Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

31

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц входящих в формулу величин).

Если заряды движутся, то, кроме силы (2.12), на них действуют магнитные силы. Магнитная сила, действующая на точечный заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В, определяется формулой

Формулы (2.11), (2.12) и (2.13) являются точными. Для упругих сил и сил трения можно получить лишь приближенные эмпирические формулы.

Упругие силы. Всякое реальное тело под действием приложенных к нему сил деформируется, т. е. изменяет свои размеры и форму. Если после прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется у п р у г о й . Опыт дает, что при небольших деформациях удлинение пружины l оказывается пропорциональным растягивающей силе: l ~ F. Соответственно упругая сила оказывается пропорциональной удлинению пружины:

Коэффициент пропорциональности k называется жестко с т ь ю пружины. Утверждение о пропорциональности между упругой силой и деформацией носит название закона Гука.

Силы трения – тангенциальные силы, возникающие при соприкосновении тел или их частей относительно друг друга и препятствующие их относительному перемещению.

Силы трения зависят от относительных скоростей тел; они могут быть разной природы, но в результате действия сил трения механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Трение, возникающее при относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется внешним; трение между частями одного и того же сплошного тела (например, жидкости или газа) и силы трения, возникающей при движении твердого тела относительно жидкой или газообразной среды, носит название внутреннего трения.

Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какойлибо прослойки, например смазки между ними, называется сухим. Трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды называется в я з к и м (или жидким).

Сухое трение. Применительно к сухому трению различают трение скольжения и трение качения. Законы сухого трения сводятся к следующему: максимальная сила трения покоя, а также сила трения скольжения не зависят от площади соприкосновения трущихся тел и оказываются приблизительно пропорциональными силе нормального давления, прижимающей трущиеся поверхности друг к другу:

32

Безразмерный коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом трения (соответственно покоя или скольжения). Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей(от их шероховатости). В случае скольжения коэффициент трения является функцией скорости. Трение качения подчиняется формально тем же законам, что и трение скольжения, но коэффициент трения в этом случае оказывается значительно меньшим.

Вязкое трение и сопротивление среды. Помимо собственно сил трения,

при движении тел в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем силы трения. В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью.

При небольших скоростях сила растет линейно со скоростью:

Знак минус означает, что эта сила направлена противоположно скорости. Значение коэффициента kc зависит от формы и размеров тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого вязкостью.

При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный, то есть сила начинает расти пропорционально квадрату скорости:

Значение коэффициента kc зависит от размеров и формы тела.

Значение скорости, при котором закон (2.16) переходит в (2.17), зависит от формы и размеров тела, а также от вязких свойств и плотности среды.

Сила тяжести и вес тела. Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением, которое принято обозначать буквой g. Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массы m действует сила

называемая силой тяжести. Она приблизительно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле, Различие между силой тяжести и гравитационной силой обусловлено тем, что система отсчета, связанная с Землей, не вполне инерциальна. Это различие настолько мало (оно не превышает 0,36%), что в первом приближении силу тяжести можно считать равной силе, с которой тело притягивается к Земле.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Cила тяжести действует всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением a, отличным от g. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a ≠ g, то к этому телу приложена дополнительная сила N,

33

т.е. если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то a = 0 и P mg . Если тело свободно движется в поле тяготения по любой траектории и

в любом направлении, то a = g и P 0, т е. тело будет невесомым. Например, невесомыми являются тела, находящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

Формула (2.20) определяет вес тела в общем случае. Она справедлива для подвеса или опоры любого вида. Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении. Спроецируем (2.20) на направление отвеса:

Знак «+» соответствует a, направленному вверх, знак «–» соответствует направлению a вниз.

Из формулы (2.21) вытекает, что по модулю вес P может быть как больше, так и меньше, чем сила тяжести Р. При свободном падении рамки с подвесом a = g и сила P , с которой тело действует на подвес, равна нулю. Наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий вокруг Земли с выключенными двигателями, движется, как и свободно падающая рамка, с ускорением g, вследствие чего тела внутри корабля находятся в состоянии невесомости: они не оказывают давления на соприкасающиеся с ними тела.

Соотношение (2.20) между массой и весом тела дает способ сравнения масс тел путем взвешивания: отношение весов тел, определенных в одинаковых условиях (обычно при a = 0) в одной и той же точке земной поверхности, равно отношению масс этих тел:

2.4 Центр масс (центр инерции)

Из закона сохранения импульса можно вывести два важных следствия, которые называют теоремой о движении центра масс (законом сохранения центра инерции) и законом аддитивности массы.

