Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

92

6.5 Принцип относительности Эйнштейна. Постулаты специальной теории относительности

Обобщая результаты своих экспериментов, Г. Галилей в 1636 г.

сформулировал принцип относительности:

во всех инерциальных системах отсчета законы механики одинаковы.

Этот принцип налагает ограничения на структуру уравнений движения: они должны иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах.

Пусть (x, y, z), (x , y , z ) – координаты частицы в системах К и К , соответственно, u u,0,0 – скорость системы Котносительно системы К.

Преобразования Галилея имеют вид:

Последнее условие означает, что время имеет абсолютный характер, не зависящий от системы отсчета. Скорости частицы в двух системах отсчета связаны соотношениями:

а ускорения частиц одинаковы. Следовательно, при преобразовании (6.18) компоненты вектора силы F x, y, z не должны изменяться. Поэтому смещение

одной из взаимодействующих частиц отражается на остальных частицах в тот же момент времени. Опыт, однако, показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует.

Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория электромагнитного поля Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение – в 1895 году было изобретено радио (А. С. Попов). Но из теории Максвелла следовало, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме. Отсюда следует, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе отсчета K' в положительном направлении оси x', то в системе K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c + v, а не c. Однако эксперименты А. Майкельсона и Э. Морли показали, что скорость света не складывается со скоростью источника. Для объяснения этого Х. Лоренц предложил гипотезу о сокращении размеров движущихся тел в направлении движения и вывел формулы, связывающие координаты и время в двух системах отсчета (преобразования Лоренца). Логически стройная теория Лоренца – электродинамика движущихся сред – предполагала отказ от принципа относительности и вводила особую систему отсчета, которую можно было считать абсолютно неподвижной – относительно мирового эфира. Эфиром называли особую невесомую прозрачную среду, заполняющую всѐ мировое пространство, проникающее во все тела. В 1904–1905 гг. выдающийся французский математик А. Пуанкаре обобщил принцип относительности на все явления природы, дал анализ понятия одновременности и открыл законы релятивистской механики.

93

А. Эйнштейн в статье «К электродинамике движущихся тел», вышедшей в 1905 г., привел положения теории Лоренца в соответствие с принципом относительности благодаря принципиально новому подходу к фундаментальным вопросам пространства и времени. Существенно, что при этом пришлось отказаться от гипотезы о существовании мирового эфира.

По словам Эйнштейна, теория относительности начинается с двух положений:

1)Скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга.

2)Все законы природы одинаковы во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга.

Таковы два основополагающих принципа – принцип постоянства скорости света и принцип относительности. Фактически принцип постоянства скорости света является следствием принципа относительности.

Эти принципы (постулаты) являются фундаментальными законами природы. Область их применимости до настоящего времени является всеобъемлющей. Теория Пуанкаре-Эйнштейна получила название специальной теории относительности (СТО).

Механика Ньютона, которая исходит из представления о мгновенном распространении взаимодействия, заключает в себе определенную неточность. В действительности, если с одним из взаимодействующих тел произошли какие-либо изменения (например, изменилось его положение в пространстве), то на другом теле это отразится лишь через некоторый промежуток времени t. Если разделить расстояние между обоими телами на этот промежуток времени,

то мы найдем скорость распространения взаимодействия (например,

гравитационного или электромагнитного).

Как мы знаем, в природе существует четыре основных вида взаимодействий: электромагнитное, гравитационное, сильное и слабое. Можно было бы предположить, что скорость распространения у каждого из них своя, и они в принципе могли бы отличаться друг от друга. Однако тогда эта скорость зависела бы от выбора инерциальной системы отсчета, т.е. была бы разной в разных инерциальных системах, что противоречило бы принципу относительности.

Скорость распространения каждого из основных взаимодействий одинакова и не зависит от выбора системы отсчета. Другими словами, она одна и та же во всех инерциальных системах отсчета и является универсальной мировой постоянной. Эта постоянная скорость одновременно является скоростью распространения света в пустоте, поэтому ее называют скоростью света. Ее численное значение равно c≈ 299800 км/c≈ 3· 108 м/с.

Очевидно, что в природе невозможно движение тел со скоростью больше этой. Действительно, если бы такое движение могло происходить, то с его помощью можно было бы осуществить взаимодействие (отличное от уже

94

известных четырех) со скоростью, превышающей скорость света. Такое взаимодействие, однако, до сих пор обнаружено не было.

Большой величиной скорости света объясняется тот факт, что на практике в обычной ситуации достаточно точной оказывается классическая механика Ньютона. Большинство скоростей, с которыми мы сталкиваемся, настолько малы по сравнению со скоростью света, что предположение о бесконечности последней практически никак не сказывается на результате.

