Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

51

ГЛАВА 4

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции. Скатывание тел с наклонной плоскости. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса и закон его сохранения. Гироскопические явления. Уравнение движения и равновесия твердого тела. Рычаги. Аналогия уравнений поступательного и вращательного движений.

4.1 Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции

В общем случае абсолютно твердое тело может участвовать одновременно в двух движениях: поступательном и вращательном, каждое из которых можно рассматривать по отдельности. Движение обычно описывается заданием рассмотренного ранее поступательного движения центра инерции С тела, которое определяется функцией rC rC t , и вращательного движения

(относительно центра инерции или другой точки, или какой-либо оси вращения).

При вращательном движении тела его точки описывают окружности, центры которых лежат на прямой, являющейся осью вращения. Точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными (рисунок 4.1).

V

У цилиндра одна из главных осей инерции направлена вдоль, а две другие – любые взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через центр масс тела и лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра (рисунок 4.2, б). Главные моменты инерции цилиндра массой т, радиусом R и длиной l:

Главные моменты инерции тонкого диска массой т и радиусом R:

У шара и тонкостенной сферы все три главных момента инерции одинаковы. Для шара массой т и радиусом R они равны

Главные оси инерции шара – три любые взаимно перпендикулярные прямые,

Направление осей главных моментов инерции обладают тем важным свойством, что свободные вращения тел, совершаемые вокруг осей с наибольшими и наименьшими значениями таких моментов, будут устойчивыми. Если вращение не совпадает ни с одной из таких осей, то оно будет неустойчивым.

Если ось вращения проходит параллельно главной оси на некотором расстоянии a от нее, то момент инерции относительно этой оси вычисляется по

теореме Штейнера:

Момент инерции тела J относительно произвольной оси вращения равен его моменту инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния a между указанными осями:

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников. Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов еѐ измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого автоматической межпланетной станцией,

54

пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара – 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, еѐ плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неѐ плотного ядра.

4.2 Скатывание тел с наклонной плоскости

Пусть скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси С (рисунок 4.3). Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости на скатывающееся тело. Эти си

Рисунок 4.3

лы сводятся к силе нормального давления Fn, и к касательной силе трения Ft. При отсутствии скольжения сила Ft есть сила трения покоя или сила трения сцепления. Модуль силы Ft может принимать любое значение от 0 до kFn, где k – коэффициент трения. При качении она устанавливается как раз такой, чтобы не было скольжения. Если касательная сила, требующаяся для этого, превышает kFn, то чистое качение невозможно – оно будет сопровождаться скольжением.

относительно оси, проходящей через центр масс С. Следовательно,

Таким образом, если тело вращается относительно оси, проходящей через центр масс, и одновременно перемещается поступательно так, что ось смещается параллельно самой себе, то

полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения центра масс тела и кинетической энергии вращения тела относительно оси, проходящей через центр масс.

можно переписать следующим образом

55

Следовательно,

Величину ρ называют радиусом инерции тела, а r – радиусом качения тела. Радиус качения есть расстояние между центром масс скатывающегося тела и мгновенной осью вращения (точка А). Для цилиндра или шара радиус качения равен геометрическому радиусу этих тел.

Ускорение скатывающегося тела и приобретенная им скорость поступательного движения зависят от отношения радиуса инерции к радиусу качения. Возьмем маховик, насаженный на ось. Положим ось на наклонные рельсы, чтобы маховик находился между ними. Радиус качения в этом случае совпадает с радиусом оси маховика r. Отношение ρ/r здесь велико, и маховик будет скатываться очень медленно.

Пользуясь выражениями для моментов инерции, полученными ранее, легко найти соответствующие радиусы инерции, а затем вычислить ускорение а. Получим следующие

Полые тела скатываются медленнее, чем сплошные тела той же массы и геометрической формы. При одинаковых массах моменты инерции полых тел больше, чем сплошных. Поэтому на долю вращательного движения у полых тел приходится относительно большая кинетическая энергия, чем у сплошных.

Абсолютно твердое тело, обладающее осевой симметрией, например цилиндр или шар, при отсутствии скольжения катится по твердой горизонтальной плоскости прямолинейно и равномерно, совсем не испытывая силы сопротивления. Для реальных тел это справедливо только приближенно. В этом случае тело и плоскость деформируются. На плоскости возникает углубление, тело соприкасается с ней не в одной геометрической точке, а на некотором участке конечной площади. В результате при качении по горизонтальной плоскости возникает сила, замедляющая движение. Это есть сила трения качения. Она обычно мала по сравнению с силой трения скольжения, и во многих случаях ею можно пренебречь.

56

4.3 Момент силы. Уравнение динамики вращательного

В динамике момент силы характеризует способность силы вызывать вращение тел и изменять угловую скорость ω.

Различают моменты силы относительно точки и относительно оси.

Моментом силы F относительно произвольной точки O (полюса, центра) называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного из точки

Вектор момента силы откладывается по оси вращения в сторону поступательного движения буравчика, у которого ручка вращается в направлении действия силы (правило буравчика).

Из этого определения следует, что момент M не изменится, если точку приложения силы F перенести в любую другую точку, расположенную на линии действия силы.

