Добавил:

Yuppie_ModeratorNGMU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный медицинский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

5.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

111

жидкостей или твердых тел. Диффузия возникает вследствие неодинаковой плотности (концентрации) данного вещества в разных частях системы.

При постоянной температуре явление диффузии заключается в переносе массы газа из мест с большей концентрацией n (плотностью ρ) данного вещества в места с меньшей его концентрацией (плотностью).

Количественно перенос той или иной величины характеризуют с помощью плотностей и кинетических потоков этих величин.

Плотность ρi определяется количеством соответствующей субстанции, приходящейся в данный момент времени на единичный объем вещества в данном месте. Например, плотностью энергии является то ее количество, которое в данный момент времени находится в единичном объеме вещества в интересующем нас месте.

Любая плотность измеряется отношением единицы измерения данного количества к единице объема. Например, плотность энергии измеряется в Дж/м3.

Плотность вещества измеряется либо в м–3 (плотность числа частиц), либо в кг/м3.

Удельные потоки массы Jm, тепла JQ, и др. являются векторами. Они указывают, в каком направлении осуществляется перенос вещества, энергии и т.д. По модулю каждый из этих векторов равен, соответственно, количеству вещества, энергии и т. д., которое в единицу времени переносится через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению переноса. Удельный поток импульса Jp – величина более сложной геометрической природы, так как он связан сразу с двумя направлениями: направлением импульса и направлением его переноса. Поток импульса является тензором и определяется как полный импульс, переносимый в единицу времени через единичную площадку, ориентированную перпендикулярно направлению переноса.

Любой поток измеряется отношением единицы измерения количества переносимой величины к единице площади и к единице времени. Например,

удельный поток (плотность потока) вещества (диффузии) измеряется либо в м–2·с–1, либо в кг·м–2·с–1.

Полный поток Ji какой-либо субстанции равен, соответственно, количеству вещества, энергии и т.д., которое в единицу времени переносится сквозь заданную поверхность. Он получается интегрированием удельного

потока по поверхности А и является скаляром:
		J i		J	i	dA .				(7.17)
					i
				A
П оток ве ще ства п ри ди ффуз и и подчиняется закону Фика:
		j	D grad .							(7.18)
В одномерном случае
jm	D	m x,t		или		jn	D	n x,t	,	(7.19)
jm	D	x		или		jn	D	t	,	(7.19)
		x						t

T x,t

		112
где D –	коэффициент диффузии;	m x, t t – градиент плотности вещества
(массы);	n x,t t – градиент	концентрации, характеризующий быстроту

изменения концентрации на единицу длины вдоль оси x в направлении нормали к площадке, через которую происходит диффузия.

Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (концентрации) (поэтому знаки jm и x различны).

Коэффициент диффузии D численно равен плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице.

В кинетической теории газов доказывается, что

D	1		v	.		(7.20)
	3

Я в л е н и е т епло пр о вод но ст и описывается законом Фурье
jQ		K gradT .				(7.21)
В одномерном случае
jQ	Κ		T x,t		,	(7.22)

				x
где Κ – теплопроводность или коэффициент теплопроводности;						T x,t x —

градиент температуры, равный быстроте изменения температуры на единицу длины вдоль оси x в направлении нормали к площадке.

Знак минус показывает, что при теплопроводности энергия переносится в направлении убывания температуры (поэтому знаки jQ и x

противоположны).

Коэффициент теплопроводности Κ численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.

Можно показать, что

	1	v	,	(7.23)

K	3 cV

где cV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, ρ – плотность газа. С ила в нут р еннего т р ени я между двумя слоями газа или жидкости

подчиняется закону Ньютона

F	S grad v .			(7.24)
В одномерном случае
F		dv	S ,	(7.25)
		dv
		dx
		dx
где η – динамическая вязкость	(вязкость);			v x – градиент скорости,

показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев; S – площадь, на которую действует сила F.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу

113

времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (7.24) можно представить в виде

jp	grad v ;			(7.26)
j p		dv	,	(7.27)

		dx

где jp – плотность потока импульса.

Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости, поэтому знаки jр и v x ) противоположны.

Коэффициент динамической вязкости η численно равен плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице.

Можно показать, что

1	v	.	(7.28)

3

Законы Фика, Фурье, Ньютона являются дифференциальными законами, справедливыми для малых площадок и малых промежутков времени. Поэтому их часто записывают в следующем виде:

dm D	d	dS dt ;	(7.29)
	dx

dQ	Κ		dT	dS	dt ;	(7.30)
			dx

dp		dv		dS	dt .	(7.31)

		dx

Сходство математических выражений законов переноса объясняется общностью лежащего в основе явлений диффузии, теплопроводности и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.

