Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

11

В классической физике пространство описывается моделью евклидова трехмерного пространства, в которой точки пространства определяются тройками чисел, например, x, y, z. Евклидово пространство является однородным и изотропным, то есть в пространстве нет выделенных точек и направлений. Количественной характеристикой пространства является длина интервала, равная расстоянию между двумя точками. Расстояние r12 между двумя точками определяется формулой

Оно не зависит от выбора системы координат, которая использована при определении r12.

В Международной системе единиц СИ длина L принимается за основную величину. Единицей длины является метр (м).

Время в физике описывается моделью непрерывного линейного времени t. Интервал линейного времени t12 между двумя событиями в одной точке пространства может быть измерен с помощью часов (прибора для отсчѐта времени). В Международной системе единиц СИ время T принимается за основную величину. Единицей времени является секунда (с).

Зависимость метрических и топологических свойств реального пространства от находящихся в нем физических полей и вещества является одним из основных положений общей теории относительности.

Некоторое представление о пространственно-временной шкале дают следующие числа.

Размер Вселенной ~1026 м.

Время существования Вселенной ~1010 лет. Размер атома ~10–10 м = 1Å (ангстрем). Размер ядра атома ~10–15 м.

Размер структурных элементов частиц ~10–18 м.

Время жизни нестабильных элементарных частиц до 10–11 с.

Самой главной для физики величиной этой шкалы является размер атома, имеющий порядок 10–10 м = 0,1 нм. Этим размером все физические явления подразделяются на макроскопические и микроскопические.

Макроскопическими называются явления, происходящие с очень большим количеством атомов или молекул в областях, превышающих размеры атомов и молекул на несколько или более порядков, т.е. свыше 10–8 10–7 м.

Микроскопическими называют явления, происходящие в областях, сравнимых с атомными размерами и меньших.

Скорость света в вакууме c 3,0·108 м·с–1 является предельно высокой скоростью движения любого материального объекта. Поэтому ее называют

универсальной или мировой постоянной. Если скорость движения v

пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света c, так что vc 1, то

движение является нерелятивистским. В противном случае движение носит

релятивистский характер.

12

Движения макроскопических тел (r > 10–7 м) подчиняются классическим (неквантовым) законам. Движения микрочастиц подчиняются законам, качественно отличным от классических, если хотя бы одна из характерных для движения величин размерности кг·м2·с–1 оказывается сравнимой с постоянной Планка ħ:

mvr ,

где m – масса; v – скорость частицы; r – характерный размер области.

Такие движения называют квантовыми. Наряду со скоростью света, постоянная Планка также является универсальной константой, с которой связано разграничение законов физики на квантовые и классические.

Типичной задачей физики является такая: как будет вести себя исследуемая физическая система в данных условиях. Для того чтобы сформулировать и решить такую задачу, необходимо задать для исследуемой системы ее состояние и уравнения движения.

Состояние физической системы определяется набором независимых друг от друга физических величин. Например, состояние макроскопической материальной точки определяется ее положением и скоростью. Состояние составной системы определяется через состояния ее составных частей.

Уравнения движения описывают изменение состояний во времени. Если состояние системы задано, то выписывание уравнений движения сводится к правильному применению известных физических законов.

Решение систем уравнений методами вычислительной математики с применением компьютеров, как правило, требует глубокого физического осмысления для выбора разумных приближений и эффективной методики решения.

13

Гл а ва 1

ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ

Основные принципы и понятия кинематики поступательного движения. Вращательное движение. Гармоническое колебательное движение. Прямая и обратная задачи кинематики

поступательного движения

Механика – раздел физики, который изучает простейший вид движения – перемещение тел или частей тела относительно друг друга и происходящие при этом взаимодействия между ними.

Механика ставит перед собой две основные задачи:

1)Изучение различных движений и обобщение полученных результатов в виде законов движения – законов, с помощью которых может быть предсказан характер движения в каждом конкретном случае.

2)Отыскание общих свойств, присущих любой механической системе, независимо от конкретного рода взаимодействий между телами системы.

Основная задача – определение положения и скорости тела в пространстве относительно других тел в любой момент времени.

Механика делится на кинематику, статику и динамику.

Кинематика – раздел механики, изучающий перемещение тел без учета взаимодействий между ними.

Статика – раздел механики, изучающий условия равновесия тел под действием сил.

Динамика – основной раздел механики, изучающий закономерности механического движения макроскопических тел на основе анализа их взаимодействий.

Реальные движения тел настолько сложны, что, изучая их, необходимо отвлечься от несущественных для рассматриваемого движения деталей (в противном случае задача так усложнилась бы, что решить ее практически было бы невозможно). Среди применяемых для этого моделей механики большую роль играют понятия материальной точки и абсолютно твердого тела.

