Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

42

К непотенциальным силам относятся диссипативные и гироскопические

силы.

Диссипативными силами называются силы, суммарная работа которых при любых перемещениях замкнутой системы всегда отрицательна. Диссипативные силы, в отличие от потенциальных зависят не только от взаимного расположения взаимодействующих сил, но также от их относительных скоростей. Таковы, например, сила трения, сила сопротивления движению тел в жидкости и др.

Гироскопическими силами называются силы, зависящие от скорости материальной точки, на которую они действуют, и направленные перпендикулярно к этой скорости. Работа гироскопических сил всегда равна нулю.

Примером гироскопической силы является сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу:

F q vB .

Характеристикой скорости совершения работы является мощность N

Мощность измеряется в ваттах (Вт): 1 Вт = 1 Дж·с–1.

3.2 Кинетическая энергия

Сила, действующая на покоящееся тело и вызывающая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы.

Рассмотрим работу силы F, выраженной через импульс p = mv:

Таким образом, работа, совершаемая силой, равна увеличению величины K mv22 , называемой кинетической энергией (обозначается также WК, EК).

43

Кинетическая энергия механической системы – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения, функция состояния движения системы. Она всегда положительна.

Кинетическая энергия (как и энергия вообще) измеряется в джоулях (Дж), то есть в тех же единицах, что и работа.

3.3 Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – это часть общей энергии, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Понятие потенциальной энергии можно ввести, если на систему действуют только консервативные (потенциальные) силы. Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (поля упругих сил, гравитационных сил, электрических сил). Работа в таких силовых полях не зависит от того, по какой траектории происходило перемещение, а зависит только от положения начальной и конечной точек. Такие силовые поля называются потенциальными.

Пусть точка О есть начало отсчета. Работа потенциальных сил при переходе частицы из некоторой точки P(x, y, z) в начальное положение О, равна

потенциальной энергии частицы в точке P(x, y, z).

Потенциальная энергия частицы (системы) П = WП= EП является функцией только ее координат x, y, z.

П = П(x, y, z) = WП(x, y, z).

Работа консервативных сил при переходе из точки 1 в точку 2 равна

то есть равна убыли потенциальной энергии.

Потенциальная энергия измеряется в единицах работы — джоулях.

Элементарная работа равна дифференциалу потенциальной энергии, взятому со знаком минус:

3.4 Закон сохранения энергии в механике

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией системы: W = K + Π.

Кинетическая энергия всегда положительна; потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Следовательно, полная энергия системы может быть положительной, отрицательной или равной нулю.

Опыт показывает, что имеет место закон сохранения механической

энергии:

45

Если в механической системе действуют только внутренние (консервативные и гироскопические) силы, то полная механическая энергия системы, не изменяется. Может происходить только переход кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Например, для тела, падающего с высоты Z

Если изо всех сил, действующих на тело, выделить консервативные, работа которых равна убыли потенциальной энергии –ΔΠ, то изменение полной энергии можно представить в виде

Следовательно,

приращение полной энергии системы равно работе непотенциальных сил.

Закон сохранения энергии связан с фундаментальным принципом равномерного течения времени и потому не знает пока никаких исключений во всей физике.

3.5 Абсолютно упругий и неупругий удары

Ударом называется столкновение тел, при котором за весьма малый промежуток времени происходит значительное изменение скоростей и состояния тел. Например, молот ударяет по отковываемому изделию, лежащему на наковальне, молоток ударяет по шляпке забиваемого гвоздя и т. п.

Линией удара называется общая нормаль, проведенная к поверхностям двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе. Удар называется центральным, если в момент удара центры масс сталкивающихся тел находятся на линии удара. Примером такого удара может служить удар двух шаров. Удар называется прямым, если скорости центров масс сталкивающихся тел перед ударом направлены параллельно линии удара. В противном случае удар называется косым.