7.5 Статистические распределения

7 . 5 . 1 Распределение Больцмана

Рассмотрим вероятность d(r) обнаружить частицу в области, определяемой малым интервалом значений радиус-вектора частицы r, r dr , считая, что тело достигло теплового

равновесия.		Векторный		интервал	r, r	dr
эквивалентен		трем	координатным		x; x	dx ,
y; y	dy ,	z; z dz	и	измеряется	объемом
dV	dx dy dz параллелепипеда, изображенного
на рисунок 7.1.						y
						y

z
		dV
		dz
	r	dy
	d
+		dx
r	r	dx
	r
		x

Рисунок 7.1

114

Найдем функцию распределения f r для идеального газа классических

частиц. Пусть газ занимает объем V и находится в равновесном состоянии с температурой Т.

а) Если внешнее силовое поле отсутствует, то все положения частиц

равновероятны: f r f	const . Значение постоянной находится из условия
нормировки
	f r dV	f dV f V 1;
V		V

f	1	N	1	1		n	n	,

	V	N	V		N		N

где n – плотность газа; N – общее число частиц.

Таким образом, в отсутствие внешнего поля вероятность d частицу газа в заданном объеме dV не зависит от r и равна

~		dV	n dV	.
dP	f dV
dP	f dV	V	N
		V	N

обнаружить

(7.32)

б) Если на систему наложено внешнее силовое поле, происходит

пространственное перераспределение

частиц

и f

r const . Плотность и

давление изменяются от точки к точке.

Пусть

внешние

силы потенциальны

действуют только вдоль оси z (рисунок 7.2).

n·G·dV

При

равновесии

сумма

всех

сил,

действующих на частицы газа в объеме dV, равна

нулю. Этими силами являются силы давления газа,

dP·dS

окружающему объем dV, и силы внешнего поля.

Силы давления, действующие на боковые грани

объема dV, должны быть скомпенсированы. Иначе

Рисунок 7.2

они вызовут поток газа в направлении,

перпендикулярном оси z, что противоречит предположению о равновесности газа.

Сила, действующая на одну частицу

G	d	,	(7.33)

	dz

где П – потенциальная энергия частицы во внешнем поле.
Силы внешнего поля, действующие на объем dV

dFâíåø	nG dV	nG dxdydz .	(7.34)
Если разность давлений на расстоянии dz равна dP, то сила давления
dFäàâë	dP dS	dP dxdy .	(7.35)
Силы (7.34) и (7.35)скомпенсированы:
nG dxdydz		dP dxdy .	(7.36)

115

Подставляя в (7.25) выражение (7.22) и сокращая одинаковые сомножители, получаем

(7.37)

n dz dz

n d

Поскольку в равновесном состоянии температура газа везде одинакова, то

согласно уравнению состояния идеального газа можно записать

P n kT

dn .

(7.38)

Из двух последних равенств следует, что

n d

dn .

(7.39)

Преобразуя, получаем

(7.40)

Проинтегрируем:

;

k T

ln n

ln n .

(7.41)

Потенцируя, получаем

e k T .

(7.42)

Это соотношение называется формулой Больцмана.

Таким образом, в состоянии теплового равновесия плотность (концентрация) газа под действием потенциального внешнего поля изменяется по закону

n r	n	e	k T .		(7.43)
	0
Закону (7.39) отвечает функция распределения
	n r	n0		r

f r			e	k T .	(7.44)
	N	N
~					расположенном
Вероятность dP r обнаружить частицу в объеме dV,

вблизи точки r, равна

~		n		r
					dV .	(7.45)

dP r	f r dV	0	e	k T
dP r	f r dV	N	e	k T
		N

Рассмотрим случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В этом случае П = mgz, где т – масса молекулы, и распределение Больцмана принимает вид:

116
n n e m g z k T	(7.46)
0

Если газ представляет собой смесь разных газов, то в состоянии термодинамического равновесия концентрация п этих газов должна убывать с высотой экспоненциально с различной «скоростью» — в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонента соответствует более тяжелым молекулам.

Барометрическая формула. Умножив обе части распределения (7.46) на kT, получим согласно (7.42), что давление

P P e M g z R T ,	(7.47)
0

где P0 n0 k T , М – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.

Формула (7.47) называется барометрической. Она строго справедлива для идеального газа, температура которого не зависит от высоты (изотермическая атмосфера).

Применять барометрическую формулу к земной атмосфере следует очень осторожно. Атмосфера не находится в равновесном состоянии. Ее температура с высотой меняется. Поэтому правильные результаты применение барометрической формулы дает лишь на участках, где изменениями температуры можно пренебречь.

Оценка толщины земной атмосферы. По формуле (7.47) можно рассчитать высоту h, на которой давление убывает в е раз. Это значение h и играет роль характерной толщины атмосферы. При М = 29·103 кг/моль и Т = 288 К величина h ≈ 8 км. По сравнению с радиусом Земли атмосфера – тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы считать ускорение g не зависящим от высоты).

