Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

61

Пример инерционного вращения – вращение Земли и других планет вокруг собственных осей, т. е. вокруг главных осей инерции (у шара любой диаметр является главной осью инерции с главным моментом инерции

J 2 mR25 ). Направление свободной оси вращения земного шара практически

не изменяется со временем; оно образует угол 66,5° с плоскостью орбиты Земли. Свободная ось вращения Венеры ориентирована перпендикулярно к плоскости орбиты планеты, а свободная ось вращения Урана лежит практически в плоскости орбиты планеты.

Велосипедист во время движения сохраняет вертикальную ориентацию благодаря тому, что сохраняется направление момента импульса (а значит, и угловой скорости) вращающихся колес.

Наиболее важным примером практического применения векторного закона сохранения момента импульса, рассматриваемого относительно центра масс тел являются гироскопы.

Гироскоп – симметричное тело, которое вращается с большой угловой скоростью вокруг оси, проходящей через центр масс. Такое тело с высокой точностью сохраняет заданное направление оси вращения. Его изобрел Ж. Фуко в 1852 г. Гироскоп – основной элемент всех гироскопических приборов, к которым относятся указатели курса, поворота, горизонта, автопилоты, гирокомпасы и т. д. Корпус таких приборов может как угодно поворачиваться, но ось быстро вращающегося (с частотой до нескольких тысяч оборотов в секунду) гироскопа будет сохранять неизменным свое направление. При изменении положения корпуса в пространстве изменяется и его положение относительно оси вращения, что приводит к воздействию на подшипники гироскопа. Эти воздействия преобразуются в сигнал, который корректирует, например, полет самолета. По такому принципу работает автопилот. Системы ориентации на базе гироскопов широко применяют на кораблях, ракетах, подводных лодках, гусеничных машинах и т. д.

До тех пор, пока на гироскоп (волчок) не действуют никакие внешние силы, его ось будет сохранять свое направление в пространстве: в силу закона сохранения момента импульса направление и величина вектора L остаются неизменными. Если же приложить к гироскопу внешние силы, его ось начнет отклоняться на некоторый угол θ. Это движение оси гироскопа и называют прецессией. Точнее, прецессией называется движение оси гироскопа под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось описывает конус с углом раствора 2θ.

Изменение направления оси гироскопа представляет собой его вращение относительно некоторой другой оси, так что вектор суммарной угловой скорости уже не будет направлен вдоль геометрической оси тела. Вместе с ним не будет уже совпадать с той же осью (а также и с направлением ω) и вектор момента L. Однако, если основное вращение гироскопа достаточно быстро, а внешние силы не слишком велики, скорость поворачивания оси гироскопа будет относительно мала и вектор ω, а с ним и L будут все время близки по направлению к оси гироскопа.

62

Гироскопический эффект. Если к вращающемуся вокруг оси Z волчку (гироскопа) приложить момент сил, стремящийся повернуть его вокруг оси X , перпендикулярной оси вращения, то в результате он будет поворачиваться (прецессировать) вокруг третьей оси, перпендикулярной первым двум, т.е. вокруг оси Y с угловой скоростью

где m – масса волчка (гироскопа); l – расстояние от шарнира до центра инерции волчка; Jω – момент импульса волчка относительно его оси. Вращение гироскопа предполагается достаточно быстрым: ω >> Ω.

Угловая скорость прецессии Ω не зависит от угла наклона θ оси гироскопа. Кроме того, полученный результат показывает, что Ω обратно пропорциональна ω, т.е. действительно, чем больше угловая скорость гироскопа, тем меньше угловая скорость его прецессии.

4.6 Уравнения движения и равновесия твердого тела. Рычаги

Абсолютно твердое тело, если на его движение не наложены никакие ограничения, обладает шестью степенями свободы (i = 6). При ограничении свободы движения число степеней свободы твердого тела уменьшается. Так, твердое тело, одна из точек которого неподвижно закреплена, может только вращаться вокруг этой неподвижной точки, и имеет три степени свободы. Твердое тело, которое может только вращаться вокруг закрепленной оси, имеет только одну степень свободы.

Число независимых уравнений, требующихся для описания движения тела всегда равно числу степеней свободы. Для описания движения твердого тела требуется шесть независимых числовых уравнений.

Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс

Уравнение моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс твердого тела. В уравнения (4.35) и (4.36) входят только внешние силы. Внутренние силы не влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела. Они могут изменять только взаимное расположение и скорости материальных точек тела. Но для абсолютно твердого тела такие изменения невозможны. Таким образом, внутренние силы не влияют на движение твердого тела.

Если твердое тело покоится, то уравнения (4.35) и (4.36) переходят в

63

Это необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением момента импульса.

В качестве примера использования этих условий рассмотрим такой простой механизм как рычаг. Простые механизмы (рычаги, блоки, вороты, винты и др.) применяются для того, чтобы используя малую силу, уравновесить большую и тем самым получить выигрыш в силе.

