Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

101

Первыми предсказанными и проверенными экспериментальными следствиями общей теории относительности стали три классических эффекта, перечисленных ниже в хронологическом порядке их проверки.

Дополнительный сдвиг перигелия орбиты Меркурия по сравнению с предсказаниями механики Ньютона. Это предсказание было первым подтверждением ОТО, поскольку величина прецессии, выведенная Эйнштейном в 1916 году, полностью совпала с аномальной прецессией перигелия Меркурия. Таким образом была решена известная в то время проблема небесной механики. Позже релятивистская прецессия перигелия наблюдалась у Венеры, Земли, астероида Икар и как более сильный эффект в системах двойных пульсаров.

Отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца. Английские ученые в 1919 г. получила хорошее согласие с предсказанием теории.

Гравитационное красное смещение, или замедление времени в гравитационном поле. В 1967 г. был проведен эксперимент по измерению времени гравитационного запаздывания радиосигнала, отраженного от Меркурия, который дал хорошее согласие теории и наблюдений.

Ещѐ один эффект – геодезическая прецессия – прецессия полюсов вращающегося объекта в силу эффектов параллельного перенесения в искривлѐнном пространстве-времени. Предсказание геодезической прецессии было проверено в эксперименте с зондом НАСА (2007 г.) Анализ данных гироскопов позволил подтвердить предсказанную Эйнштейном геодезическую прецессию с точностью, превосходящей 1 %.

Существует ряд других эффектов, поддающихся экспериментальной проверке. Среди них можно упомянуть отклонение и запаздывание электромагнитных волн в гравитационном поле Солнца и Юпитера, астрофизические доказательства существования чѐрных дыр, доказательства излучения гравитационных волн системами двойных звѐзд и расширение Вселенной.

До сих пор надѐжных экспериментальных свидетельств, опровергающих ОТО, не обнаружено. Несмотря на это, в связи с различными причинами теоретиками было разработано не менее 30 альтернативных теорий гравитации, причѐм некоторые из них позволяют получить сколь угодно близкие к ОТО результаты при соответствующих значениях входящих в теорию параметров. Тем не менее, ни одна из прочих теорий гравитации, кроме ОТО, не выдержала проверки временем и экспериментом.

Ко с мол о г и я . Хотя общая теория относительности была создана как теория тяготения, скоро стало ясно, что эту теорию можно использовать для моделирования Вселенной как целого, и так появилась физическая космология. Физическая космология исследует Вселенную Фридмана, которая является космологическим решением уравнений Эйнштейна. Это решение предсказывает, что Вселенная должна быть динамической: она должна расширяться, сжиматься или совершать постоянные колебания.

В 1929 году Хаббл показал, что красное смещение света от отдалѐнных галактик указывает, что они удаляются от нашей собственной галактики со скоростью, которая пропорциональна их расстоянию от нас. Это продемонстрировало, что Вселенная действительно динамична и расширяется.

Уравнения, описывающие расширение Вселенной, показывают, что она становится сингулярной, если вернуться назад во времени достаточно далеко. Это событие называют Большим Взрывом. В 1948 году Дж. Гамов предложил теорию, описывающую процессы в ранней Вселенной в предположении еѐ высокой температуры и предсказывающую существование космического микроволнового фонового излучения, происходящего от горячей плазмы Большого Взрыва. В 1965 году А. Пензиас и Р. Вилсон впервые идентифицировали реликтовое излучение, подтвердив таким образом теорию Большого Взрыва и горячей ранней Вселенной.

Глубокие идеи, заложенные в общей теории относительности, являются современной основой квантовой теории тяготения, которая позволит объяснить эволюцию Вселенной.

102

Контрольные вопросы

1.Дайте формулировку законов Кеплера.

2.Запишите в скалярном и векторном виде закон всемирного тяготения.

3.Как определяется гравитационная постоянная и каков ее физический смысл?

4.Что такое вес тела? В чем отличие веса тела от силы тяжести?

5.Какое поле тяготения называется однородным? Центральным?

6.Какие величины вводятся для характеристики поля тяготения? Дайте их определения. Какова связь между ними?

7.Покажите, что силы тяготения консервативны.

8.Как вычисляются первая и вторая космические скорости?

9.В чем физическая сущность механического принципа относительности?

10.Каковы причины возникновения специальной теории относительности?

11.Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? Скорость света?

12.Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?

13.Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? Энергия покоя?

14.Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность? Приведите примеры его экспериментального применения.

15.Какие вам известны величины, сохраняющиеся при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой?

16.Что нового внесла специальная теория относительности в наши представления о свойствах пространства и времени?

17.Сформулируйте и поясните основные принципы ОТО.

18.Какие предсказания ОТО подтверждены экспериментально?

