- •Оглавление
- •Матрицы
- •Обратные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Матричные уравнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Базисные решения
- •Фундаментальные решения
- •Геометрические векторы
- •Сумма множеств по Минковскому
- •Элементы аналитической геометрии
- •N-мерные векторы
- •Глава 4. Векторные пространства
- •Векторные пространства и подпространства
- •Линейные многообразия
- •Метрические пространства
- •Евклидовы пространства
- •Глава 5. Линейные отображения
- •Квадратичные формы
- •Глава 6. Векторные функции
- •Глава 7. Классические методы оптимизации
- •Экстремум неявной функции
- •Условный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •Экстремум в системах функций
- •Найти экстремум в системах функций
Глава 4 |
Векторные пространства |
76 |
Евклидовы пространства
126.Сформулировать определение n-мерного евклидова пространства.
127.Сформулировать определение скалярного произведения в n-мерном евклидовом пространстве.
128.Сформулировать определение нормы вектора.
129.Доказать неравенство Коши-Буняковского в векторном виде x,
130.Доказать неравенство Коши-Буняковского в координатном виде
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
|
xi yi |
|
xi |
|
|
yi |
. |
||||||||||||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
131. |
Доказать неравенство треугольника в векторном виде |
x y |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n |
||||||
132. |
Доказать неравенство треугольника в координатном виде xi yi |
2 |
|
xi2 |
|
yi2 |
|||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
i 1 |
133.Доказать, что для ортогональных векторов x и y справедливо равенство x y 2 x 2 y 2 .
Дать определения следующих понятий: ортогональная система векторов; нормированная система векторов;
134.ортонормированная система векторов.
135.Что такое процедура Грама-Шмидта?
|
Решить векторное уравнение, считая, что координаты всех векторы разложены по ортонормированному базису. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
a1 |
|
5, |
8, |
1, |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
2 |
||||||||
136. |
a1 2a2 3a3 |
4x о , где a2 |
|
2, |
1, |
|
4, |
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2, |
|||||||||||
|
|
a3 |
|
3, 2, |
5, |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 a1 x 2 a2 x 5 a3 x , где |
a 2, |
|
5, 1, |
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
137. |
a12 |
|
10, |
1, |
5, |
10 , |
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
|
2, |
3, |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
4, |
1, |
1, |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
138. |
x, a x, b 0 , где a 1, 1 , b 1, |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x , |
, |
где R . |
|||||||||||||
139. |
a b, x о , где a 2, 3 , b 2, |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 , |
, |
где R . |
||||||||||||
140. |
x a, b a b, |
x a , где a 1, |
1 , |
b 2, |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
, 1 |
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
141. |
a b, x b a, |
x b a, b , где a 0, |
1 , |
b 1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, |
1 |
|||||||||||
142. |
b x a, b a x b, a x , где a 2, |
|
4 , b -1, |
2 . |
|
|
|
|
|
|
x 51 |
20 , 2710 |
||||||||||||||||||
143. |
a b x, a a b x, b a, b , |
где a 1, |
1 , b 2, |
-1 . |
|
|
|
x 4, |
, |
где R . |
||||||||||||||||||||
144. |
a b, x b a, |
x x a, b a b x , |
где a 2, |
3 , b 1, |
3 . |
|
|
|
x 10133 , 3133 |
|||||||||||||||||||||
|
a a b x, a b a b x, b о , где a 1, |
|
|
0 ,b 0, |
|
0 . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
145. |
1, |
1, |
|
|
x |
0 |
, |
где R . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b, x b x, a x a, b о , где a 1, |
|
|
1 ,b 1, 1, |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
146. |
0, |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
, где |
R |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
147. |
a a x, b b b x, a о , где a 0, |
|
1, |
1 ,b 1, |
0, |
1 . |
|
|
x x12 |
|
1 1 |
|
, где |
R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, что скалярное произведение двух векторов |
x x1 , |
x2 , |
|
x3 , |
y y1 , y2 , |
y3 тогда и только |
|
|
|||||||||||||||||||||
148. |
тогда выражается равенством x, |
y x1 y1 |
x2 y2 |
x3 y3 , когда базис, в котором заданы координаты, является |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ортонормированным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если V есть подпространство пространства W , то любой вектор x W однозначно представляется в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
149. |
виде x y z , |
где |
y V , |
z V . Указать идею для вычисления y и z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дополнить векторы до ортогонального базиса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, |
|
0, 0 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
150. |
a 1, |
1, |
0, 0 , |
b 0, |
0, |
1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
0, 0, 1, |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
151. |
a 1, |
0, |
2, 1 , b 1, |
1, |
1, 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
c |
2, |
|
1, |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
0 , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 1, |
|
|
|
3, |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
152. |
a 1, |
1, |
1, 2 , |
b 1, |
2, |
3, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
|
c |
|
1, |
|
|
|
2, |
1, |
|
|
0 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
25, |
|
