что такое предел упругости, пластическая деформация, текучее состояние, предел прочности?

5.Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.

6.Запишите и поясните формулу для зависимости гидростатического давления жидкости от глубины.

7.Запишите и поясните уравнение непрерывности жидкости.

8.Запишите и поясните уравнение Бернулли.

9. Что такое циркуляция вектора скорости жидкости? Чему равна циркуляция скорости при потенциальном движении жидкости?

10.Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости? 11.Поясните формулу Ньютона для вязкого трения в жидкости.

12.Какое течение жидкости называется ламинарным? Каковы основные свойства ламинарного течения?

13.Какое течение жидкости называется турбулентным? Каковы основные свойства турбулентного течения?

14.Что характеризует число Рейнольдса?

15.В чем суть и практическая ценность гидродинамического подобия?

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если на его растяжение затрачена работа А = 6,9 Дж. Длина стержня l = 1 м, площадь поперечного сечения S = 1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. = 0,014

2. По горизонтальной трубе переменного сечения (рисунок 27) течет вода. Площади

поперечных сечений трубы на разных ее участках соответственно равны S1 = 10 см2 и S2 = 20 см2. Разность уровней h воды в вертикальных трубках одинакового сечения составляет 20 см. Определите объем воды, проходящей за 1 с сквозь сечение трубы. 2,29·103 см3

3. Стальной шарик (ρ1 = 9 г/см3) падает с постоянной скоростью в сосуде с глицерином (ρ2 = 1,26 г/см3, динамическая вязкость η = 1,48 Па·с). Считая, что при числе Рейнольдса Re < 0,5 выполняется закон Стокса, определите предельный диаметр шарика. 5,91 мм

85

Глава 6

ТЯГОТЕНИЕ. ЭПЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения. Поле тяготения. Напряженность и потенциал поля тяготения. Движение в центральном поле. Космические скорости. Принцип относительности Эйнштейна. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца и некоторые следствия из них. Релятивистские энергия и импульс частицы. Уравнения движения. Основные принципы общей теории относительности (ОТО). Основные следствия ОТО

6.1 Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения

Изучение движений планет и создание моделей, объясняющих их перемещения, сыграли очень важную роль в развитии механики и астрономии. К началу V века большинство ученых убедилось в справедливости гелиоцентрической системы мира.

И. Кеплер (1571–1630), обработав и уточнив результаты многочисленных наблюдений датского астронома Тихо Браге, изложил законы движения планет:

Планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

Отрезок, соединяющий планету и Солнце, заметает равные площади за равные промежутки времени.

Отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси орбитального эллипса одинаково для всех планет:

Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Однако, будучи применен к планетам, спутникам планет, компонентам двойных звѐзд, движущимся по эллиптическим орбитам, он позволяет определить некоторые характеристики небесных светил. Так, на основании третьего закон Кеплера возможно подсчитать массы планет, принимая массу Солнца m0 = 1; можно вычислить расстояния до звѐзд.

На основании геометрической картины движения планет, созданной Кеплером, И. Ньютон в 1665–1666 гг. доказал, что планеты движутся под действием силы притяжения, изменяющейся обратно пропорционально

86

квадрату расстояния между планетой и Солнцем. Впоследствии был сформулирован закон всемирного тяготения:

Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m1 и m2) и обратно пропорциональная квадрату расстояния r между ними:

Эта сила называется гравитационной или силой всемирного тяготения.

Силы тяготения всегда являются силами притяжения и направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие тела. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

Закон всемирного тяготения установлен для тел, принимаемых за материальные точки, т.е. для таких тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же это условие не выполняется, то тела следует мысленно разбить на точечные элементы, подсчитать по формуле (6.2) силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем геометрически сложить их (проинтегрировать).

Замечательным свойством силы (6.2) является ее пропорциональность массам взаимодействующих частиц. Поэтому закон всемирного тяготения дает возможность принципиально иного, гравитационного измерения масс. Определенные именно таким образом коэффициенты m1 и m2 в законе (6.2), которые можно назвать гравитационными массами, могли бы и не совпадать с массами, определенными на основе законов динамики и сохранения импульса – инертными массами. Однако гравитационные и инертные массы совпадают. Это является фактом, экспериментально установленным Р. Этвешем в 1894 г. и неоднократно проверенным.

На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения, под влиянием которой, согласно второму закону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физическому закону – обобщенному закону Галилея – все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением.

Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м·с–2 на экваторе до 9,832 м·с–2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли вокруг своей оси, с одной стороны, и сплюснутостью Земли – с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны, соответственно, 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение принимается равным 9,81 м·с–2.

87

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

где M – масса Земли; r – расстояние между телом и центром Земли.

Эта формула дана для случая, когда тело находилось на поверхности Земли. Пусть тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R – радиус

Земли, тогда

т.е. сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается.

6.2 Поле тяготения. Напряженность и потенциал поля тяготения

Тяготение относится к особой группе взаимодействий. Силы тяготения, например, не зависят от того, в какой среде взаимодействующие тела находятся. Тяготение существует и в вакууме. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи.

Основное свойство поля тяготения заключается в том, что на каждое тело

Вектор g не зависит от m и называется напряженностью поля тяготения.

Напряженность поля тяготения g определяется силой, действующей со

стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой.

Напряженность есть силовая характеристика поля тяготения.

Для графического изображения силового поля используются силовые линии (линии напряженности). Силовые линии выбираются так, что вектор напряженности поля действует по касательной к силовой линии.

Работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т.е. силы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Величину

m

являющуюся энергетической характеристикой поля тяготения, называют

потенциалом.

Потенциал поля тяготения – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или

89

образом, в центральном поле частицы движутся по плоским орбитам – орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Задача о движении в центральном поле в особенности важна потому, что к ней сводится задача об относительном движении двух взаимодействующих друг с другом частиц – так называемая задача двух тел.

Рассмотрим это движение в системе центра инерции обеих частиц. В этой системе отсчета суммарный импульс частиц равен нулю:

m1v1 m2v2 0,

где v1, v2 – скорости частиц.

Введем относительную скорость частиц v v1 v2 . Из этих двух равенств выразим скорости каждой из частиц через их относительную скорость:

Подставим эти формулы в выражение полной энергии частиц

где П(r) – взаимная потенциальная энергия частиц как функция их относительного расстояния r (т. е. абсолютной величины вектора r = r1 – r2). После приведения получим

называемую приведенной массой частиц.

Мы видим, что энергия относительного движения двух частиц такая же, как если бы одна частица с массой т двигалась со скоростью v drdt в центральном внешнем поле с

потенциальной энергией П(r). Другими словами, задача о движении двух частиц сводится к задаче о движении одной «приведенной» частицы во внешнем поле.

Если эта последняя задача решена (т. е. найдена траектория r = r(t) «приведенной» частицы), то можно непосредственно найти и реальные траектории двух частиц т1 и т2 по формулам

связывающим радиус-векторы частиц r1 и r2 относительно их центра инерции с их взаимным расстоянием r = r1 – r2. Отсюда видно, что обе частицы будут двигаться относительно центра инерции системы по геометрически подобным траекториям, отличающимся лишь своими

размерами, обратно пропорциональными массам частиц: r1/r2 = m2/m1. В течение движения частицы всегда находятся на концах некоторой прямой, проходящей через центр инерции.

6.4 Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (или круговой) скоростью vI называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, с которой тело могло бы