19.Какую роль играет ОТО в современной космологии?

Задачи для самостоятельного решения

1. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом = 0,5. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)? в 3 раза

2. Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

0,75 R

3. Определите, в какой точке (считается от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны. 0,9R

4.Вычислите значения первой (круговой) и второй (параболической) космических скоростей вблизи поверхности Луны. 1,68 км/с; 2,37 км/с

5.Определите, во сколько раз увеличивается время жизни нестабильной частицы (по часам неподвижного наблюдателя), если она начинает двигаться со скоростью, равной 0,9с.

в2,29 раза

6.Объем воды в океане оценивается в 1,37 км3. Вычислите, на сколько увеличится

масса воды в океане, если температура воды повысится на T = 1 К. Плотность воды в океане равна 1,03·103 кг/м3. 6,57·107 кг

103

Глава 7

МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Тепловое движение. Динамические и статистические закономерности. Макроскопические параметры. Уравнение состояния идеального газа. Характеристики соударений молекул. Явления переноса. Распределение Больцмана. Распределение Максвелла

7.1 Тепловое движение. Динамические и статистические закономерности

Все непосредственно наблюдаемые нами тела являются макроскопическими, т.е. состоят из громадного числа частиц. Очень большим является такое число N, для которого ln N >> 1. В физике среди больших чисел особо важную роль играет число Авогадро NА = 6,02252·1023. Число Авогадро равно отношению молекулярной массы вещества, выраженной в граммах, к массе одной молекулы в граммах. С числом Авогадро связана единица измерения количества вещества – моль.

Моль – это такое количество вещества, в котором содержится NА частиц. Масса 1 моля изотопа углерода С12 равна точно 12 г.

Измерение числа Авогадро очень важно потому, что это число прямо связано с существованием атомного строения вещества. Число Авогадро связывает микроскопический масштаб с макроскопическим, т. к. моль любого вещества обычно составляет тело привычных нам размеров. Так, при атмосферном давлении и 0°С моль любого газа занимает объем 22,4 л.

Макроскопические тела обладают такими свойствами (например, температурой, давлением), которые невозможно объяснить на основе только законов механики (в том числе и квантовой). Эти свойства объясняются молекулярно-кинетической теорией.

Молекулярно-кинетическая теория рассматривает все физические тела как системы, состоящие из мельчайших частиц – атомов и молекул, – которые находятся в непрерывном беспорядочном движении.

Молекулярную теорию мы будем рассматривать на примере такой физической модели, как идеальный газ.

В идеальном газе расстояния между молекулами много больше их размеров и, следовательно, объем, занимаемый молекулами, много меньше объема газа; взаимодействие между молекулами на расстоянии отсутствует; при столкновениях друг с другом и со стенками они взаимодействуют упруго.

Модель идеального газа дополняется понятием теплового равновесия.

104

Тепловое равновесие – это состояние, при котором концентрация и энергия молекул газа не изменяются во времени и одинаковы во всех точках системы.

Движение отдельной молекулы можно описывать с помощью законов механики, т.е. уравнения движения могут дать координаты и импульсы молекулы в любой момент времени. Такие закономерности называют динамическими. Если в сосуде имеется всего несколько молекул, например, пять, то вероятность их столкновения очень мала, и они движутся свободно и независимо друг от друга. Если в какой-то момент известны координаты и скорости всех частиц, т.е. микросостояние системы, то, пользуясь динамическими закономерностями, можно рассчитать ее микросостояние в любой другой момент времени. Система ведет себя однозначно, упорядоченно.

Когда частиц много, они начинают сталкиваться и влиять друг на друга. Число таких взаимодействий очень велико, и рассчитать что-либо на основе динамических закономерностей становится невозможно. Во-первых, из-за чрезвычайно большого объема вычислений – нужно решить систему из 3N дифференциальных уравнений, где N 1023. Во-вторых, такие расчеты всегда будут ошибочны из-за неизбежных погрешностей начальных данных и накопления их во время расчетов. В-третьих, результат расчетов невозможно даже прочитать и осмыслить за разумное время. Кроме того, информация о поведении каждой отдельной молекулы никак не характеризует газ в целом, т.е. именно те его параметры, которые важны на практике, – давление и температуру.

Качественное отличие движения множества микроскопических частиц в том, что вследствие случайных ударов, оно совершенно хаотично.

Беспорядочное (хаотичное) движение частиц, составляющих макроскопические тела, называется тепловым. Тепловое движение определяет внутреннее состояние каждого макроскопического тела.

Даже если задать для каждой из молекул индивидуальные начальные условия, то через короткое время все равно установится беспорядок. Иными словами, система стирает всякую память о своем начальном состоянии и всегда стремиться перейти к полному молекулярному хаосу. Это принципиальное отличие теплового движения от механического, которое зависит от начальных условий, т.е. имеет «память».