4, 17, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти |
матрицу |
перехода |
от |
ортонормированного базиса |
|
|
e1 , |
|
e2 , e3 , e4 |
|
|
|
к |
базису |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
153. |
e1 , e3 , e2 , e4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис евклидова пространства по заданному |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
базису |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154. |
a 0, |
2 ,b 1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 0, |
1 , |
e2 |
1, |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a 1, |
1 , |
b 1, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
155. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
a 1, |
2 , |
b 0, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
156. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||
157. |
a 0, |
1, |
0 , b 0, 2, |
4 , c 3, |
2, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 0, 1, |
0 , e2 0, |
|
0, 1 , e3 1, 0, |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a 1, |
|
|
2 , b 3, |
|
3 , c 5, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
158. |
2, |
0, |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|
|
|
, e2 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, e3 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a 1, |
2, |
2 , b 1, 0, |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
159. |
c 5, |
3, |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
, e2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, e3 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a 1, 1, |
0 , b 0, 1, |
2 , |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
160. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 , e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e3 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c 1, |
1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис евклидова подпространства по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
заданному базису |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a 1, 0, |
1, 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
161. |
b 1, 0, |
0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 , e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a 1, |
2, 2, 1 , |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
162. |
b 1, 1, |
5, 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
c 3, |
2, 8, 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Линейное подпространство V x задано линейной оболочкой. Найти систему линейных уравнений, задающих |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ортогональное дополнение V y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
163. |
V x : x a , где |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
164. |
V x : x 1 a1 |
2 a2 3 |
a3 , где |
{ |
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
165. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Линейное подпространство V задано линейной оболочкой. |
|
Найти базис ортогонального дополнения V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
166. |
V x : x a , |
где a 1, |
1, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, b1 |
|
1, |
|
1, |
|
|
|
0 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
1, |
0, |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
V x : x 1 a1 |
|
|
|
|
|
a1 0, 1, |
1 , a2 |
|
1, |
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
167. |
2 a2 3 |
a3 , где |
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
b 2, |
|
|
|
1, |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a3 1, |
0, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
78 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
168. |
V x : x 1 a1 |
|
2 |
a2 |
3 |
a3 , где a1 1, |
0, 2, 1 , |
|
|
b1 2, |
|
2, 1, |
0 , |
||||||||||||||||
a2 2, 1, |
2, 3 , |
a3 0, 1, |
2, 1 . |
|
|
|
|
b2 1, 1, 0, |
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
169. |
V x : x 1 a1 |
|
2 |
a2 |
|
3 a3 4 a4 , где |
a1 1, 1, 0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
Например, |
|||||||||||||||
a2 2, 1, |
0, 1 , |
a3 1, |
2, 0, 2 , a4 2, |
1, 1, |
0 . |
|
|
b 0, |
1, 1, 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Линейное |
подпространство V |
задано однородным |
уравнением |
x1 |
x2 x3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
170. |
Найти базис ортогонального дополнения V . |
|
|
|
|
Например, b 1, -1,1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Линейное подпространство V , заданно системой однородных уравнений. Найти базис ортогонального |
||||||||||||||||||||||||||||
|
дополнения |
V |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171. |
V x : { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
172. |
V x : { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x1 x2 x3 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
1, 2, |
0 , |
|||||||||||||||
|
V x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
173. |
2x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
b |
|
3, 0, |
2 |
|||||||||||||||
|
|
x x |
2 |
x |
3 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, 5, 0, 0 , |
|||||
|
V x : |
x1 2x2 x3 x4 0, |
|
|
|
|
|
b1 |
|
||||||||||||||||||||
174. |
2x |
3x |
2 |
x |
3 |
2x |
4 |
0 , |
|
|
|
|
|
Например, b |
|
4, |
0, 15, |
0 , |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1, 0, 0, 3 |
|||||||||
|
|
x |
x |
2 |
3x |
3 |
3x |
4 |
0. |
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Линейное подпространство V x задано уравнениями. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение
V y .