34

где m mi ; P pi – полный импульс системы. Из последней формулы следует, что

т.е. полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость еѐ центра масс.

Понятие центра масс позволяет записать уравнение движения центра масс системы (основной закон динамики) в следующей форме:

где Fвнеш – результирующая всех внешних сил, действующих на систему;

называется уравнением поступательного движения системы как целого.

Из него следует, что

центр масс любой системы частиц движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были приложены все внешние силы.

Этот результат называется теоремой о движении центра масс.

центр масс (инерции) изолированной системы частиц движется равномерно и прямолинейно (или покоится).

Это положение иногда называют законом сохранения центра инерции. Импульс центра инерции связан со скоростью центра инерции так же, как

импульс и скорость одной частицы. В этом выражается закон аддитивности массы.

Аддитивностью вообще называется свойство, состоящее в том, что величина, характеризующая систему в целом, складывается из величин того же рода, характеризующих каждую часть системы.

Так, масса системы из N частиц равна

m m1 m2 ... mN mi .

В тех задачах, когда рассматривается движение частиц внутри системы, а не еѐ движение как целого, целесообразно пользоваться системой отсчѐта, в которой центр масс покоится.

35

Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и движущуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют

системой центра масс или кратко, Ц -системой.

Отличительной особенностью Ц -системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю – это непосредственно следует из формулы (2.14), так как в Ц -системе vС = 0. Другими словами, любая система частиц как целое покоится в своей Ц -системе.

Для замкнутой системы частиц ее Ц -система является инерциальной, для незамкнутой – в общем случае неинерциальной.

Ц -система играет существенную роль в физике. Это обусловлено рядом несомненных преимуществ, которые дает ее применение во многих ситуациях.

Пример 2.4. Рассмотрим систему из двух частиц. Пусть массы частиц равны m1 и m2, а их скорости в исходной К-системе отсчета – v1 и v2 соответственно. Найдем импульсы этих частиц в Ц -системе.

Будем помечать все величины в Ц-системе сверху значком ~ (тильда). Тогда искомые импульсы можно записать так:

где vС – скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета. После подстановки в эти

импульс частиц в Ц -системе всегда равен нулю.

Полученные результаты справедливы независимо от того, замкнута эта система или нет, а также независимо от наличия взаимодействия между частицами.

2.5 Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.

В неинерциальных системах законы Ньютона можно применять, если кроме сил, обусловленных действием тел друг на друга, ввести силы особого рода – так называемые силы инерции.

Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение

движение с ускорением а0, то нить начнет отклоняться от вертикали до такого

центр (рисунок 2.2). На диске установлен маятник (шарик на нити). При вращении маятники отклоняются от вертикали на некоторый угол .

В инерциальной системе отсчета шарик равномерно вращается по окружности радиусом R. Следовательно, на него действует сила, равная

F m 2R и направленная перпендикулярно оси вращения. Эта сила является равнодействующей силы тяжести и силы натяжения нити F P T.

Когда движение шарика установится, то

37

В системе отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится.

относительно диска изменяет свое направление. Это возможно, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v. Эта сила называется

кориолисовой силой инерции.

Вектор FK перпендикулярен векторам скорости v тела и угловой скорости вращения ω системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

2.6 Движение тела переменной массы

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.). Найдем уравнение движения такого тела.

Пусть в некоторый момент t масса движущегося тела А равна т, а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость u относительно данного тела.

Пусть за промежуток времени от t до t+dt тело А приобретает в K-системе импульс mdv. Этот импульс тело А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы dm, которая приносит (уносит) импульс dm·u, и, во-вторых, вследствие действия силы F со стороны окружающих тел или силового поля. Таким образом, можно записать, что

где u – скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.

38

Это уравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы.

Его называют у р а в н е н и е м М е щ е р с к о г о . Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе. Если система отсчета неинерциальна, то под силой F следует понимать результирующую как сил взаимодействия данного тела с окружающими телами, так и сил инерции.

Последнее слагаемое в уравнении (2.36) названо реактивной силой: R dmdt u .

Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы. Если масса присоединяется, то dm/dt > 0 и вектор R совпадает по направлению с вектором u; если же масса отделяется, то dm/dt < 0 и вектор R противоположен вектору u.