При ударе тела деформируются, и в местах их соприкосновения возникают кратковременно действующие, но весьма значительные силы, называемые ударными силами. Для системы соударяющихся тел эти силы являются внутренними, т. е. не изменяют суммарного импульса системы. Внешние силы, постоянно действующие на систему (например, силы тяжести тел), обычно очень малы по сравнению с ударными силами. Поэтому систему тел в процессе их соударения можно приближенно считать замкнутой системой,

46

а при расчете результатов удара пользоваться законами сохранения импульса, момента импульса и полной энергии. Если при ударе тела деформируются как вполне упругие, то ударные силы потенциальны и в системе выполняется закон сохранения механической энергии.

Удар двух тел называется абсолютно неупругим, если после удара оба тела приобретают одинаковую скорость и движутся как одно целое. Достаточно близки к абсолютно неупругому удару, например, такие процессы, как соударение шаров из мягкой глины, удар молота копра по забиваемой им свае, попадание пули в тележку с песком, в котором пуля застревает. При неупругом ударе происходят различного рода процессы в соударяющихся телах (их пластические деформации, трение и др.), в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется в ее внутреннюю энергию.

Если два тела с массами m1 и m2, двигавшиеся поступательно со скоростями v1 и v2, претерпевают абсолютно неупругий удар, то законы сохранения энергии и импульса запишутся так:

В случае произвольного абсолютно неупругого удара, не являющегося прямым центральным, эта формула позволяет найти скорость центра масс соединяющихся при ударе тел. Однако в результате такого удара может также возникнуть вращение системы вокруг ее центра масс, согласующееся с законом сохранения момента импульса.

Изменение кинетической энергии системы двух сталкивающихся тел при абсолютно неупругом прямом центральном ударе

В частности, если второе тело до удара покоится (например, свая, забиваемая при помощи копра, или поковка, лежащая на наковальне), то относительное уменьшение кинетической энергии системы при абсолютно неупругом прямом центральном ударе

1 m1 m2

Абсолютно неупругий прямой центральный удар используют в технике либо для изменения формы тел (ковка, штамповка, клепка и т. п.), либо для перемещения тел в среде с большим сопротивлением (забивание гвоздей, свай и т. п.). В первом случае целесообразно, чтобы отношение ΔWK/WK было возможно ближе к единице, т. е. необходимо, чтобы т2 > т1 (масса отковываемого изделия и наковальни должна во много раз превосходить массу молота). Во втором случае, наоборот, нужно, чтобы потери кинетической энергии при ударе были возможно меньшими, т. е. чтобы т1 > т2 (масса молотка должна во много раз превосходить массу забиваемого гвоздя).

Удар двух тел называется абсолютно упругим, если при этом ударе механическая энергия системы не изменяется, т. е. тела являются абсолютно упругими. Рассмотрим два важных случая упругих ударов.

Абсолютно упругий прямой центральный удар двух тел (например,

шаров) с массами т1 и т2, которые перед ударом движутся поступательно со скоростями v1 и v2 вдоль проходящей через их центры масс оси ОХ. Скорости

В частности, если массы тел одинаковы, то при ударе тела обмениваются

скоростями: и1х = v2x и и2х = v1x.

Если масса второго тела во много раз больше массы первого тела, то ulx и1х

≈ 2v2x – v1x и и2х ≈ v2x.

Абсолютно упругий косой центральный удар. Если тела гладкие, то импульсом сил трения при ударе можно пренебречь. В таком случае не изменяются касательные составляющие скоростей тел, т. е. составляющие, перпендикулярные к линии удара: u1η = v1η и u2η = v2η. Нормальные составляющие, направленные вдоль линии удара, изменяются так же, как при прямом ударе

т. е. шар отскакивает от стенки по закону зеркального отражения: угол отражения равен углу падения. Численное значение скорости сохраняется: u1=v1. Вектор изменения импульса шара р1 при ударе направлен перпендикулярно к стенке:

p1 m1 u1 v1 2m1v1n .

Импульс ударной силы, действующей на стенку, равен 2m1v1n.

3.6 Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса частицы относительно пространственной точки О называется физическая величина, равная векторному произведению радиусвектора r частицы на еѐ импульс р = mv:

где m – масса частицы; v – скорость частицы.