Рычагом называется твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения и подверженную действию нескольких (не менее двух) моментов внешних сил. Если внешние силы приложены по разные стороны относительно оси вращения, то рычаг называется рычагом первого рода. Если же они лежат по одну сторону, то – второго рода. Рычагами первого рода являются, например, гвоздодер, ножницы, весло гребца, железнодорожный шлагбаум. Рычагами второго рода являются, например, обычная тачка, локтевая кость.

Так как у рычага ось неподвижная, то его движение имеет одну степень свободы, а для равновесия, т.е. покоя или равномерного вращения, необходимо соблюсти лишь одно требование: сумма моментов внешних сил относительно оси должна быть равна нулю:

Отсюда следует правило рычага, выражаемое пропорцией

F1 l2

Выигрыш в силе измеряется отношениями F2 F1 или l1 l2 . Так как

линейные перемещения точек приложения сил прямо пропорциональны длинам плеч рычага, то из соотношения (4.39) следует «золотое правило механики»: «что выигрывается в силе, то проигрывается в расстоянии».

64

вращательного движений

Контрольные вопросы

1.Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,

икак ее вывести?

2.Что такое момент инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

3.В чем заключается теорема Штейнера?

4.Чему равна полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела?

5.Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

6.Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

7.Что такое момент импульса материальной точки? Твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

8.Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона сохранения момента импульса?

9.Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

10.Запишите и поясните условия равновесия твердого тела.

11.Что такое рычаг и где он может применяться?

12.Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, и прокомментируйте их аналогию.

65

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите момент инерции тонкого однородного стержня длины l и массы m: 1) относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через его центр масс; 2) относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через конец стержня.

2. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. В 1,07 раза

3.Шар радиусом R = 10 см и массой т = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению = А + Вt2 + Сt3 (В = 2 рад/с , С = – 0,5 рад/с3). Определить момент сил

Мдля t = 3 с. –0,1 Н·м

4.На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 5 см и массой М = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой т = 1 кг. Определить: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость

(t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость ω вала через t = 1 с после начала

м/с2; аn = 53,8 м/с2

5. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается по наклонной плоскости длиной l = 5 м. Угол плоскости наклона α = 25°. Определить момент инерции колеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с. 0,259 кг·м2

6. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг·м2, намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определить: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. 1) 2 с; 2) 4,31Н; 3) 1,32 Дж

7.Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м

имассой т = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг·м2 и вращается с частотой ω = 12 мин-1. Определить частоту п2 вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное

положение. 8,5 мин–1 8. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым

ускорением = 0,4 рад/с2. Определить кинетическую энергию Κ маховика через время t2 = 25 с после начала движения, если через t = 10 с после начала движения момент импульса L маховика составлял 60 кг·м2/с. 750 Дж

66

Глава 5

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Упругие деформации и напряжения. Закон Гука. Общие свойства жидкостей и газов. Основы гидростатики. Кинематика движения жидкости. Уравнение неразрывности. Уравнение (теорема) Бернулли. Закон сохранения импульса в гидродинамике. Вращательное (вихревое) движение жидкости. Вязкость. Число Рейнольдса

Уравнения механики позволяют полностью описать движение абсолютно твердого тела. Но эти уравнения недостаточны для описания движения деформируемых тел, жидкостей и газов. В этих случаях приходится строить другие модели. При этом к фундаментальным уравнениям механики присоединяют ряд дополнительных экспериментальных законов, отражающих специфику изучаемых объектов.

Большой класс такого рода задач решает механика сплошных сред. В модели сплошной среды учитывают размеры, форму и деформацию тела, но пренебрегают его атомно-молекулярным строением. Это представление удобно потому, что разработанные методы математического анализа хорошо приспособлены для непрерывных (сплошных) сред, а математическое описание прерывных (дискретных) сред очень затруднено.

В механике сплошных сред рассматриваются тела, которые могут как угодно менять свою форму во время движения. К ним относятся разнообразные упругие, пластические тела, сыпучие среды, жидкости и газы. Бесконечно малый объем тела также называется частицей.

5. 1 Упругие деформации и напряжения . Закон Гука

Вначале рассмотрим идеально упругие тела.

Идеально (абсолютно) упругим телом называется такое тело, которое обладает свойством восстанавливать свои размеры и форму после того, как деформирующие его силы прекращают свое воздействие.

Деформацией называют изменение формы и размеров твердого тела под действием внешних сил.

Различают упругую и пластическую деформации.

Упругая деформация – деформация, исчезающая после прекращения действия внешних сил.

Пластическая деформация – деформация, сохраняющаяся после прекращения действия внешних сил.

Мысленно рассечем упруго деформированное тело на две части. Результирующая всех внешних сил, приложенных к каждой из этих двух частей

67

тела, уравновешивается упругой силой Fупр, действующей на рассматриваемую часть со стороны другой. Физическая величина, численно равная упругой силе dFynp,приходящейся на единицу площади dS течения тела, называется

напряжением

dFупр

dS .

Напряжение называется нормальным, если сила Fynp направлена по нормали к площадке dS, и касательным, если она направлена по касательной к этой площадке.

