Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 5


	0		0	0	1
		0	0	1	0
107.		0	1	0	0
		1	0	0	0
		1	0	0	0
	Извлечь арифметический корень из матрицы
108.
108.	√(			)
109.
109.	√(				)
110.
110.	√(				)
111.
111.	√(					)
112.
112.	√(					)
113.
	√		(			)
	√		(			)
114.
114.	√(					)

115.√ ( )

116.	√(	)
117.
	√(	)
118.
	√(	)
119.
	√(	)
120.
	√(	)
121.
	√(	)
122.
	√(	)

Линейные отображения											92
a1		1, 0, 0,	1 ,		1 0 0						0
a2		0, 1, 1,	0 ,			0 1 0					0
a3		0, 1, 1,		0 ,		0 0 1 0
a3		0, 1, 1,		0 ,		0 0 1 0
a	4	1, 0, 0,		1 ;		0 0 0					1
	4
						(						)
						(						)
						(						)
						(						)
						(						)
									(			)
									(			)
						(						)
										(		)
										(		)
						(						)
								(				)
								(				)
						(						)
						(						)
						(						)
						(						)
							(					)
							(					)

Квадратичные формы

Записать квадратичную форму в матричном виде

123.	ˆ	,	x2	2	4x1x2		2
	L x1			2x1		6x2
124.	ˆ			x2 , x3		2	12x1x2	2	2
	L x L x1 ,					4x1		10x1x3 x2	3x3

x , x

2 x1

L X

6 x2

4 6 5 x1

x1 , x2

, x3

6 1

L X

5 0

	ˆ															1		1 3 1,5 x1
	L x L x1 , x2 , x3 , x4
													x , x , x , x					1 3,5 4				X T L X
125.	x	2	2x x		6x x								x , x , x , x			1		1 3,5 4	x2			X T L X
125.	x		2x x		6x x								1	2 3	4	3 3,5 2 1
	1		1	2		1	3	2	2				1	2 3	4	3 3,5 2 1			x3
								2	2
	3x1x4 7x2 x3 8x2 x4 2x3 x4 x2 2x3															1,5 4 1 0				x
	3x1x4 7x2 x3 8x2 x4 2x3 x4 x2 2x3															1,5 4 1 0				x	4
																					4
	Записать квадратичную форму															ˆ		~				~
	Записать квадратичную форму															L x1 , x2 x,P x P x , x , где
126.	ˆ				2			2														2	2
126.	L x1		, x2 2x1			4x1x2 6x2																2	2
	в виде скалярного произведения векторов																			P
	в виде скалярного произведения векторов																					2	6
	Какой вид примет квадратичная форма									ˆ	T	L X	под	ˆ		T	T
	Какой вид примет квадратичная форма									L x X		L X	под	ˆ		P		L P Y , где Р – матрица опера-
127.														L y Y		P		L P Y , где Р – матрица опера-
127.									̃														тора
	действием линейного оператора								→ ?														тора

Глава 5

Линейные отображения

Какой вид примет квадратичная форма

L X под

L P

–

L x

L y Y

Y , где

128.

действием линейного оператора

→ ?

матрица оператора

Найти квадратичную

форму

y2 ,

полученную из

квадратичной

формы

L y L y1

L x L x1 ,

результате действия линейного оператора

P .

129.

3x2

. y P x

14 y

14 y y

9 y

L x x1 4x1x2

130.	ˆ		2	4x1x2		2	~	1 1 y1
130.	L x x1			4x1x2		x2 .	x P y
								1	1 y2
131.	ˆ		2	8x1x2		2	~		1 7 y1
131.	L x x1			8x1x2		2x2 .	x P y		2 0
									2 0	y2
												~				0,5 0					0 x1

	ˆ	2		2	2
132.	ˆ	2		2	2	4x1x2 6x1x3 8x2 x3 .				y P x							0			1	0
132.	L x x1		x2 x3			4x1x2 6x1x3 8x2 x3 .				y P x							0			1	0	x2

																	0			0	0,5
																	0			0	0,5	x3

										~			1		3			0 y1
	ˆ	2		2		2				~
133.	L x x1		8x2		x3 6x1x2 2x2 x3				x P y					0		1		0	y2

													0			0		0		y3
													0			0		0		y3

													~				2			0	1 y1
	ˆ		2	2		2							~
134.	L x 2x1			x2	3x3 2x1x2 4x1x3				2x2 x3 .		x P y							1		0	2 y2
																		1
																		1		2	1	y3

Привести к каноническому виду квадратичную форму и определить ее ранг.