175.V x : {
176.V x : {
|
V x : |
2x1 x2 |
3x3 x4 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
177. |
3x |
2x |
2 |
2x |
4 |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3x1 |
x2 |
9x3 x4 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Найти ортогональную проекцию |
|
|
и ортогональную составляющую |
||||||||||||||||||||||
|
L : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
), |
|
{ |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
||
178. |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
179. |
a 1, |
2, |
1 , |
|
L: |
a1 |
|
|
1, |
1, 2 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
1, |
1, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 1, 1, |
1 , |
|
|
||||||||
|
a 4, 1, 3, 4 , |
|
|
|
|
a1 |
|
|
||||||||||||||||||
180. |
|
L: |
|
a |
2 |
|
|
1, 2, 2, |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 0, 0, |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|||||||||||||
|
a 2, 5, 3, 4 , |
|
|
a1 |
|
1, |
|
3, 3, 5 , |
|
|
||||||||||||||||
181. |
L: |
a |
2 |
|
1, |
3, 5, |
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
5, 3, |
|
||||||||||||||
|
a 5, 2, 2, 2 , |
|
|
a1 |
|
2, |
1, 1, 1 , |
|
|
|||||||||||||||||
182. |
L: |
a |
2 |
|
1, |
1, 3, 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
2, 8, 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
a 4, |
2, |
|
3, 5 , L: |
x |
|
x x |
x |
|
0, |
|
|||||||||||||||
183. |
|
x1 |
|
x2 x3 |
|
x |
4 |
0. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
a 7, 4, 1, 2 , |
|
|
2x1 |
x2 |
x3 3x4 |
0, |
|||||||||||||||||||
184. |
|
L: 3x |
2x |
2 |
2x |
3 |
x |
4 |
0, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2x |
2 |
2x |
3 |
9x |
4 |
0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти расстояние от точки M до подпространства L .