Главным (результирующим) моментом системы сил относительно неподвижной точки O (полюса) называется вектор M, равный геометрической сумме моментов относительно точки O всех n сил системы:

57

где ri – радиус-вектор, проведенный из точки O в точку приложения силы Fi.

Моментом силы F относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки O данной оси z.

Значения момента Mz не зависит от выбора положения точки O на оси z. Если ось z совпадает с направлением вектора M, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью.

Работу силы при вращении, согласно (4.8) можно записать в виде

динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

Согласно (4.15) момент силы относительно оси совпадает с производимой ею работой, отнесенной к единичному угловому перемещению. С другой стороны, произведенная над телом работа равна убыли его потенциальной энергии.

Таким образом, момент силы равен взятой с обратным знаком производной от потенциальной энергии по углу поворота тела вокруг данной оси. Обратим

связывающей саму силу с изменением потенциальной энергии при поступательном перемещении материальной точки (тела).

Уравнение движения вращающегося тела находится, как и должно было быть, в согласии с законом сохранения энергии. Полная энергия тела есть

а ее сохранение выражается равенством

По правилу дифференцирования функции от функции имеем

Подставив эти выражения и сократив общий множитель ω, мы снова получим уравнение динамики вращательного движения:

4.4 Момент импульса и закон его сохранения

Аналогом импульса в динамике вращательного движения является момент импульса. Момент импульса L во вращательном движении играет ту же роль, что и импульс p = mv в поступательном движении. Частица может обладать моментом импульса как при вращательном, так и при поступательном движении (см. лекцию3 п.3.6).

Различают момент импульса относительно оси и относительно точки.

Моментом импульса относительно произвольной точки O называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенному из центра O в место нахождения частицы, на вектор p еѐ импульса:

где m и v – масса и скорость частицы (материальной точки).

Вектор L располагается на прямой, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости, на которой лежат векторы r и p. Начало вектора L совмещается с точкой O. Направление L определяется по правилу векторного произведения или по тождественному ему правилу буравчика.

Модуль вектора момента импульса

определенного относительно произвольной расстояния точки O данной оси z.

59

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью vi . Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус – плечо вектора mivi. Тогда момент импульса отдельной частицы вращающегося твердого тела равен

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом буравчика.

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси

называется скалярная величина Lz, равная

Момент импульса тела можно записать в другом виде:

Если система изолирована (замкнута), т.е. сумма внешних сил и моментов внешних сил равна нулю, то и производная момента импульса равна нулю:

Последние уравнения выражают закон сохранения момента импульса.

Существует отличие в законах сохранения импульса и момента импульса. Согласно закону сохранения импульса внутренние силы не могут изменить скорость поступательного движения тела. Однако внутренние силы могут изменить угловую скорость вращающегося тела. Если вращающееся тело не является твердым и одни его части могут под действием внутренних сил изменить своѐ положение относительно других частей, то наряду с изменением момента инерции J тела изменится и его угловая скорость ω.

Для системы из одного тела

60

Примеры.

1) Рассмотрим наглядный пример (скамья Жуковского). Экспериментатор сидит на вращающемся стуле, держа в вытянутых в разные стороны руках по гантели. Если во время вращения экспериментатор поднесет руки с гантелями к груди и тем самым уменьшит собственный момент инерции, то его угловая скорость заметно увеличится.

2) Перемещение больших масс на поверхности Земли (дрейф айсбергов от полюсов, паводки от таяния снегов, вулканическая деятельность, горообразование, ветры и т. д.) меняет момент инерции Земли. Земля также подвержена регулярным внешним воздействиям , прежде всего силам приливного трения, связанным с гравитационным притяжением Луны и Солнца. Этим частично объясняются колебания скорости вращения Земли, и, следовательно, некоторая неточность астрономического эталона времени (флуктуации в несколько тысячных долей секунды за сутки). Неравномерность вращения Земли можно наблюдать с помощью кварцевых, атомных или молекулярных часов.

3) Вертолет имеет один большой несущий винт. При вращении винта в силу требования постоянства момента импульса фюзеляж вертолета должен вращаться в противоположную сторону. Чтобы фюзеляж не крутился, его нужно затормозить за счет каких-то внешних сил, например, с помощью дополнительного винта с осью, перпендикулярной оси главного винта. В некоторых случаях делают два несущих винта, которые вращаются в противоположных направлениях.

Закон сохранения момента импульса связан с физической эквивалентностью различных направлений в пространстве (изотропностью пространства). Установление этой связи сводится к доказательству того, что обращение в нуль суммы моментов всех действующих в системе сил является следствием неизменности свойств замкнутой системы при любом повороте ее как целого (т. е. как если бы она представляла собой твердое тело).

4.5 Гироскопические явления

Еще одним важным примером закона сохранения момента импульса являются различные тела, вращающиеся вокруг своей главной оси инерции. Пусть при этом равен нулю суммарный момент внешних сил относительно центра масс тела, т. е. выполнено условие (4.27). Из (4.27) следует, что Lc = const, а момент импульса Lc и угловая скорость вращения тела ω связаны соотношением Lc Jω, где J – соответствующий главный момент инерции тела.

Отсюда

В данном случае ось вращения тела оказывается неподвижной, хотя она и не закреплена. Это и есть свободная ось вращения. Такое вращение тела называют

свободным вращением или инерционным вращением.