Рассеяние атмосферы. Атмосфера Земли непрерывно рассеивается, хотя для Земли этот процесс идет очень медленно. Рассеивание обусловлено тем, что в процессах соударения молекул в верхних слоях атмосферы неизбежно возникают молекулы, скорости которых оказываются больше второй космической. И таким молекулам иногда удается без столкновений покинуть атмосферу Земли. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы.

7. 5.2 Распределение Максвелла

Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, был найден Максвеллом (1859).

Рассмотрим подход к решению этой проблемы, а также физический смысл закона Максвелла и некоторых его следствий. Итак, пусть макросистема (газ) содержит N молекул. Предполагаем, что система находится в состоянии теплового равновесия, и движение молекул описывается законами классической механики. Представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций vx, vy, vz отдельных молекул. Тогда скорости каждой молекулы будет

соответствовать точка в этом пространстве – конец вектора v.

Задача заключается в отыскании вероятности dP v обнаружить частицу, значение скорости которой заключено в любом заданном интервале v1 v v2 . Пусть это будет

117

очень малый интервал от v до v + dv, эквивалентный трем скалярным интервалам: от vx до vx + dvx; от vy до vy + dvy; от vz до vz +dvz компонент скорости. Выделим в некоторой точке – конце вектора v – малый объем d dvx dvy dvz в пространстве скоростей. Этот малый

объем должен быть таким, чтобы число dN молекул в нем было достаточно большим (во избежание заметных флуктуаций).

Вероятность обнаружить частицу в интервале (v; v + dv) будет равна
~	f v d ,	(7.48)
dP v

где f v–функция распределения молекул по скоростям.

Функция распределения не должна зависеть от направления скорости, т.к. движение частиц хаотичны, и все направления равноправны. Следовательно, она может меняться лишь

при изменении модуля скорости. Ее удобно рассматривать как функцию v2, т.е. f v v2

Максвелл показал, что плотность вероятности для любой проекции скорости, например, для vx соответствует закону (распределению) Гаусса, который можно представить в виде

v2x

(7.49)

где – некоторый параметр.

Постоянную A определяют из условия нормировки

Ae vx2

dvx

(7.50)

(у молекулы обязательно будет какая-то x-проекция скорости).

Известно, что

Следовательно,

vx dvx

– интеграл Пуассона.

Пусть f vx , vy , vz

v2x .

(7.51)

– плотность вероятности обнаружить молекулу с проекциями

скорости vx , vy , vz .

Используя теорему умножения вероятностей,

представим

искомую

вероятность в виде

vx , vy , vz

f vx

dvx

f vy dvy

f vz dvz .

dP v

(7.52)

vz
v	dv
v
	vx

Следовательно,	функция			распределения			по
скоростям определяется формулой
3 2		vx2	v2y	vz2	3 2		v2
f v	e					e		.

(7.53)

Чтобы вычислить вероятность того, что молекула имеет скорость от v до v + dv, рассмотрим «объем» сферического слоя в пространстве скоростей (рисунок 7.3).

d	Sсферы dv 4 v2 dv .
vy

Рисунок 7.3

118

Искомая вероятность

					~	3 2		2
					~		e v	2		v2dv ,
где dv dv dv		dv			dP v				4		(7.54)
					dP v				4		(7.54)
	y		z	;	m 2 k T , m0 – масса одной молекулы.
x	y		z		0

Функция (закон) распределения Максвелла молекул по скоростям:

	3 2				mv2
	m0		2
f v		4 v		e	2 kT .	(7.55)
	2 k T

Число молекул в единице объема, имеющих заданный модуль скорости v:

	N	m	3 2	mv2
n			e	2 k T 4 v2 v .	(7.56)

	V	2 k T

Из (7.45) можно получить распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения частицы wK. Для этого нужно

перейти от переменной v к переменной wK, равной m0v2 2 . Производя в (7.55)

подстановку v 2 w m0

1 2 и dv

2m0 w

1 2 d w

, получим

f (w )

k T w

d w .

(7.57)

k3T 3

Скорость, при которой функция распределения (7.55) максимальна, называется наиболее вероятной (наивероятнейшей) vв. Значение vв можно найти, продифференцировав (7.55) по v и приравняв производную нулю. В результате получаем

vâ

2 k T

2 R T

(7.59)

Средняя скорость молекул (средняя арифметическая

скорость) v

определяется по формуле

v dN

vf (v) dv.

(7.60)

Подставляя сюда выражение (7.45) и интегрируя, получим

8kT

8RT

(7.61)

Часто применяется также средняя квадратическая скорость vкв :

			3kT	3RT
vêâ	v2	v2 f (v) dv			(7.62)

			m0	M
	0

F(v)
vв	v vср.кв.	v
Рисунок 7.4

119

На рисунке 7.4 представлен примерный вид функции распределения, положение трех важнейших скоростей и физический смысл площади между v и v + dv.