Например, |
6 y1 9 y2 y3 0, |
||
|
y4 |
0 |
|
|
y2 |
вектора a на линейное подпространство
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
|
) |
3 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||
x |
|
, |
|
, 1 , y |
|
|
, |
|
|
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
x 3a1 2a2 1, |
1, |
1, 5 , |
|||||||
y 3, |
0, 2, |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
x |
0, |
3, |
5, |
2 , |
||||
|
y |
2, |
2, |
2, |
2 |
||||
x 2a1 a2 3, 1, |
1, |
2 , |
|||||||
y 2, |
1, 1, |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0,5 1, |
1, |
1, |
1 , |
|||||
|
y 0,5 9, |
5, |
5, |
9 |
|
||||
|
x |
5, |
5, |
2, |
1 , |
||||
|
y |
2, |
1, |
1, |
|
3 |
|
|
|
Глава 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторные пространства |
|
|
|
|
79 |
|||||||||||
185. |
M 1, 2, |
|
|
a1 2, |
0, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 , L : |
|
2, |
|
2, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1, |
|
|
1 , |
x |
2x |
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
186. |
|
L: x1 |
x |
|
2 0. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
187. |
Найти расстояние между подпространствами L1 |
a1 |
1, 0, |
1 , |
L2 |
b1 |
1, 0, |
1 , |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||
: a |
0, 1, |
1 |
: b |
0, 1, |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти угол между вектором x и линейным подпространством L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
188. |
x 1, |
1, |
2 , |
L: |
a 1, |
2, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a 2, |
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||||||
|
x 1, |
|
|
1 , |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||
189. |
2, |
|
L: |
1 |
0, |
|
1, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 6 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
|
5, |
3, 4, 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
190. |
x 1, |
0, |
|
3, 0 , |
L: |
a |
|
1, |
1, 4, 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a3 2, 1, |
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2, |
0, |
3 , |
|
x 2x |
|
3x |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 13 |
|
|
||||||||||||
191. |
L: |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x1 |
x2 |
x3 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|||||||||||||
|
Найти угол между линейными подпространствами L1 |
и L2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 : a |
2, |
0, 3 , |
|
b 1, 1, |
1 , |
|
|||||||
192. |
L2 : b1 |
1, |
1, |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
a1 |
|
1, |
2, 1 , |
|
b1 |
|
0, 1, |
2 , |
|
|||
193. |
: a |
|
2, 0, |
4 |
L2 : |
b |
|
1, 1, 1 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
2, |
1, 0, |
1 , |
|
|
b1 |
|
0, |
1, 2, 2 , |
|||
194. |
L1 |
: a |
|
1, |
1, 1, |
1 |
L2 |
: |
b |
|
3, |
1, 3, |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Найти расстояние между точкой М и линейным многообразием H . |
|
|||||||||||||||||||||||||
195. |
M 2, |
1, 1 ; H x : x b x0 , где b 1, |
2, 1 , |
x0 0, |
1, 1 . |
||||||||||||||||||||||
196. |
M 1, 1, |
1 , |
|
|
H x : x b x0 |
|
, где b 0, 1, 2 , x0 |
1, 2, |
1 . |
||||||||||||||||||
197. |
M 1, |
1, 0, |
0 ; |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
H x : |
1 |
|
|
|
|
4 |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Найти расстояние H1 , H 2 между линейными многообразиями. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
H1 |
x x |
|
|
1, |
|
|
H 2 : |
x x |
|
2, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
198. |
: |
1 |
3 |
|
; |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
2 |
|
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
H1 |
x |
|
x |
|
2, |
|
H 2 |
x x |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|||||||||
199. |
: |
x |
2 |
x |
|
3 |
1 |
|
; |
: |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
2x |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
200. |
H1 |
: x1 2x2 |
2x3 |
1 ; H2 : |
|
x1 2x2 2x3 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
201. |
H1 |
: x1 x2 x3 x4 2 ; H 2 |
: x1 x2 x3 |
x4 |
3 |
|
|
|
arccos |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
13 |
|
||||
|
arccos |
|
|
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
arccos |
|
0,7 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a, H 2a, H 0
a, H 2
H1 , |
H 2 |
|
6 |
|
|
||||
2 |
||||
|
|
|
H1 , H 2 22
H1 , H 2 1
H1 , H 2 23
|
Найти угол между вектором a |
и линейным многообразием |
H x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x1 |
x2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||
202. |
a 2, |
1, |
2 ; |
H x : |
x x |
|
1 |
. |
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
203. |
a 1, |
1, |
0, 0 ; |
H x : |
x 1b1 2b2 x0 , где b1 |
0, 1, 1, |
0 , |
b2 1, 0, 0, 1 , |
|
|
|
|||||
x0 1, 1, |
0, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Через точку M проходит одномерное линейное многообразие H параллельно подпространству L x . |
Найти H |
Глава 4
204. |
M 1, 2, |
1 , |
L x : x a , где a 2, |
1, |
3 , R . |
|
Представить |
H системой уравнений. |
|
|
|||
|
|
|
||||
205. |
M 3, 2, 2 , |
L x : x3 0 . |
|
|
||
Представить |
H в векторном виде. |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
M 2, 1, |
2 , |
L x : x 1 a1 2 a2 , где |
|
||
206. |
a1 0, |
1, |
1 , a2 1, 1, 1 , 1 , 2 R . |
|
Представить H в векторном виде.