135.	ˆ	2	2		2	2x1x2		Например,
	L x x1		x2	x3
	ˆ							Например,	ˆ	2
136.		2		2		2	2x1x2		L y y1
	L x x1		2x2		7x3			2x1x3 4x2 x3

						2 y1 y2 2
		23 y 2			98 y y			2	49 y 2
			1			1		2			2
	4 y 2		y 2		4 y 2		8y y			2
		1	2			3			1	2
		24 y1 y3			16 y2 y3
						ˆ			2		2
						L y y1 y2
	4 y 2	12 y		2	3y 2		8y y			2
	1			2		3			1	2
	2 y1 y3			4 y2 y3
ˆ	2		2			y1 x1 x2 ,
L y y1 y2 , где						y2	x3 .
						y2	x3 .

Ранг равен 2

y1 x1 x2 x3 ,

y22 5y32 , где y2 x2 x3 ,

y3 x3 .

137.	ˆ		2	2	2	2x2 x3
	L x 3x1			2x2	2x3
138.	ˆ	2	2x1x2 2x2 x3
	L x x1

	ˆ		2		2		2		y1
Например,								, где y2
	L y		y1	y2		y3
									y3
Например,		ˆ		2		2		2	, где
		L y y1			y2		y3

Ранг равен 3.

x1 x2 x3 ,

x1 x2 ,

x1 x3 .

Ранг равен 3.

y1	x1	x2 ,
y2	x2	x3 ,
y3	x3 .

Найти линейный оператор	~	x , под действием которого квадратичная форма	ˆ
	P		L x

вид. Привести этот канонический вид квадратичной формы.

Ранг равен 3.

принимает канонический

139.	ˆ	2	6x1x2	2				~			1 3 x1							ˆ		2		2
139.	L x x1		6x1x2	2x2				P x								.		L y		y1		11y2
											0		1 x2
140.	ˆ	2	4x1x2	2					~			2 1 x1							ˆ	2		2
140.	L x 4x1		4x1x2	x2					P x				0	1				.	L y y1		2 y2
													0	1	x2
					~		1	1	1		2	y1
					~		1												2	2		2
141.	ˆ				P x			1	1		0			.	ˆ			2 y1		2 y2	2 y3
141.	L x 2x1x2 2x1x3 2x2 x3				P x		2	1	1		0	y2		.	L y			2 y1		2 y2	2 y3
							2	0	0		2		y3
								0	0		2		y3

						~			1		1	0		x1
	ˆ	2	2			~											ˆ			2	2	2
142.	ˆ		3x3 2x1x2 4x1x3		2x2 x3	P x				0	1	1				.	ˆ					y3
142.	L x 2x2		3x3 2x1x2 4x1x3		2x2 x3	P x				0	1	1		x2		.	L y y1 y2					y3
												2
										1	0	2		x3

				~		ˆ		ˆ
	Найти линейный оператор P , связывающий квадратичные формы					L x и		L y