Зав ис и мость ра сп ределе н и я от тем пературы Т . Подставив значение vв из (7.49) в формулу (7.45), получим, что

f v max m0 T .

(7.63)

В соответствии с (7.63)для разных температур Т1 < Т2 < Т3 кривые распределения f(v) будут иметь вид, показанный на рисунок 7.5. Видно, что с увеличением Т максимум функции f(v) смещается вправо в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается согласно (7.63). При этом площадь под всеми тремя кривыми остается постоянной и равной единице. Поэтому с

повышением температуры кривая f(v) растягивается и понижается.

Рисунок 7.5

Кривые на рисунке 7.5 можно рассматривать и иначе – как соответствующие разным массам молекул газа при одной и той же температуре, причем m1>m2

>т3.

Формула Максвелла в приведенном виде. Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости v молекул в относительных единицах – единицах наиболее вероятной скорости vв. Тогда относительная скорость молекулы u = v/vв.

Вероятность пребывания молекулы в интервале скоростей (v; v + dv) равна = f(v)dv. Значение этой вероятности не изменится, если правую часть равенства разделить и умножить на du. Тогда можно записать

~	f (v)	dv
dP			du	f u du.
		du
Таким образом, мы переходим от интервала (v, v + dv) к
соответствующему ему интервалу (и, и + du).
Согласно (7.62) v = uvв и dv/du = vв. После подстановки этих формул в
выражение для dP получим
	f u	4 /			u2e u2 .	(7.64)

120

В таком виде распределение Максвелла является универсальным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Контрольные вопросы

1.Каков физический смысл постоянной Авогадро? Числа Лошмидта?

2.Дайте общую характеристику классической статистической физики. Чем отличается статический метод исследования макроскопических систем?

3.Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам известны?

4.В чем содержание вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов?

5.Что такое внутренняя энергия идеального газа? Какими параметрами оно определяется? В результате каких процессов может изменяться внутренняя энергия системы?

6.В чем суть распределения Больцмана?

7.Напишите и поясните барометрическую формулу. При каких условиях ее можно

применять?

8.Каков физический смысл распределения молекул по скоростям? По энергиям?

9.Какие характерные скорости применяются для описания движения молекул? Запишите формулы для их вычисления и поясните, как эти формулы могут быть получены из распределения Максвелла.

10.Как изменяется график функции распределения Максвелла от температуры? От массы молекулы (молярной массы)?

11.Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?

12.Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?

13.Дайте определения плотностям и потокам массы, энергии, импульса.

14.Какие процессы называются явлениями переноса? В чем их сущность?

15.Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона.

Задачи для самостоятельного решения

1. В закрытом сосуде при температуре 300 К и давлении 0,1 МПа находятся 10 г водорода и 16 г гелия. Считая газы идеальными, определите удельный объем смеси. 8,63 м3/кг 2. В сосуде вместимостью 5 л при нормальных условиях находится азот. Определите: 1)

количество вещества v; 2) массу т кислорода; 3) концентрацию п его молекул в сосуде.

1) ν = 0,223 моль; 2) т= 6,24 г; 3) n = 2,69·1025 м–3

3. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с? 381 К 4. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости vв. vâ 2 kTm0

5. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты. 0,778

6. При температуре 300 К и некотором давлении средняя длина свободного пробега <l > молекул кислорода равна 0,1 мкм. Чему равно среднее число <z > столкновений, испытываемых молекулами в 1 с, если сосуд откачать до 0,1 первоначального давления? Температура газа считается постоянной. 4,45 108 с–1 7. Азот находится под давлением 100 кПа при температуре 290 К. Определите коэффициенты

диффузии D и внутреннего трения η. Эффективный диаметр молекул азота примите равным

0,38 нм. D = 9,74·10–6 м2/с; η = 1,13·10–5 кг/(м·с)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2312 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.03.2015153.6 Кб57аффективные 1 вар..doc
#
30.03.201552.86 Кб43Ацетилхолин.docx
#
13.03.20161.16 Mб52Бабошко О.И. КЛ_ИТвЛД.pdf
#
13.03.2016631.2 Кб32Бабошко О.И. МУ_ИТЛХб.pdf
#
13.03.20162.7 Mб28Бабошко О.И. П_ИТ.pdf
#
13.03.20165.11 Mб18Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1.pdf
#
30.03.201514.93 Mб6белки 1.pdf
#
30.03.201518.03 Mб8белки 2.pdf
#
15.09.201931.18 Кб1БЕРЕМЕННОСТЬ ВНЕМАТОЧНАЯ.docx
#
22.09.2019105.98 Кб8билет 16.doc
#
23.09.201945.74 Кб3Билет 25.docx