Векторные пространства |
|
|
|
|
|
80 |
|
|||||
|
|
|
x |
2x |
|
5, |
|
|||||
|
Например, H : |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
3x1 2x3 5 |
|
||||||||
Например, |
H x : x a x0 , где |
|
|
|
|
|||||||
a 3, 2, |
2 , x0 0, |
0, 2 , R . |
|
|||||||||
|
Например, H x : |
x a x0 |
, |
|||||||||
|
|
где a 2, |
|
1, 2 , |
||||||||
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
||
|
x0 |
0, |
|
|
, |
|
|
|
, R . |
|||
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2, |
1, |
1 и |
N 1, 1, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Через точки |
проходит двухмерное линейное |
|
H x : |
x 1 a1 |
2 |
a2 x0 , где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L x : |
x a , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
207. |
многообразие |
H |
параллельно подпространству |
|
|
|
где |
|
a1 2, |
2, |
1 , a2 |
1, |
|
0, |
|
1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
a 2, |
2, 1 , R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2, 1, 2 , |
|
, |
|
|
R . |
|||||||||||||||||
|
Найти |
H и представить в векторном виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Через точки M 2, |
|
0 и |
N 1, 0, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1, 0, |
1, |
|
проходит трехмерное линейное многообразие H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
208. |
параллельно |
подпространству |
L x : |
x |
|
x |
|
|
0, |
. |
|
|
Найти |
|
H |
и |
представить |
линейными |
|
|
Например, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
H : x x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|||||
|
уравнениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подпространство V задано линейным уравнением |
V : x1 x2 x3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H : x1 x2 x3 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
209. |
Найти линейное многообразие H максимальной размерности, параллельное |
V и |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
или x1 |
x2 |
|
x3 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
удаленное от него на расстояние 3. Представить H линейными уравнениями. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 x2 2, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V x : |
|
x a , где |
||||||||||||||||||||
|
Линейное многообразие H задано уравнениями H : |
x |
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
210. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 3 |
|
|||||||
|
Найти линейное подпространство V , ортогональное к H и удаленное от |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
него на расстояние 1. Представить V в векторном виде. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Линейное многообразие |
H 1 |
задано линейными |
уравнениями |
|
|
H1 : x1 |
3, . |
|
Найти |
|
H 2 : x1 |
2x 3 |
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
211. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
линейное многообразие |
H 2 максимальной размерности, |
параллельное |
H1 |
и удаленное от |
|
|
|
|
|
|
|
|
dim H2 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
него на расстояние 2. Представить H линейными уравнениями. Указать его размерность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
212. |
Доказать, что расстоянием между вектором |
|
|
a |
и |
|
подпространством V в |
|
евклидовом |
пространстве |
|
является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ортогональная составляющая a вектора a |
на подпространство V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
213. |
Доказать, что расстоянием между вектором a |
|
и линейным многообразием |
H V x0 в евклидовом пространстве |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является ортогональная составляющая a x0 |
вектора a x0 |
|
на подпространство V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
214. |
Доказать, что расстоянием между двумя линейными многообразиями |
H1 V1 |
x0 |
и |
H2 |
V2 y0 |
в |
евклидовом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространстве является ортогональная составляющая x |
|
y |
|
|
вектора |
x |
|
y |
|
на сумму подпространств |
V V . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|