Если некоторая величина x, характеризующая форму или размеры тела, изменяется на x, то величину x называют абсолютной деформацией. Относительной деформацией, называют величину ε, равную отношению абсолютной деформации x к первоначальному значению x: x x .

Английский физик Р. Гук экспериментально установил, что напряжение

упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации (закон Гука):

где kх – модуль упругости. Величина kх определяется свойствами материала, из которого изготовлено тело. В зависимости от вида деформации модуль упругости имеет различные наименования, обозначения и численные значения.

Величина ах = 1/kx называется коэффициентом упругости.

Закон Гука справедлив лишь для достаточно малых относительных деформаций. Напряжение σп, при котором пропорциональность между напряжением и деформацией нарушается, называется пределом пропорциональности.

Любая сложная деформация твердого тела может быть представлена как результат наложения двух основных типов деформаций, которые называются элементарными. Элементарными деформациями являются растяжение (или сжатие) и сдвиг.

При продольном растяжении процесс деформации прекращается, когда упругие силы становятся равными растягивающей силе F. В этом случае модуль упругости носит название модуля Юнга Е. Из формулы (5.1), заменив

площадь поперечного сечения, E – модуль Юнга.

Из формулы (5.2) следует, что модуль Юнга равен нормальному напряжению, которое возникало бы в образце при увеличении длины в два раза,

68

если бы для столь большой деформации был бы справедлив закон Гука. Уменьшение длины образца при его продольном сжатии также описывается формулой (5.2).

Растяжение (или сжатие) образцов сопровождается их поперечным сужением (или расширением) d/d, где d – поперечный размер образца, d – абсолютная величина его изменения. Отношение поперечного сужения d/d к продольному удлинению l/l называется коэффициентом Пуассона μ:

При всестороннем (гидростатическом) сжатии тела относительное изменение его объема можно представить в виде

где P – давление, K – модуль всестороннего сжатия тела,

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои; параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь размерах, смещаются параллельно друг другу (рисунок 5.1). Сдвиг происходит под действием касательной силы Ft, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань AD параллельная ВС, закреплена неподвижно. При

где x = СС' – абсолютный сдвиг, a γ – угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выраженный в радианах.

По закону Гука, относительный сдвиг пропорционален касательному напряжению η = Ft/S (S – площадь поверхности грани ВС), т. е.

Величина G носит название модуля сдвига. Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Постоянные Е, μ, К и G определяются природой вещества, из которого состоит тело и характеризуют его упругие свойства; они не зависят от размеров и формы тела. Уже отмечалось, что все виды деформации могут быть сведены к двум элементарным. Поэтому из четырех приведенных постоянных независимы только две. Например, К и G могут быть выражены через E и μ. Запишем без доказательства соответствующие формулы:

Рассмотрим результаты испытаний какого-либо однородного образца на растяжение, представленные в виде диаграммы растяжения – зависимости

70

Величина wП называется объемной плотностью потенциальной энергии.

Аналогичным путем можно вычислить энергию упругой деформации при сдвиге (рисунок 5.1). На грань куба с ребром l, лежащую в плоскости сдвига, действует касательная

сила F, равная F = ηl2, или, согласно (5.5),

F = Gγl2

Из формул (5.7) и (5.9) видно, что объемная плотность энергии упругой деформации прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости. Подобные формулы можно получить и для других деформаций. Однако все они справедливы лишь в пределах применимости закона Гука.

5. 2 Механическ ие свойства жидкостей и газов . Основы гидростатики

Твердые тела характеризуются в отношении механических свойств такими величинами как модуль всестороннего сжатия К и модуль сдвига G.

Существуют и такие тела, у которых модуль сдвига G → 0. Это жидкости и газы. Механические свойства последних таковы, что появление любого сколь угодно малого сдвигового напряжения приводит к заметным смещениям частиц тела друг относительно друга. Говорят в связи с этим, что жидкости и газы обладают свойством текучести.

Жидкости и газы в состоянии равновесия не обладают упругостью формы. Они обладают только объемной упругостью. Модуль всестороннего сжатия у жидкостей по порядку величины такой же, как и у твердых тел. У газов аналогичная величина много меньше, чем у жидкостей и твердых тел. В обычных условиях газы легко сжимаемы, а жидкости можно считать практически несжимаемыми.

В механике термин «жидкости» применяется и к газам и к жидкостям. В случае необходимости различают жидкости капельные, практически несжимаемые и образующие в поле силы тяжести поверхность раздела на границе с другой средой (например, с газом), и жидкости газообразные, сжимаемые и целиком заполняющие ту часть пространства, в которую они помещены.

Жидкости и газы рассматривают в механике как сплошные среды, непрерывно заполняющие часть пространства. Так же как и твердые тела, жидкости и газы принимают за систему материальных точек, каждая из которых является элементарным объемом.

Раздел механики, изучающий состояние равновесия и движения жидкостей под действием внешних сил, называется гидромеханикой (гидроаэромеханикой). Равновесие жидкостей и газов рассматривается в разделе,

называемом гидростатикой.