Молекулярный хаос предполагает, что координаты и импульсы отдельных молекул являются случайными величинами. При этом координаты молекул и направления скоростей равновероятны. Таким образом, молекулярный хаос соответствует определению теплового равновесия.

Методами теории вероятностей и математической статистики в

молекулярном хаосе выявляют особого рода закономерности, которые относятся не к отдельным молекулам, а к группам молекул и системе в целом. Такие закономерности называют статистическими. Они выявляют законы распределения случайных величин среди объектов изучаемой системы,

105

например, закон распределения различных скоростей среди молекул. Чем больше элементов в системе, тем строже выполняются статистические закономерности.

Раздел физики, в котором изучаются свойства и поведение макроскопических физических тел, состоящих из очень большого числа атомов, молекул, заряженных частиц (ионов, электронов) или квантов излучения (фотонов) называется статистической механикой (или

статистической физикой).

К таким телам (или системам) относятся газы, жидкие и твердые тела, ионизованный газ (плазма), световое излучение и др.

Макроскопический подход, который использует классическая термодинамика, характеризует только макросостояния системы и использует для этого небольшое число переменных, например, три: температуру, объем и число частиц. Если система находится в равновесном состоянии, то ее макроскопические параметры постоянны, тогда как микроскопические параметры изменяются со временем. Это означает, что каждому макросостоянию соответствует несколько (на самом деле, чрезвычайно много) микросостояний.

Статистическая физика устанавливает связь между этими двумя подходами. Основная идея заключается в следующем: если каждому макросостоянию соответствует много микросостояний, то каждое из них вносит в макросостояние свой вклад. Тогда свойства макросостояния можно рассчитать как среднее по всем микросостояниям, т.е. суммируя их вклады с учетом статистического веса. Усреднение по микросостояниям проводят с использованием понятия статистического ансамбля.

Статистический ансамбль – это собрание очень большого числа систем, каждая из которых является точной копией реальной системы в одном из ее возможных состояний.

Каждая система ансамбля – это одно микросостояние. Весь ансамбль описывается некоторой функцией распределения по координатам и импульсам f ri ,pi ,t . Смысл функции распределения состоит в том, что она определяет

статистический вес каждого микросостояния в макросостоянии. Существование функции распределения составляет суть основного

постулата классической статистической механики:

состояние системы из N частиц в статистической механике определяется

можно найти средние значения любой физической величины, зависящей от координат и импульсов частиц. Это принципиально иная характеристика состояния, чем в динамических теориях, где состояние задается значениями самих физических величин.

106

Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.

Развитие физики показало, что динамические закономерности можно рассматривать как предельное, приближенное выражение статистических.

Особенно ярко это проявляется в некоторых разделах физики, например, в квантовой механике.

7.2 Макроскопические параметры

Свойства равновесного состояния не зависят от деталей движения отдельных частиц и определяются поведением всего их коллектива. Это поведение характеризуется небольшим числом величин, названных макроскопическими параметрами. Установившийся характер равновесного состояния проявляется в постоянстве во времени макропараметров.

Макропараметры характеризуют общие тенденции в поведении очень большого числа частиц, другими словами, определяют усредненную картину их движения. Поэтому они имеют смысл средних значений физических величин.

Важнейшие макропараметры следующие: плотность ρ вещества (или объем V, обратно пропорциональный плотности), давление P, температура T.

Плотностью ρ называется количество вещества, приходящееся в среднем на единичный объем тела.

Это количество можно определять по-разному. Если речь идет о числе частиц, то говорят о плотности частиц n. В СИ она измеряется в м–3. Если имеется в виду плотность вещества, то вводят плотность массы ρ. В СИ ρ измеряется в кг·м–3. Если тело состоит из молекул одного сорта, то ρ = m·n, где m – масса одной молекулы.

Давлением называется абсолютное значение средней силы, действующей со стороны вещества газа или жидкости на каждую из поверхностей помещенной в них единичной площадки.

Обычно давление обозначается через Р (или p). В СИ оно измеряется в паскалях. 1 Па =1 Н·м–2. Часто используются внесистемные единицы.

1 атм = 1,033 ат = 1,013·105 Па = 1,013 бар;

1 мм рт. ст. = 133,3 Па = 1,333·10–3 бар.

В жидкости или газе, не находящихся во внешнем поле, давление всегда одинаково во всех участках среды, если только ее вещество достигло равновесного состояния.

Температура характеризует интенсивность теплового движения частиц тела. Температура связана со средней кинетической энергией поступательного движения одной частицы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы пропорциональна температуре:

107

где m0 – масса одной молекулы, v – скорость молекулы; k – коэффициент

пропорциональности, называемый постоянной Больцмана.