6.6 Преобразования Лоренца и некоторые следствия из них

Эйнштейн предложил преобразования (6.18) заменить преобразованиями Лоренца:

где 11 2 , uc ,

оставляющими неизменными уравнения Максвелла. Новая механика, основанная на принципе относительности Эйнштейна, называется релятивистской (от лат. относительный). Предельный переход к ньютоновой механике, описывающей движения при скоростях v << c, может быть формально произведен как переход к пределу при с → ∞; преобразования (6.18) переходят в (6.20).

Обратное преобразование координат системы К в координаты системы К можно получить из (6.20) заменой x ↔ x , t ↔ t , u ↔ –u:

системе К . Из (6.20) получим соотношения между приращениями координат и времени:

Замечательным свойством преобразований (6.20) является то, что они никогда не приводят к скоростям, превышающим скорость света c, и не меняют величины скорости, если она равна c.

Ускорения тел по отношению к различным движущимся друг относительно друга инерциальным системам отсчета не одинаковы.

95

движутся в противоположные стороны (v1 =с, v2 = –с), то относительная скорость равна с. Скорость света одна и та же во всех инерциальных системах отсчета.

События и мировые линии. В качестве часов наблюдатели в системах К и К могут использовать любой периодический процесс, например, излучение атома водорода на фиксированной частоте. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Для измерения длины отрезков можно взять определенный эталон – линейку. Собственной длинной линейки называется ее длина l0 в той системе отсчета, относительно которой она покоится. Величина l0 равна модулю разности координат ее концов в один и тот же момент времени. Многие непривычные для «здравого» смысла выводы теории относительности становятся более понятными при графическом изображении движения частиц и световых сигналов. В качестве временной координаты удобно выбрать величину x0 = ct, Например, в координатах x0, x уравнение светового луча x = ct имеет вид x = x0 и изображается прямой линией, пересекающей ось x0 под углом 45°. Уравнение движения частицы записывается в виде: x = x0v/c. Графики уравнений движения частиц в плоскости x0, x называются мировыми линиями, а любая точка (x, x0) на этих графиках называется событием.

Замедление времени. Движущиеся часы идут медленнее покоящихся.

Если промежуток времени между какими-либо двумя последовательными событиями по покоящимся часам равен t, то по движущимся часам он будет

меньше и равен

где u – скорость относительного движения часов.

Всегда отстают те часы, которые двигаются относительно другой инерциальной системы отсчета.

Этот эффект называется лоренцевым сокращением промежутков времени и свидетельствует о том, что течение времени не является абсолютным и зависит от движения.

Лоренцево сокращение длины. Размеры тел в направлении движения сокращаются. Если размер покоящегося тела в некотором направлении равен l, то при движении тела в этом направлении со скоростью u он уменьшается до величины

96

Этот эффект называется лоренцевым сокращением длины и свидетельствует о зависимости пространственных соотношений от движения.

Таким образом, для наблюдателя промежутки времени и длины различны в разных системах отчета и зависят от скорости их движения. Можно показать,

называемую интервалом между двумя событиями, пространственное расстояние между которыми равно l12 и которые происходят в моменты t1 и t2.

В релятивистской механике интервал играет ту же роль, какую в нерелятивистской теории играет расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве. По этой причине было введено представление о четырехмерном пространстве-времени или пространстве Минковского в честь математика, его предложившего.

6.7 Уравнение движения. Релятивистские энергия и импульс частицы

Уравнения классической механики Ньютона оказались неинвариантными относительно преобразований Лоренца, и поэтому СТО потребовала пересмотра и уточнения законов механики. В основу такого пересмотра Эйнштейн положил требования выполнимости закона сохранения импульса и закона сохранения энергии в замкнутых системах. Эйнштейн ввел релятивистский импульс p частицы, движущейся со скоростью v:

Если принять такое определение, то закон сохранения суммарного импульса взаимодействующих частиц (например, при соударениях) будет выполняться во всех инерциальных системах, связанных преобразованиями Лоренца. При β → 0 релятивистский импульс переходит в классический. Масса m, входящая в выражение для импульса, есть фундаментальная характеристика частицы, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета, а, следовательно, и от скорости ее движения.

Действующая на тело сила F изменяет его импульс. Поэтому второй закон Ньютона в форме dpdt F остаѐтся справедливым также и в теории

относительности. Однако производная по времени берѐтся от релятивистского импульса, а не от классического. Это приводит к тому, что связь силы и ускорения существенно отличается от классической:

98

Из формул (6.28) и (6.34) следует, что ни одно тело с массой m > 0 не может двигаться со скоростью, равной скорости света в вакууме. При приближении скорости тела к скорости света, его энергия и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные» объекты неспособны двигаться быстрее скорости света. Для частицы с ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной энергии. Эти формулы остаются справедливыми и для объектов, движущихся со скоростью света. В этом случае их масса должна быть равна нулю m = 0.

Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях близких к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при скорости v = c/4, относительная разница релятивистского и классического импульса составляет всего 3%.