	Глава 5																	Линейные отображения																							94
	ˆ	2					2																																Например,
143.	L x x1		2x1x2 2x2																											~						0				2 y1
143.	ˆ		2					2																						~						0				2 y1
	L y 2 y1			4 y1 y2 4 y2					.																					P y							1			0
									.																												1			0	y2
	ˆ		2	4x1x2				2																															Например,
144.	L x 4x1			4x1x2			8x2																							~					1					1 y
144.	ˆ		2						2																					~					1				9	1 y
	L y 9 y1			12y1 y2			21y2			.																				P y									0
	L y 9 y1			12y1 y2			21y2																							P y					6
																																			6					10 y2
	Используя собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы, привести ее к
	каноническому виду.
145.	ˆ	2		2	8x1x2																													ˆ							2				2
145.	L x x1		7x2		8x1x2																													L y 9 y1								y2
146.	ˆ		2		2	4x1x2																												ˆ							2				2
146.	L x 2x1			5x2		4x1x2																												L y 6 y1								y2
147.	ˆ	2		2	6x1x2																																	ˆ							2
147.	L x x1		9x2		6x1x2																																L y 10y1
148.	ˆ		2	2		4x1x2 4x1x3 2x2 x3																							ˆ						2						2				2
148.	L x 3x2			3x3		4x1x2 4x1x3 2x2 x3																						L y					4 y1				4 y2 2 y3
149.	ˆ						2x2 x3																							ˆ									2		2				2
149.	L x 2x1x2 2x1x3						2x2 x3																							L y 2 y1										y2		y3
150.	ˆ		2	2		2	2x1x2 2x1x3						4x2 x3																	ˆ							2				2				2
150.	L x 2x1			x2	x3		2x1x2 2x1x3						4x2 x3																	L y			4 y1							y2		y3
151.	ˆ	2		2		2																				ˆ							2							2					2
	ˆ	2		2		2																				ˆ							2							2					2
	L x x1		x2 x3 2x1x2 4x1x3 2x2 x3																							L y 3y1												3 y2					3 y3
	Для квадратичной формы																						1					1			1
																Например,					a				,					,				,
																Например,					a				,					,				,
	ˆ																				1		3					3
152.	L x 2x1x2 2x1x3 2x2 x3																						3					3				3
152.	построить ортонормированный базис из																		1			2		1									1									1
	построить ортонормированный базис из																		1			2		1									1									1
																a	2			,			,				, a			3							, 0,								.
																a				,			,				, a										, 0,								.
	собственных векторов матрицы формы.																		6			6		6											2
	собственных векторов матрицы формы.
																																												2
153.	Доказать,			что	характеристический многочлен									L E		не изменяется при						ортогональном											преобразовании
153.	квадратичной формы.
	квадратичной формы.
													ˆ
	Исследовать квадратичную форму L x на знакоопределенность
154.	ˆ	2		2										Положительно полуопределенная
154.	L x x1		x2 2x1x2											Положительно полуопределенная
155.	ˆ	2	4x1 x2											Не является знакоопределенной
155.	L x x1		4x1 x2											Не является знакоопределенной
156.	ˆ	2		2	3x1x2									Положительно определенная
156.	L x x1		7x2		3x1x2									Положительно определенная
157.	ˆ		2		2	4x1 x2								Отрицательно определенная
157.	L x x1			6x2		4x1 x2								Отрицательно определенная
158.	ˆ	2		2			2							Положительно определенная
158.	L x x1		4x2		3x3 2x1x2									Положительно определенная
159.	ˆ		2		2		2	4x1 x3				2x2 x3		Не является знакоопределенной
159.	L x 3x1			3x2		4x3		4x1 x3				2x2 x3		Не является знакоопределенной
160.	ˆ		2		2		2	4x1x2				4x1x3		Положительно полуопределенная
160.	L x 4x1			2x2		2x3		4x1x2				4x1x3		Положительно полуопределенная
161.	ˆ		2	2		2	2x1x2 2x1x3						2x2 x3	Отрицательно полуопределенная
161.	L x x1			x2	x3		2x1x2 2x1x3						2x2 x3	Отрицательно полуопределенная
162.	ˆ		2	2			2				2x1x3 2x2 x3			Положительно определенная
162.	L x 2x1			x2	5x3 2x1x2						2x1x3 2x2 x3			Положительно определенная
	Найти все значения параметра а, при которых квадратичная форма положительно знакоопределена
163.	ˆ		2	2		2					2x1x3		2x2 x3	a 2
163.	L x 5x1			x2	ax3 4x1x2						2x1x3		2x2 x3	a 2
	ˆ	2		2		2									4
164.	L x x1		x2 5x3				2ax1x2				2x1x3		4x2 x3		5	a 0
															5
165.	ˆ		2		2		2					6x1x3 2x2 x3		Таких а не существует.
165.	L x 2x1			2x2		x3 2ax1x2						6x1x3 2x2 x3		Таких а не существует.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>