Материальной точкой (частицей) называется тело, формой и размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Абсолютно твердым телом (твердым телом) называется система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется при любых движениях и воздействиях. Реальное тело можно считать абсолютно твердым, если в условиях рассматриваемой задачи его деформации пренебрежимо малы.

14

Всякое движение относительно. Описание движения возможно только при наличии системы отсчета.

Системой отчета называется совокупность условно неподвижного тела отсчѐта, жѐстко связанной с ним системы координат и часов (способа измерения времени).

Тело отсчѐта – твердое тело, по отношению к которому определяется положение других тел в различные моменты времени.

Систему отсчета обычно изображают трехмерной прямоугольной системой координат, оси которой жестко связаны с набором тел и часами, неподвижными относительно них.

Систему отсчета можно связывать с различными телами. Особо важный класс составляют свободные тела.

Свободное тело – это тело, на которое не действуют другие тела или их действие скомпенсировано, т. е. в сумме равно нулю.

Иначе: свободное тело – это тело, свобода перемещений которого не ограничивается никакими другими телами .

Например, свободным телом является тело, настолько удаленное от всех окружающих тел, что можно пренебречь его взаимодействием с ними.

Тело, ограничивающее свободу перемещений объекта, называется связью. Для свободных тел справедлив принцип инерции Галилея (первый закон

Ньютона):

существуют системы отсчета, в каждой из которых свободные тела могут двигаться равномерно и прямолинейно. Такие системы называются

инерциальными.

Принцип инерции фундаментален. Его область применимости охватывает всю физику.

Инерциальные системы выделены по сравнению с неинерциальными. Это связано с одним из самых фундаментальных свойств природы – принципом

относительности:

Все законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета.

Иначе: все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу и понятия абсолютного покоя и абсолютного движения лишены смысла.

Областью применимости принципа относительности является вся физика в целом, включая квантовую физику и теорию относительности.

Если известно, каким образом изменяется со временем положение каждой частицы тела в пространстве, то говорят, что задан закон движения тела.

Минимальное число параметров (координат), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве, называется

числом i ее степеней свободы.

Вектор скорости v точки в данный момент времени равен первой производной от радиус-вектора r по времени и направлен по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А (как и вектор dr).

17

Производная скорости в декартовых координатах дает ускорение:

Из этих формул видно, что проекции векторов скорости и ускорения равны соответственно первой и второй производным координат по времени.

Таким образом, зависимости x(t), y(t), z(t) по существу полностью определяют движение точки. Зная их, можно найти не только положение точки, но и проекции ее скорости и ускорения, а следовательно, модуль и направление векторов v и а в любой момент времени. Например, модуль вектора скорости

где α, β, γ – углы между вектором v и осями X, Y, Z соответственно. Аналогичными формулами определяются модуль и направление вектора ускорения.

Кроме того, можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию точки, зависимость пройденного ею пути от времени, зависимость скорости от положения точки и пр.

Естественный способ. Этот способ применяют тогда, когда траектория

отсчета О (рисунок 1.3). При этом произвольно устанавливают положительное направление отсчета координаты s (например, так, как показано стрелкой на рисунке 1.3).

18

Рисунок 1.3

Движение точки определено, если известны ее траектория, начало отсчета О, положительное направление отсчета дуговой координаты s и закон движения точки, т. е. зависимость s(t).

С ко р о с т ь т о ч к и . Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся точкой А и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты s (рисунок 1.3). Очевидно, что τ – переменный вектор: он зависит от s. Вектор скорости v точки A направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так:

где v v d sd t – проекция вектора v на направление вектора τ, причем vη –

Следовательно, вектор a можно представить в виде суммы двух слагаемых. Одно из них коллинеарно с τ, т.е. направлено по касательной к

направления касательной к траектории. Легко понять, что эта быстрота будет тем больше, чем сильнее искривлена траектория (чем больше еѐ к р и в и з н а ), и

19

где n – единичный вектор (орт) нормали к траектории, направленный в ту сторону, в которую поворачивается вектор τ при движении частицы по

направлено в данной точке по касательной к траектории, характеризует

Нормальное (центростремительное) ускорение ап направлено по нормали и к

– модуль скорости; R – радиус кривизны траектории в рассматриваемой еѐ точке. Модуль полного ускорения, а также угол α между векторами скорости v и

1.2 Вращательное движение

Если частица движется по окружности, то удобно описывать ее движение с помощью у гл о в ы х в е л и ч и н – угла поворота θ, угловой скорости ω и углового ускорения ε (рисунок 1.4).

Угол поворота φ измеряется в радианах (иногда в градусах) от начального положения точки на окружности. Длина дуги окружности есть путь точки, и он равен