Энергия и импульс зависят от выбора системы отсчета. Однако существует величина, которая имеет абсолютный смысл. Подставляя (6.37) в (6.36), мы получим выражение

из которого следует, что масса одинакова во всех системах отсчета. Говорят,

что масса является инвариантом, т.е. величиной, не изменяющейся при некоторых математических преобразованиях.

Полученное соотношение показывает, что частица может иметь энергию и импульс, но не иметь массы (m = 0). Такие частицы называются безмассовыми. Для безмассовых частиц связь между энергией и импульсом выражается простым соотношением W =pc. К безмассовым частицам относятся фотоны – кванты электромагнитного излучения и, возможно, нейтрино. Безмассовые частицы не могут существовать в состоянии покоя, во всех инерциальных системах отсчета они движутся с предельной скоростью c.

Энергия частицы с массой m ≠ 0 не обращается в нуль даже когда такое

99

Формула (6.40) выражает фундаментальный закон природы, который принято называть законом взаимосвязи массы и энергии.

Чрезвычайно важный вывод релятивистской механики заключается в том, что находящаяся в покое масса m содержит огромный запас энергии. На соотношении (6.40) основана вся обычная и вся ядерная энергетика.

Если масса частицы или системы частиц уменьшилась на m, то при этом должна выделиться энергия W = m ·c2. Первое экспериментальное подтверждение правильности соотношения (6.40), было получено при сравнении энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и конечных продуктов. Например, при бета-распаде свободного нейтрона появляется протон, электрон и еще одна частица с нулевой массой – антинейтрино:

n p e ~

При этом суммарная кинетическая энергия конечных продуктов равна 1,25·10–13 Дж. Масса нейтрона превышает суммарную массу протона и электрона на m = 13,9·10–31 кг. Такому уменьшению массы должна соответствовать энергия W = m ·c2 = 1,25·10–13 Дж, равная наблюдаемой кинетической энергией продуктов распада.

Масса и энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность, а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами. Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является выражением внутренней сущности материи.

6.8 Основные принципы общей теории относительности

Эйнштейн создал (1915 г.) теорию гравитации, которая была совместима с принципом инвариантности законов природы относительно любой системы отсчѐта – общую теорию относительности (ОТО). Эта теория – ОТО – основана на следующих принципах.

Пр и нц ип от но сит ел ьно ст и в наиболее широком смысле:

Все системы отсчета равноправны, если уравнения, описывающие физические законы, сохраняют свою форму при произвольных преобразованиях координат и времени.

движутся с одинаковым ускорением. Это возможно только при равенстве инертной m и гравитационной M масс. Действительно, из второго закона Ньютона ma Mg следует, что a = g при m = M.

Эйнштейн назвал предположение о полной физической эквивалентности масс принципом эквивалентности. Такая концепция приводит к признанию единства природы инерции и тяготения.

100

Пр и нц ип дв иже ни я по г еодез и ческ им ли ни ям . Если гравитационная масса точно равна инерционной, то в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются. Поэтому ускорение тела, а, следовательно, и его траектория

этой точке. Таким образом, описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию пространства-времени, в котором двигаются тела. Траектории тел тогда будут геодезическими линиями, теория которых была разработана математиками ещѐ в XIX веке.

Структура четырехмерного пространства зависит от распределения и движения материи – частиц и полей. В отличие от плоского пространства специальной теории относительности реальное «искривленное» пространство описывается неевклидовой геометрией с помощью нового понятия – кривизны пространства. Движение частицы в искривленном пространстве – это и есть движение в гравитационном поле: общая теория относительности «геометризировала» силы тяготения. Современные эксперименты подтверждают движение тел по геодезическим линиям с той же точностью, как и равенство гравитационной и инертной масс.

Ур а в нен ия Эй ншт ейна . Уравнения Эйнштейна связывают между собой свойства материи, присутствующей в искривлѐнном пространствевремени, с его кривизной.

Решая уравнения Эйнштейна совместно с правильно подобранными координатными условиями, можно найти все 10 независимых компонент симметричного метрического тензора. Этот метрический тензор (метрика) описывает свойства пространства-времени в данной точке и используется для описания результатов физических экспериментов. Он позволяет задать квадрат интервала в искривлѐнном пространстве

ds2 g x dx dx ,

который определяет «расстояние» в физическом (метрическом) пространстве. Компоненты метрического тензора определяют геодезические линии, по которым объекты (пробные тела) двигаются по инерции.

Найдено несколько точных решений уравнений Эйнштейна, среди которых одним из первых и наиболее важных является космологическое решение Фридмана (для Вселенной в целом).

6.9 Основные следствия ОТО

Согласно принципу соответствия, в слабых гравитационных полях предсказания общей теории относительности совпадают с результатами применения ньютоновского закона всемирного тяготения с небольшими поправками, которые растут по мере увеличения напряжѐнности поля.