Безруков Л.В. ФИЗИКА -- 1

23

Таким образом, получены формулы равноускоренного движения. Для однозначности решения необходимо задание 2-х начальных условий (т.к. были взяты два интеграла).

Итак, для полного решения задачи о движении точки – определения ее скорости v и положения r в зависимости от времени – недостаточно знать зависимость a(t), но еще необходимо знать и начальные условия, т. е. скорость v0 и положение r0 точки в начальный момент времени.

24

Контрольные вопросы

1.Что называют физическим законом? Назовите известные вам фундаментальные физические законы. Что такое модель в физике?

2.Что такое фундаментальные взаимодействия? Как располагаются взаимодействия в порядке возрастания их интенсивности? Какие фундаментальные взаимодействия являются короткодействующими, а какие – дальнодействующими?

3.Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

4.Что такое система отсчета?

5.Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?

6.На каких аксиомах о свойствах пространства и времени основывается ньютоновская механика?

7.Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути, пройденному точкой?

8.В каких случаях модуль перемещения точки равен длине пути пройденного точкой за тот же промежуток времени?

9.Какое движение называется поступательным? Вращательным?

10.Дать определение векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения? Каковы их направления?

11.Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? Нормальная составляющая ускорения? Каковы их модули?

12.Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? Тангенциальное ускорение?

13.Что называется угловой скоростью? Угловым ускорением? Как определяются их направления?

14.Какова связь между линейными и угловыми величинами?

15.Какое движение называют периодическим? Что такое период движения? Какие параметры характеризуют положение точки на окружности? Почему движение по окружности с постоянной скоростью является ускоренным?

16.Какие колебания называют гармоническими? Как зависят координата колеблющейся точки, ее скорость и ускорение от времени?

Задачи для самостоятельного решения

1. Зависимость пройденного телом пути s от времени t определяется уравнением s = At – Bt2 + Ct3 (A = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/ с3). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение. 1) 24 м; 2) 38 м/с; 3) 42 м/с2

2. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4t2i + 3tj + 2k. Определите: 1) скорость v; 2) ускорение а. Вычислите модуль скорости в момент времени t = 2 с. 16,3 м/с

3.Диск радиусом R = 0,8 м вращается с угловым ускорением = 2 рад/с2. Определите полное ускорение колеса через t = 1 с после начала движения. 3,58 м/с2

4. Зависимость угла поворота радиуса диска (R = 0,1 м) от времени задается уравнением =А + Bt3 (А = 2 рад, В = 4 рад/с2). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение в момент времени t = 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота , при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол α = 45°.

1) 230 м/с2; 2) 4,8 м/с2; 3) 2,67 рад

25

Глава 2

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ

Понятие состояния в классической механике. Основная задача динамики. Уравнение движения. Второй закон Ньютона как уравнение движения. Силы в механике. Центр масс (центр инерции). Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции. Движение тела переменной массы

2.1 Понятие состояния в классической механике. Основная задача динамики

Основная задача механики состоит в создании методов решения задач следующего типа.

Дана механическая система в определенных внешних условиях в момент времени t0. Найти, что произойдет с этой системой через определенный промежуток времени t (в момент t1).

Решение этой задачи распадается на:

установление величин, описывающих состояние физической системы; составления уравнений движения, описывающих изменение состояния системы во времени;

нахождение физических величин, измерение которых дает возможность судить о том, что реально происходит с исследуемой системой.

Из многочисленных опытных данных следует, что

состояние частицы (материальной точки) в классической физике полностью определяется ее координатами x, y, z и компонентами ее скорости vx, vy, vz, в данный момент времени t, т.е. радиус-вектором частицы r и вектором ее скорости v.

Отметим, что полное число величин, определяющих состояние системы, равно 6N. Число же степеней свободы, т.е. независимых координат, определяющих положение системы из N точек в пространстве, равно 3N.

26

2.2 Уравнение движения. Второй закон Ньютона как уравнение движения

Для описания состояния частиц в механике их ускорения задавать не нужно. То есть, согласно определению состояния, ускорение a частицы является

Вид этой функции определяется свойствами частиц и внешними условиями. Уравнения (1.34) – (1.2) называются уравнениями движения классической механики. Так как

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение находят путем двойного интегрирования. При каждом интегрировании возникает некоторая постоянная (постоянный вектор). Поэтому для однозначности решения следует уравнение движения дополнить двумя

первых, известны уравнения движения, и, во-вторых, если задано состояние в начальный момент времени или, что одно и то же, определены начальные условия. Задача механики состоит в написании уравнений движения; отыскании вида функций a(r, v) и указании начальных условий.

Введем несколько важных понятий для изложения методов составления уравнений движения.

Система называется изолированной (или замкнутой), если каждая из частиц системы не взаимодействует ни с какими внешними телами.

Хорошим примером изолированной (замкнутой) системы является солнечная система, которая слабо взаимодействует с другими звездами.

Пусть система состоит из N частиц и является изолированной. Скорости частиц равны соответственно v1, v2 , , v N . Каждую из частиц будем

характеризовать определенной константой m1, m2,…, mN; каждую константу назовем массой частицы. В нерелятивистской механике масса прямо пропорциональна количеству вещества, содержащегося в теле. Масса не

27

зависит от взаимодействий, в которых частица участвует. В СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Для изолированных систем векторная сумма импульсов всех частиц – полный импульс системы – не изменяется со временем:

Постоянство полного импульса изолированной системы является фундаментальным законом природы и называется законом сохранения

импульса.

Первый закон Ньютона (принцип инерции) есть закон сохранения

прямолинейно и равномерно.

Закон сохранения импульса можно рассматривать как определение массы. Пусть массу одной частицы приняли за эталон m0. Найдем массу m другой частицы. Рассмотрим упругое соударение частиц m0 и m:

Таким образом, измерив скорости частиц до и после соударения, можно определить массу m исследуемой частицы.

Импульсы можно использовать для описания состояния частиц, то есть задавать их радиус-векторы ri и импульсы mi vi .

Пусть частица не изолирована, то есть на нее действует какое-то тело (тела), ее импульс p const, p p(t) . Тогда еѐ производная по времени

существует и не равна нулю.

Производная импульса частицы по времени называется силой, действующей на частицу со стороны ее окружения

28

Определение силы (1.6) является фундаментальным законом классической физики (вторым законом Ньютона). Из (1.6) следуют важные выводы:

сила является функцией состояния системы; сила характеризует воздействие окружающих тел на движение частицы, которое и проявляется в изменении импульса;

сила полностью охарактеризована, если заданы ее величина, направление и указано, на что и со стороны чего сила действует (точка приложения и «источник»).

В общем случае сила является векторной функцией координат (радиусвектора) и скорости частицы, т.е. F F (r, v) , но может зависеть только от

координат, или только от скорости, или быть постоянной.

Единица измерения силы в системе СИ равна 1 кг м с–2 и называется ньютоном (Н).

Второй закон Ньютона – основной закон динамики – можно записать в виде

то есть, при m = const получаем уравнение типа (1.34):

29

Это уравнение описывает равноускоренное движение. Ответ получен с точностью до некоторых постоянных С1, и С2. Что найти эти постоянные, нужно указать, где находилась частица в начальный момент и какую скорость она имела в начальный момент, т.е. указать состояние частицы в начальный момент.

никакие другие силы на него больше не действуют (каково, например, движение катера после выключения двигателя). Запишем уравнение движения:

Разделяя переменные, получим

где x0 и θ0 – постоянные, определяемые из начальных условий.

Это уравнение описывает гармоническое колебательное движение.

Еще одно свойство сил определяется третьим законом Ньютона. Рассмотрим изолированную систему двух частиц. Дифференцируя полный импульс P p1 p2 и учитывая закон сохранения импульса, получим:

F12 и F21 называют силами действия и противодействия.

30

Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки: F12 F21

Еще один фундаментальный принцип классической механики – принцип независимости действия сил или закон парности взаимодействия:

Сила, с которой одна частица действует на другую, зависит только от радиус-векторов и скоростей только этих двух частиц. Присутствие других частиц на эту силу не влияет.

Принцип независимости действия сил применим во всей классической механике; и ограниченно применим в квантовой.

Из принципа независимости действия сил следует:

Эти выражения описывают принцип суперпозиции сил:

В сложной системе из N точек, сила, действующая на данную частицу, равна векторной сумме сил, действующих со стороны каждой из остальных частиц.

2.3 Силы в механике

В классической механике имеют дело с гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими силами и силами трения. Два последних вида сил определяются характером взаимодействия между молекулами вещества. Силы взаимодействия между молекулами имеют электромагнитное происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.

Фундаментальные силы. Гравитационные и электромагнитные силы являются фундаментальными – их нельзя свести к другим, более простым, силам. Упругие же силы и силы трения не являются фундаментальными.

Законы фундаментальных сил чрезвычайно просты. Гравитационная сила определяется формулой

где m1 и m2 – массы частиц, r – расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

Сила, с которой взаимодействуют два покоящихся точечных заряда q1 и q2