Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

221

где p – параметр (расстояние фокуса от директрисы).

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах r, θ (полюс находится в фокусе кривой, а полярная ось проведена из фокуса в ближайшую вершину кривой):

где p – параметр кривой, p = b2/a; – ее эксцентриситет, = c/a ( 1 у эллипса, = 1 у параболы, 1 у гиперболы).

Общее уравнение плоскости

Ax By Cz D 0,

где a, b, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

В частном случае при a = b имеем эллипсоид вращения (вокруг оси Oz).

222

В7 Комплексные числа

Комплексное число в алгебраической форме

z a ib,

где a и b – вещественные (действительные) числа; i – мнимая единица, i 1.

Число a называется действительной частью, а b – мнимой частью комплексного числа z и обозначаются a Re z; b Im z .

Модуль и квадрат модуля комплексного числа z:

Тригонометрическая форма комплексного числа

где θ – аргумент комплексного числа, т.е. угол между положительным направлением действительной оси Ox и вектором, соответствующим числу z; находится по формулам

224

В9 Дифференциальные векторные операции

Градиент скалярной функции θ – векторная функция, обозначаемая grad и равная

Некоторые важные ряды и области их сходимости

1)x

225

П Р И Л О Ж Е Н И Е Г ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА

Г1 Задачи по физическим основам механики

где a и — константы. 1) Определите радиус-вектор r, скорость v и ускорение a частицы, а также их модули; 2) Вычислите скалярное произведение векторов r и v. Что означает его полученный результат? 3) Найдите уравнение траектории частицы и охарактеризуйте движение частицы.

4.При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m =20 г поднялась на высоту h =5 м. Определите жесткость пружины пистолета, если она была сжата на x = 10 см. Массой пружины пренебречь.

5.Боек свайного молота массой m = 200 кг падает с некоторой высоты на сваю массой M = 300 кг. Найдите к.п.д. бойка, считая удар неупругим. Полезной следует считать энергию, пошедшую на углубление сваи.

6.Нейтрон (масса m0) ударяется о неподвижное ядро атома углерода (m = 12 m0). Считая удар центральным и упругим, найдите: 1) во сколько раз уменьшится кинетическая энергия нейтрона при ударе? 2) какую часть скорости потеряет нейтрон при ударе?

константа (a >0). Частица начинает двигаться из точки с координатами (3;3;3) (м). Найти ее кинетическую энергию K в момент, когда частица находится в точке (1;1;1) (м).

1) силу F, действующую на частицу; 2) работу A, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1; 1; 1) в точку (2; 2; 3).

9.Через блок, масса которого 100 г, перекинута гибкая нерастяжимая нить, к концам которой привязаны два груза массами 200 г и 300 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Чему равно угловое ускорение блока, если его радиус 10 см? Трение при вращении не учитывать.

10.Определите тормозящий момент, которым можно остановить за время 20 с маховое колесо массой 50 кг и радиусом 0,30 м, вращающееся с частотой 20 об/с. Массу маховика считать распределенной по ободу. Чему равна работа, совершаемая тормозящим моментом?

11.Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 15 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения возросла до 25 об/мин. Масса человека 70 кг. Определите массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

226

12. К материальной точке, положение которой определяется радиус-вектором r 3i 2j 4k , приложена сила F 5i 4j 3k . Определите вектор момента силы относительно начала координат и модуль вектора момента силы.

13.Материальная точка массой m = 10–3 кг колеблется согласно уравнению X=A·sin( t), где

А= 0,05 м, = 20 с-1. Определите максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии точки.

14. Энергия одномерного гармонического осциллятора имеет вид W mx22 kx22, где

m – масса, k – коэффициент квазиупругой силы. Найдите амплитуду колебаний смещения xm и амплитуду скорости

15.Определите, в какой точке (считая от центра Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R , масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

16.При какой скорости кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

Г2 Задачи по молекулярной физике и термодинамике

17.Воспользовавшись значением числа Авогадро, определите массу:

1) атома водорода, 2) молекулы кислорода (O2), 3) атома урана.

18.Вычислите массу М моля электронов.

19.Использовав значение числа Авогадро, определите атомную единицу массы (а. е. м.).

20.Оцените диаметр d атомов ртути.

21.Моль таких газов, как гелий, водород, азот, кислород, занимает при нормальных условиях (t = 0°C, P = 101,3 кПа) объем, равный V = 22,4 л. Чему равно в этом случае:

1)число n молекул газа в единице объема; 2) среднее расстояние (а) между молекулами? Сравните это расстояние с диаметром молекулы d.

22. Как, зная плотность и молярную массу М, найти число п молекул вещества в единице объема?

23.При неизменном давлении р = 3·105 Па газ: а) расширяется от объема V1 = 2 л до объема V2 = 4 л; б) сжимается от объема V1 = 8 л до объема V2 = 5 л. Найдите работу A, совершаемую газом, и работу А', совершаемую над газом.

24.Круговой процесс на диаграмме P, V изображается эллипсом, показанным на рисунке 1. Используя данные, приведенные на рисунке, определите количество тепла Q,

получаемого рабочим телом за один цикл.

р, МПа

0,400

0,100

рис.

25.Моль идеального газа, имевший первоначально температуру T1 = 290 К, расширяется изобарически до тех пор, пока его объем не возрастет в 2 раза. Затем газ охлаждается изохорически до первоначальной температуры T1. Определите: 1) приращение внутренней энергии газа U; 2) совершенную газом работу A; 3) полученное газом количество тепла Q.

26.Гелий (Не), массой m = 321 г, находившийся первоначально при температуре t = 20°С и давлении P1 = 1·105 Па, сжимают адиабатически до давления P2 = 1·107 Па. Определите:

по порядку величины относительная разность энтропии SS для случаев 1) и 2)?