Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

71

В покоящейся жидкости напряжения могут быть направлены только нормально к поверхности элемента. Если возникнет хотя бы малая составляющая внутренних сил в направлении, касательном к поверхности элемента, частицы жидкости придут в движение. Если жидкость находится в движении, то наряду с нормальными напряжениями в ней могут возникать и касательные силы.

Эти силы определяются не самими деформациями, а их производными, т.е. скоростями. Их относят к классу сил трения или вязкости (называемых касательными или сдвиговыми вязкими силами).

Жидкость, в которой при любых движениях не возникают силы вязкости (как касательные, так и нормальные), называется идеальной.

Представление жидкости или газа в виде системы неизменно связанных между собой элементов допустимо, если жидкость покоится или движется как целое. В этом случае мы можем часть объема жидкости (или весь объем) рассматривать как твердое тело и применять к нему законы механики твердого тела. Этот прием носит название принципа отвердения.

Выделим внутри жидкости произвольный элемент и рассмотрим действующие на него силы. Их можно разделить на внутренние (действующие между частицами элемента) и внешние (действующие со стороны соседних элементов). Внутренние силы взаимно уравновешиваются, потому мы вправе их действия не учитывать.

Внешние силы, как и в случае твердого тела, делятся на массовые (действующие на каждую материальную частицу элемента) и поверхностные (приложенные к поверхности элемента).

Массовая сила пропорциональна массе dm, а с ней и объему dV

Поверхностные силы – это такие силы, которым подвергается каждый объем жидкости благодаря нормальным и касательным напряжениям, действующие на его поверхность со стороны окружающих частей жидкости.

Как и для сплошного твердого тела, результирующую внутренних сил, отнесенную к единице площади сечения, называют напряжением.

В большинстве случаев силы, действующие на поверхность элемента жидкости, сжимают его, т. е. направлены внутрь элемента. Силы, направленные по нормали к поверхности объема внутрь его, называются силами давления. Давление P в любой точке A в пределах рассматриваемого элемента

ориентации площадки.

Пусть касательные напряжения отсутствуют, действуют только силы нормального давления, а на единицу объема жидкости действует сила N, обусловленная силами давления (рисунок 5.3). Определим равнодействующую сил давления, действующих на бесконечно малый объем жидкости dV.

называется градиентом скаляра P.

Объемная плотность результирующей сил давления, действующих на элементы объема жидкости, равна градиенту давления P, взятому с противоположным знаком.

В состоянии равновесия сила N должна уравновешиваться массовой силой

f

73

Это основное уравнение гидростатики. В проекциях на оси координат:

Когда f = 0, то

За ко н Пас ка ля

Жидкость или газ в условиях равновесия передают давление, создаваемое действием внешних сил, во всех направлениях одинаково.

Если жидкость находится в поле тяжести, то f g . Направим ось z вертикально вверх. Основные уравнения равновесия жидкости

Т.е. при равновесии в поле тяжести давление не зависит от x и y. P = const при z = const – в плоскости. Следовательно, поверхности равного давления представляют собой горизонтальные плоскости.

Свободная поверхность жидкости горизонтальна, т.к. она находится под постоянным давлением атмосферы.

Если жидкость однородна и несжимаема, = const и если g = const, то согласно закону Паскаля, на глубине z в жидкости создается одинаковое во всех направлениях давление P, равное сумме давления P0 на поверхности и гидростатического давления столба жидкости:

Это есть основное уравнение гидростатики в интегральной форме.

Постоянная интегрирования P0 = P при z = 0.

За ко н Архим еда . Выделим объем внутри жидкости. В равновесии на этот объем действуют внешние силы: сила тяжести mg и силы давления со стороны окружающей жидкости. Равнодействующая F сил гидростатического давления, действующих на поверхность S, должна быть направлена вертикально вверх и приложена к центру масс выделенного объема жидкости, чтобы полный момент внешних сил был равен нулю.

Если объем V заменить твердым телом, и оно будет в равновесии, то никаких изменений в жидкости не произойдет. Следовательно,

если тело, погруженное в жидкость, удерживается в механическом равновесии, то со стороны окружающей жидкости оно подвергается выталкивающей силе гидростатического давления, численно равной весу

74

жидкости в объеме, вытесненном телом. Эта выталкивающая сила направлена вертикально вверх и проходит через центр масс C жидкости, вытесненной телом.

В этом состоит закон Архимеда.

5.3 Кинематика движения жидкости. Уравнение неразрывности

Рассмотрим теперь способы кинематического описания движения жидкости. Их два. Исторически они связаны с именами Лагранжа и Эйлера.

Способ Лагранжа полностью эквивалентен обычному кинематическому описанию движения частиц. Выбирается совокупность жидких частиц, и движение жидкости описывается как движение таких частиц. При этом вводятся понятия скорости и ускорения частиц так, как это было сделано в лекции 1. Способ Лагранжа редко применяется из-за того, что форма жидкой частицы в процессе движения может изменяться и это трудно учесть в теории.