Вектор L располагается на прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости, на которой лежат векторы r и p. Начало вектора L совмещается с точкой О. Направление L определяется по правилу векторного произведения или по тождественному ему правилу буравчика (правилу правого винта). Модуль вектора момента импульса

L rp sin rmv sin , (1.25)

где α – угол между векторами r и p.

Частица может обладать моментом импульса как при вращательном, так и при поступательном движении.

Рассмотрим свободную частицу. Это частный случай изолированной

векторное произведение вектора на самого себя равен нулю. Во втором

Следовательно, для изолированной (свободной) частицы L = const.

49

материальных точек в инерциальной системе отсчѐта сохраняется неизменным во времени.

3акон сохранения момента импульса является независимым фундаментальным законом сохранения, играющим в физике такую же роль, какую играют закон сохранения импульса и закон сохранения и превращения энергии. Установлено, что закон сохранения момента импульса отражает фундаментальное свойство изотропности пространства. Область его применения выходит далеко за рамки ньютоновской механики, распространяясь на релятивистскую механику и квантовую физику.

3.7 Законы сохранения. Происхождение законов сохранения

Как принцип относительности, так и законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и ряд других выделяются своей всеобщностью, т.е. наивысшей фундаментальностью.

Своим происхождением законы сохранения обязаны свойствам симметрии природы. Эти свойства выражаются в инвариантности физических законов, т.е. в их неизменности вида при некоторых преобразованиях. Последние называются преобразованиями симметрии. В 1918 году Э. Нѐтер доказала теорему, согласно которой каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения.

Симметрия по отношению к сдвигу начала координат (свойство однородности пространства) означает, что все точки физического пространства эквивалентны. Это свойство приводит к закону сохранения импульса.

Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени или свойство однородности времени проявляется в физической эквивалентности разных его моментов (опыт в прошлом, настоящем и в будущем должны дать одинаковый результат). Это свойство приводит к закону сохранения энергии.

Симметрия по отношению к повороту координатных осей или свойство изотропности пространства проявляется в физической эквивалентности разных направлений в пространстве. Это свойство приводит к закону сохранения момента импульса.

50

Контрольные вопросы

1.Как выражается работа постоянной силы на малом и конечном перемещениях? Как найти работу переменной силы?

2.Найдите связь между кинетической энергией системы и работой действующих на систему сил.

3.Что такое мощность? Выведите ее формулу.

4.Дайте определения и выведите формулы для всех вам известных видов потенциальной энергии.

5.Какова связь между потенциальной силой, действующей на материальную точку, и потенциальной энергией этой материальной точки?

6.Что такое потенциальная кривая? Потенциальная яма? Потенциальный барьер?

7.Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия? В чем их различие?

8.В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он выполняется? Каким свойством времени обусловливается справедливость закона сохранения механической энергии?

9.Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?

10.Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием каких законов являются эти выражения?

11.При каких условиях сохраняется импульс механической системы?

12.При каких условиях сохраняется момент импульса механической системы?

13.При каких условиях сохраняется механическая энергия системы?

14.Объясните связь между законами сохранения импульса, момента импульса, механической энергии и свойствами симметрии пространства и времени.

15.Какой смысл имеет утверждение о том, что механические процессы обратимы?

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело брошено под углом α = 45° к горизонту со скоростью v0 = 15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определите скорость v тела в высшей точке его траектории. 10,6 м/с

2. Пуля массой т = 15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой М = 1,5 кг и застревает в нем. Маятник в результате этого отклонился на угол = 30°. Определите скорость пули. 164 м/с

3. Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил, описывается законом F = А(у i + x j), где А – некоторая постоянная; i и j – соответственно единичные векторы координатных осей X и Y. Определите потенциальную энергию П(х, у) тела в этом поле. П(х, у) = – Аху + С, где С – аддитивная постоянная

4. Тело массой m1 = 3 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определить количество теплоты,

выделившейся при ударе. 3 Дж