Пример 2.5. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в

однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты с топливом равна т0. Скорость газовой струи постоянна и равна u относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость v ракеты в зависимости от ее массы т и времени подъема t.

Р е ш е н и е . Запишем уравнение движения ракеты – уравнение (2.35) – в проекциях на вертикальную ось с положительным направлением вверх:

откуда

d v gt u dmm.

Интегрируя с учетом начальных условий последнее уравнение, получим

Максимальная скорость, которую может развить ракета в отсутствие внешних сил, называется характеристической скоростью. Эта скорость достигается в момент окончания работы двигателя из-за использования всего запаса топлива и окислителя, имевшегося на борту ракеты,

где mт – начальная масса топлива и окислителя.

Влияние тяготения Земли и сопротивления воздуха вызывают заметное уменьшение максимальной скорости, фактически приобретаемой ракетой в процессе работы двигателя, по сравнению с характеристической скоростью.

Контрольные вопросы

1.Как определяется состояние системы в механике?

2.Как в общем виде записывается уравнение движения?

3.Что такое масса? Как можно определить массу частицы (тела)?

4.Что такое импульс частицы (тела)?

5.Что называется механической системой? Какие системы называются замкнутыми?

6.В чем заключается закон сохранения импульса? Почему он является фундаментальным законом природы?

39

7.Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать? Приведите примеры сил.

8.Почему второй закон Ньютона является основным уравнением движения тела?

9.Сформулируйте три закона Ньютона. Покажите, какова взаимосвязь между этими законами.

10.В чем заключается принцип независимости действия сил?

11.Зависит ли закон движения центра масс тела от того, твердое это тело или деформируемое? В каких случаях скорость центра масс остается постоянной?

12.Что такое система центра масс?

13.Какие системы отсчета называются неинерциальными? Приведите примеры таких систем отсчета.

14.Какими формулами описываются центробежная сила и сила Кориолиса?

15.Какое уравнение описывает движение тела с переменной массой?

Задачи для самостоятельного решения

1.К нити подвешен груз массой 500 г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с2; 2) опускать с ускорением 2 м/с2.

1)5,9 Н; 2) 3,9 Н

2.Материальная точка массой 2 кг движется под действием некоторой силы согласно уравнению x = A + Bt + Ct2 + Dt3 , где C = 1 м/с, D = –0,2 м/с. Найти значения этой силы в

3. Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость v = 4 м/с. Определите силу тяги мотора, считая еѐ постоянной.

кг/с. 1,03 кН

4. Частицы с массами m, 2m, 3m и 4m расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 0,4 и 0,8 м. Найдите центр масс этой системы частиц. Оси координат совпадают со сторонами прямоугольника, а начало координат – с частицей m. xC = 0,56 м; yC = 0,2 м

40

Глава 3

РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Энергия. Работа силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике. Абсолютно упругий и неупругий удары. Момент импульса и закон его сохранения. Законы сохранения. Происхождение законов сохранения

3.1 Энергия. Работа силы

Общая количественная мера различных форм движения материи (механического, теплового, электромагнитного и др.) при их превращении из одной в другую называется энергией.

Математически энергия выражается особой комбинацией физических величин, своей для каждой формы движения материи. Эти комбинации таковы, что их сумма для разных переходящих друг в друга форм движения остается постоянной. Это и позволяет количественно определять переход одной формы движения в другую.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Для количественного описания такого рода процесса обмена энергией в механике пользуются понятием

работы силы.

Под работой постоянной силы на прямолинейном участке пути понимается скалярная величина, равная произведению модуля силы на длину пути и на косинус угла между направлением вектора силы и направлением движения

Работа силы может быть положительной, отрицательной и равной нулю в зависимости от угла θ.

Работа измеряется в джоулях: 1 Дж = 1 Н·1 м.

Работу переменной силы на криволинейном пути можно рассчитать как сумму работ некоторых постоянных сил на небольших прямолинейных участках пути. Для этого представим кривую в виде ломаной линии (рисунок 3.1). Участки прямых li ломаной будем выбирать такими малыми, что действующие на этих участках силы fi можно считать постоянными. Тогда li – элементарный вектор ломаной линии от i до i+1 точки. Работа переменной силы выразится суммой скалярных произведений этих постоянных сил на соответствующие элементарные векторы: