Глава 4

Векторные пространства 59

Глава 4. Векторные пространства

1 . Л и н е й н ы е

в е к т о р н ы е п р о с т р а н с т в а и п о д п р о с т р а н с т в а . Линейным вектор-

Непустое

множество

V

линейного

пространства

W называется

линейным подпространством

пространства W , если для любых векторов a

и b из W выполнены условия:

a b V ,

a V ,

где - любое действительное число.

Суммой двух подпространств V1

и V2

называется совокупность всех векторов a

пространства V ,

которые можно представить в виде a a1

a2 , где a1

V1 , a2

V2 .

Пересечением линейных подпространств V1

и V2

называется совокупность векторов, которые

одновременно

принадлежат

V1

и V2 . Совокупность всех векторов b1 , b2 , ..., bm , ортогональных всем

векторам a1 , a2 , ..., ak

из подпространства V ,

называется ортогональным дополнением подпространства

V и обозначается V .

2. Л и н е й н ы е

м н о г о о б р а з и я . Множество

H всевозможных векторов вида y x x0 , где

вектор

x

есть

любой вектор

из

множества

векторов

x x1 ,

x2 ,

...,

xi , ... называется линейным

многообразием

и

обозначается

H y V x x0 .

Линейное

многообразие

получено

сдвигом

подпространства V x

на вектор x0 .

Вектор

x0

называется вектором сдвига, подпространство V x -

направляющим подпространством линейного многообразия H .

Свойства линейного многообразия.

1.

Вектор сдвига x0 принадлежит линейному многообразию.

2. Вектором сдвига, принадлежащим линейному многообразию, может быть любой вектор этого

линейного многообразия.

H y V x x0

3.

Линейное

многообразие

определяется

однозначно

по

известным

подпространству V x

и вектору сдвига x0 .

H V x x0

Размерностью (рангом) линейного многообразия

называется размерность линейного

подпространства V x :

dimH dimV .

Операции с линейными многообразиями.

1) Сумма двух линейных многообразий

H1 V1 x1 и

H 2 V2

x2

есть линейное многообразие,

определяемое по следующему правилу: H1 H2

V1 x1 V2

x2

V1 V2 x1

x2 .

2) Пересечение

двух

линейных

многообразий

H1

V1 x1

и

H 2 V2

x2

есть

линейное

многообразие, вычисляемое по правилу

H1 H2

V1 x V2

x x3 .

3) Умножение

линейного

многообразия

H V x0

на

число

R, 0

порождает новое

линейное многообразие H1 , определяемое так: H H1 V

x x0 .

3.

М е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а . Векторное пространство W называется метрическим, если

задано некоторое правило, по которому каждой паре векторов

x,

y

ставится в соответствие некоторое

число x,

y , называемое расстоянием между векторами x,

y

или нормой, Оно должно удовлетворять 4

аксиомам:

1.

x,

y 0 для всех x,

y W и x,

y 0

при x y .

2.

x,

y y,

x для всех

x,

y W ;

3.

x,

o

x,

o для

y o

Глава 4

Векторные пространства

60

4.

x,

y x, z z,

y для всех x,

y,

z W .

Пусть

x, y

x y

и

x x1 , x2 ,

...,

xn ,

y y1 , y2 , ..., yn . Модуль разности

векторов

может быть вычислен в координатах по-разному (разные нормы).

евклидова норма: x,

y

1.

x1 y1 2 x2 y2 2 ... xn yn 2

.

2.

октаэдрическая норма: x,

y

x1

y1

x2 y2

...

xn yn

.

3.

кубическая норма: x,

y max

x1

y1

,

x2 y2

,

...,

x

n yn

.

Расстояние между вектором a

и любым вектором x V ,

R

a, x

a

,

где a - ортогональная составляющая вектора a

на подпространство V .

Расстояние между вектором a

и линейным многообразием H V x x0

a, H a x0 , V .

Расстояние между двумя линейными многообразиями H1 V1 x x0

и H2

V2 y y0

H1 , H2 x0 y0 , V1 V2 .

4 . Е в к л и д о в ы

п р о с т р а н с т в а .

Линейное

векторное

пространство

W называется

евклидовым, если любым двум векторам

x

и

y

из W ставится в соответствие число, обозначаемое как

x,

y , причем выполняются следующие условия:

1) x,

y y, x ;

2) x y, z x, z y, z ;

3)

x, y x,

y , где

R ;

4)

x,

x 0 ,

если

x -

ненулевой вектор; x,

x 0 , если

x -

нулевой вектор.

Число

x, y

называется

скалярным

произведением

векторов

x x1 ,

x2 , ...,

xn

и

y y1 , y2 ,

...,

yn

и

определяется

формулой

x,

y x1 y1 x2 y2

... xn yn .

Длиной

вектора x

в

x, x

евклидовом

пространстве

называется

величина

x

x2

x2

... x2 .

Расстоянием

между

векторами x x1 , x2 ,

xn и

y y1 ,

1

2

n

...,

y2 , ...,

yn является величина

x,

y

x y

x1 y1 2

x2

y2 2 ... xn yn 2

,

Углом

между

ненулевыми

векторами

x

и

y

евклидова

пространства

называется число

определяемое из равенства

cos

x,

y

, где 0 .

Два ненулевых

вектора

x и

y

называются

y

x

ортогональными, если x,

y 0 .

Свойства длин векторов

x,

x

0 , то вектор x

1) Если вектор x нулевой, то

x

0 ... 0

0 , и обратно: если

x

нулевой.

2)

x

x

, где R .

x,

y

3)

x

y

- неравенство Коши-Буняковского.

4)

x y

x

y

- неравенство треугольника.

Ортонормированная система векторов

ортогональной, если ei ,

e j 0

Система

векторов

e1 , e2 , ..., en

называется

при

i j ,

и

нормированной,

если

ei

1 для всех i 1,2,...,n . Если векторы системы ортогональны и нормированы, они

ПРИМЕР 1. Пусть V - линейное подпространство пространства W , содержащее векторы

e1 3,

1, 1 , e2 - 2, 3,

0 , e3 1,

2, 1 . Вектор x 1,

2, 3 принадлежит W . Содержится ли

Глава 4

Векторные пространства

61

Решение. Если вектор x V , то он является линейной комбинацией векторов e1 , e2 , e3 :

x 1e1 2e2 3e3 .

Запишем векторное равенство в развернутой матричной форме

1

3

2

1

2

1

3

2

.

3

1

2

0

3

1

1

3

2 1

1

1

0

1

3

1

0

1

3

1

3

2

2

~

0

3

3

5

~

0

3

3

5

.

1

0

1

3

0

2

0

0

0

2

8

14

Ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы не совпадают.

Вектор x

нельзя представить в

виде линейной комбинации векторов e1 ,

e2 ,

e3 , вектор x V .

ПРИМЕР 2. Найти систему однородных линейных уравнений, задающую линейное подпространство,

содержащее следующие векторы:

a1 1,

1,

1, 1,

1 , a2 1, 1,

0,

0,

3 , a3 3, 1,

1, 1,

7 , a4 0,

2, 1, 1,

2 .

Решение. 1-й способ. Найдем ранг данной системы векторов.

1 1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 0

0 3

0 2

1

1 2

1 -1 1 -1 1

3 1 1

1 7

~

0 4 2

2 4

~

.

0 2 -1 1 2

0

2 1 1 2

0 2 1

1 2

Ранг системы равен 2, следовательно, только два вектора из четырех являются линейно

независимыми, например,

a1 ,

a2 . Тогда линейное подпространство есть совокупность всех линейных

комбинаций

c1a1 c2a2 ,

где c1 ,

c2 R .

Эту линейную комбинацию надо записать, как совокупность

фундаментальных решений однородной системы уравнений, у которой

n 5 переменных, из них

две

свободные переменные и три базисные.

Следовательно, ранг системы уравнений r n 2 3 ,

т. е.

она

должна содержать три независимых уравнения.

Для написания предварительно отдельных фундаментальных решений (линейно независимых

векторов) векторы

a1 ,

a2

непосредственно не годятся,

так как фундаментальные решения должны

содержать хотя бы по одному нулю среди своих элементов. Поэтому возьмем две их линейные

комбинации, например, a1 a2 2

0 1 1

4

и

a1 a2

0

2 1

1 2 .

Тогда общее решение

некоторой однородной системы уравнений можно написать в виде:

x1

2

0

x2

1

0

1

2

x

x

1

x

1

,

3

2

1

2

2

1

x4

1

x

5

4

2

x1

x1 ,

x

2

x

2

,

x

1

x

1

x

,

а сама система уравнений будет иметь вид

3

2

1

2

2

1

1

x

x

x

,

4

2

1

2

2

x

5

2x

x

2

.

1

x

x

2

2x

3

0,

1

или окончательно:

x1

x2

2x4

0,

2x1 x2 x5

0.

Конечно, задача имеет не единственное решение. Можно указать и другие системы однородных

уравнений, задающие рассматриваемое подпространство.

Например, взяв линейные комбинации

2a1 a4 2,

4,

3,

3,

0 и a1 a2 2,

0, 1, 1,

4 ,

Глава 4

Векторные пространства

63

1

1

3

0

x

1 1

3

0

x

1 1

1

2

x

1

0

2 4

2

1

2

x x

2

x1

1

1

0

1

1

x3

~…~

0

0

0