Способ Эйлера является общеупотребительным при описании движения жидкости. Он заключается в задании векторного поля скоростей движения жидкости. Иными словами, мы изучаем зависимости скорости движения жидкости от координат и времени:

т. е. фиксируем, как ведет себя скорость течения жидкости в точках ее объема с течением времени.

Задать поле некоторой физической величины означает задать зависимость этой величины от координат и времени. Подобные поля будут скалярными для скалярных физических величин, и векторными – для векторных. Поле скоростей течения жидкости (5.21) является векторным.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства. По картинке линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках.

Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и расположение линий тока, а также значение скоростей в каждой ее точке со временем не меняются.

Возьмем произвольный замкнутый контур C и через каждую точку его в один и тот же момент времени проведем линии тока. Они образуют трубку тока. Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, не может покинуть ее пределы, так как по определению линий тока вектор скорости течения направлен по касательной к поверхности трубки тока. На такие трубки тока можно разбить всю жидкость.

Потоком вектора v через поверхность бесконечно малой площади

В случае стационарного течения масса dm будет одной и той же для всех сечений трубки.

Для двух сечений S1 и S2

Мы получили уравнение неразрывности (5.26).

5. 4 Уравнение ( теорема ) Берн улли

Рассмотрим участок трубки тока (струйку) между двумя поперечными сечениями S1 и S2 (рисунок 5.5). Движение считаем установившимся (стационарным). Трением между жидкостью и стенками пренебрегаем.

Потенциальная энергия покоящейся жидкости

где Pc – статическое давление; g .

Для движущейся жидкости полная энергия равна

( P Pc т.к. часть потенциальной энергии перешла в кинетическую).

Энергия W1 жидкости массы m1, втекающей в объем за время t через сечение S1, равна

v22g – скоростной или динамический напор.

Выражение (5.34) называется уравнением Бернулли (Д. Бернулли, 1738) и может быть записано также в следующем виде:

Или, учитывая, что g ,

где v2 2 – динамическое давление (кинетическая энергия единицы объема); g z – гидростатическое давление (потенциальная энергия единицы объема в

поле тяжести); P – статическое давление (работа силы давления при подъеме единицы объема на единицу высоты).

В уравнении Бернулли отражен тот физический факт, что сумма потенциальной энергии и кинетической энергии на всем протяжении данной трубки тока есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли связывает изменение давления в стационарном потоке идеальной жидкости с изменением скорости течения и геометрической высоты.

При стационарном течении жидкости давление больше в тех местах, где меньше скорость течения, и наоборот, меньше в тех местах, где скорость течения больше (закон Бернулли).

77

П р и м е р 5 . 1 С к о р о с т ь и с т еч е н и я и з о т в е р с т и я

Рассмотрим задачу об истечении жидкости из открытого сосуда через малое отверстие

П р и м е р 5 . 2 И з м е р е н и е д а в л е н и й и с к о р о с т е й в ж и д к о с т и

Если жидкость обтекает асимметричное тело, то вблизи точки O скорость потока v 0 (трубка тока упирается в тело). Точка O называется критической точкой.

Для трубки тока (бесконечно узкой), упирающейся в точку O, уравнение Бернулли

79

Полагая, что у стенки v1 0, находим скорость вытекания

Изменение импульса в единицу времени

Таким образом, импульс, уносимый струей в единицу времени, численно равен удвоенной силе давления, действующей на площадь сечения струи, и направлен в сторону истечения. Сила реакции F численно равна R, но противоположна по направлению. Если жидкость покоится, силы давления на противоположные участки стенок сосуда, лежащие на одной горизонтали, уравновешены. При вытекании жидкости давление в струе, согласно закону Бернулли, меньше, чем в неподвижной жидкости, и давление на заднюю стенку оказывается больше, чем на переднюю. На этом принципе основано реактивное движение.

Сила реакции текущей жидкости на изогнутую стенку равна по величине и противоположна по направлению вектору изменения импульса p в единицу времени.

5.6Вращательное (вихревое ) движение жид к ост и

Вобщем случае движение частиц жидкости может складываться из поступательного движения, вращения и деформации частиц.

Если при движении элементарные объемы жидкости перемещаются без вращения, движение называется потенциальным.

Движение жидкости или газа, которое сопровождается вращением частиц около некоторых мгновенных осей, называется вихревым течением. Примерами вихревого движения могут служить смерчи, дымные кольца у краев выхлопных труб двигателей внутреннего сгорания, водяные вихри, наблюдающиеся в реках за устоями мостов, и т. п.

Завихрѐнность поля вектора v в некоторой области характеризуется криволинейным интегралом по замкнутому контуру L (замкнутой кривой)