В СИ k = 1,38·10–23 Дж·К–1.

Температурная шкала, связанная с определением (7.72), называется абсолютной или шкалой Кельвина. Она не содержит отрицательных значений

Из (7.72) следует выражение для тепловой скорости частиц массой m:

различных частей тела. В противном случае будет осуществляться передача энергии от одних частей системы к другим.

К макропараметрам относятся также концентрация (для систем, в которых протекают химические реакции), напряженности электрического и магнитного полей для систем, находящихся в электромагнитных полях и др.

Важную роль в молекулярно-кинетической теории играет постоянная Лошмидта – концентрация идеального газа при нормальных условиях (давление P = 1,013·105 Па и температура T = 273 К): n = 2,7·1025 м–3.

Любой макропараметр описывает внутреннее состояние системы с точностью до флуктуаций.

Флуктуациями называются случайные отклонения физической величины от ее среднего значения.

Флуктуации в равновесном состоянии очень малы. Именно поэтому макропараметры с высокой точностью описывают внутреннее состояние системы.

7.3 Уравнение состояния идеального газа

Молекулы идеального газа, заключенного в сосуде объемом V, взаимодействуя со стенками, передают им импульс. Изменение импульса тела за единицу времени определяет силу, действующую на тело. Будем считать, что 1 моль идеального газа находится в сосуде, имеющем форму куба с ребром а. Определим давление на одну из граней куба, например перпендикулярную оси ОХ. Каждая молекула, упруго ударяясь о стенку куба, передает ей импульс,

108

проекция которого на ось ОХ равна 2m0vx. Время между двумя последовательными соударениями равно t 2avx . За единицу времени

молекула ударится vx 2a раз об одну стенку куба. Суммарный импульс, переданный стенке за единицу времени одной молекулой, будет равен m0v2x a .

Средний импульс, который определяет силу давления на стенку, будет

Из-за равноправности всех направлений (в равновесном состоянии)

выражение m0 v2 .

3a i

Так как в сосуде находится N молекул, то сила, действующая на стенку, равна:

Разделив Fx на площадь стенки a2, получим выражение для давления:

есть полная кинетическая энергия беспорядочного движения частиц газа, то давление можно выразить через энергию:

109

т.е. давление на стенку для идеального газа равно 2/3 от значения плотности энергии его молекул.

Уравнение (7.6) иногда называют основным уравнением кинетической теории идеального газа.

Учитывая (7.72), из формулы (7.6) получаем уравнение состояния идеального газа:

где N – общее число молекул в объеме V; n = N/V – концентрация молекул.

где ν – число молей газа; m0 – масса газа; М – молярная масса; NА – число Авогадро, то из (7.9) получаем уравнение Клапейрона - Менделеева:

7.4 Характеристики соударений молекул. Явления переноса

Взаимодействие молекул (их соударения) представляют как раз тот механизм, который приводит систему в равновесное состояние.

Столкновения являются случайными событиями. Они существенно зависят от скорости молекул, их размеров и концентрации. Молекулы можно представлять себе как упругие сферы. Если взаимодействующие молекулы одинаковы, то столкновение произойдет только в том случае, если центр молекулы окажется внутри круга, имеющего площадь

где d – минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, эффективный диаметр молекулы.

Величина называется сечением рассеяния молекул.

Между двумя последовательными соударениями молекула проходит некоторое расстояние, являющееся случайной величиной.

110

Среднее расстояние λ, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, называют средней длиной свободного пробега.

Среднее значение времени между двумя последовательными столкновениями называют средним временем случайного пробега η.

Можно показать, что средняя длина свободного пробега равна

Если в газе существует пространственная неоднородность плотности,

температуры, скорости упорядоченного движения отдельных слоев газа, то вследствие беспорядочного теплового движения молекул происходит самопроизвольное выравнивание этих неоднородностей. Возникающие при этом потоки, характерные для неравновесных состояний газа, являются физической основой процессов, называемых явлениями переноса. К этим явлениям относятся теплопроводность, внутреннее трение, диффузия, а также электропроводность, которая будет рассмотрена в лекциях по электричеству.

Теплопроводность возникает при наличии разности температур,

вызванной какими-либо внешними причинами. При этом молекулы газа в разных местах имеют разные средние кинетические энергии, и хаотическое тепловое движение молекул приводит к направленному переносу внутренней энергии газа. С течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е. иными словами, выравнивание температур.

Внутреннее трение (вязкость) связано с возникновением сил трения между слоями газа, перемещающимися параллельно друг другу с различными по модулю скоростями.

Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающиеся слои тормозят более быстро движущиеся. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

Диффузией называется явление самопроизвольного взаимного проникновения и перемешивания частиц двух соприкасающихся газов,