Глава 5. Линейные отображения

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 5	Линейные отображения	81
	Глава 5. Линейные отображения
1 . Л и н е й н ы е	о п е р а т о р ы . Пусть каждому вектору x ставится в соответствие	по

определенному правилу вектор y . Это правило называется отображением, или преобразованием, или оператором. Обозначение:

		~	x .
	y P		x .
Оператор называется линейным, если
~	x y	~			~
P	x y	P	x P y ,
	~		~	x .
	P x P			x .
Действие оператора на вектор x сводится к умножению матрицы оператора
	p	p		...	p
	11	12			1n
P p21		p22		...	p2n
	...	...		...	...
		p2n		...
	pn1	p2n		...	pnn
на матрицу-столбец, составленный из координат вектора			x x1 ,			x2 , ... xn , т. е.

	p	p ...
~	11	12
~	x P x p21	p22 ...
y P	x P x p21	p22 ...
	... ... ...
		p2n ...
	pn1	p2n ...

p1n p2n

...

pnn

x1x2 ....xn

При переходе от старого базису к новому матрица линейного оператора преобразуется по правилу:

P* T 1P T ,

где P* - матрица линейного оператора в новом базисе.

2 . С о б с т в е н н ы е в е к т о р ы и с о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я л и н е й н о г о о п е р а т о р а .
Вектор x называется собственным вектором оператора, если						~	x x .
Вектор x называется собственным вектором оператора, если				существует такое число , что P			x x .
			~	соответствующим собственному вектору x .
Число называется собственным значением оператора P ,				соответствующим собственному вектору x .
Величина есть корень характеристического уравнения
		p11	p12	...	p1n
		p11	p12	...	p1n
	P E	p21	p22	...	p2n	=0.
		p21	p22	...	p2n
		...	... ... ...
		...	... ... ...
		pn1	pn2	...	pnn
3 . К в а д р а т и ч н ы е ф о р м ы . Выражение вида
		ˆ	n
		ˆ		x j
		L x aij xi		x j

i , j

называется квадратичной формой переменных x1 ,x2 ,..., xn . В матричной форме квадратичная форма имеет

вид:

L X , где

L x X

...

L 12

...

... ...

...

Квадратичная форма называется канонической, если все коэффициенты aij при i j равны нулю. Пусть среди переменных x1 ,x2 ,..., xn хотя бы один не равен нулю. Тогда

Глава 5

Линейные отображения

Обозна-

Оценка знакоопределенности формы

Название формы

чение

по минорам матрицы L

по собственным значениям

матрицы L

Положительно

Если все угловые миноры положительны:

Если все собственные значения

определенная

L x 0

M k

0 ,

k 1,2,...,n .

положительны

Отрицательно

Если в угловых минорах чередуются знаки:

Если все собственные значения

определенная

L x 0

1 k M k

0 , k 1,2,...,n .

отрицательны

Положительно

Если все главные миноры неотрицательны:

Если все собственные значения

полуопределенная

L x 0

M kгл 0 ,

неотрицательны

Отрицательно

Если в главных минорах чередуются знаки:

Если все собственные значения

полуопределенная

L x 0

(

)

неположительны

Неопределенная

Если собственные значения

L x

имеют разные знаки

Равная нулю

Если все собственные значения

L x 0

равны нулю

ПРИМЕР 1. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы A

Решение. Найдем вначале собственные значения матрицы, решая векторное уравнение

где x x1 , x2 ,

x3 –

A x x ,

предполагаемый собственный вектор,

собственное

число.

Уравнение

матричном виде запишется так:

A X X .

Перенесем слагаемые влево и вынесем Х за скобки. Получим

A E X 0 . (1)

Это уравнение всегда имеет нулевое решение. Чтобы оно имело и ненулевые решения, должно быть выполнено условие

A E 0 .

Найдем матрицу A E . Ее вид:

2		1		2	1		0	0		2		1	2
	5	3	3			0	1	0			5	3	3	.
	1 0			2		0	0	1			1	0
	1 0			2		0	0	1			1	0	2
Следовательно,
				2		1			2
				2		1			2
				5	3				3		0 .
				1		0		2
Раскроем определитель по правилу треугольников, получим
2 3 2 1 3 1 5 0 2 2 3 1 5 1 2 2 3 0 0 .
После преобразований будем иметь
		3	3 2		3 1 0					или 1 3			0 .
Решение уравнения 1 2 3 1.					Это		по		определению				собственные числа матрицы. Для

нахождения собственных векторов подставим 1 в уравнение (1). Получим в развернутом матричном виде уравнение

3		1	2	x1		0
	5	2	3	x	2		0	.

	1						0
		0 1		x3

Матричное уравнение можно записать в виде системы уравнений

3x x			2	2x		3		0,
	1
5x1		2x2			3x3 0,
x					x		3	0.
	1

Глава 5

Линейные отображения

Система уравнений является однородной, определитель матрицы коэффициентов системы равен нулю. Поэтому, кроме нулевого решения, система имеет и другие решения. Найдем их, используя метод Гаусса.

3		1	2	-1 0			-1	-1 0			-1	1		0	1
	5	2	3	~	3	-1	2	~	0	-1	-1
												~	0	1	.
	1 0				5	- 2	3		0	- 2	- 2				1
			1

Отсюда следует система уравнений	x1			x3	0,	,
Отсюда следует система уравнений	x			x	0	,
			2	3
	x1				1
общий вид решений которой	x	2		c	1 .
		2

	x3				1

Векторы c 1 , где c 0 ,1

есть собственные векторы исходной матрицы, соответствующие собственным числам 1 .

ПРИМЕР 2. Решить уравнение линейного преобразования, т. е. найти матрицу линейного оператора из равенства

a,	~	2x , где			x R		2	,	a	1,		1 ,	b 0,	1 .
	b x P
Решение. Напишем уравнение в матричной форме
			x		p		p			2x		,
			x	1		1	p	2		2x	1
				2		p		4			2
						3

а затем в виде системы линейных уравнений

x1 2 p1 x1 2 p2 x2 .

x2 2 p3 x1 2 p4 x2

Перенеся все члены в одну часть, получим

1 2 p1 x1 2 p2 x2 0 . 2 p3 x1 1 2 p4 x2 0

Система имеет решение для любой пары переменных x1 , x2 при условии, что все коэффициенты перед переменными равны нулю, т. е.

1 2 p1		0,
2 p2	0,			.
2 p3	0,

1 2 p4		0
Следовательно, матрица оператора имеет вид
P	1	1	0
		0	1	.

	2

ПРИМЕР 3. Найти квадратичную форму										ˆ
ПРИМЕР 3. Найти квадратичную форму										L y , полученную из квадратичной формы
										ˆ				2		4x1x2						2
										L x x1						4x1x2				4x2
в результате действия линейного оператора
									~				1 1				2	x1
									P x										.
									P x										.
										~			5 2			1 x2
Решение. Действие линейного оператора										~		x			порождает вектор
Решение. Действие линейного оператора										P		x			порождает вектор
												y1				1		1 2 x1
									y									2					,
									y														,
												y2				5			1 x2
что приводит к преобразованию квадратичной формы
									ˆ									1	2 x1
									L x x , x							2
													1			2		2
																		2		4 x2
в форму
ˆ	1 T			1		1	2 y		T		1			2			1	2	y						1 2	T	1 2	1	2	y
ˆ		Y	L P		Y			1													1		y , y								1	.
L y P		Y	L P		Y	2	1 y				2			4			2	1 y					y , y		2 1		2 4	2	1 y			.
						2	1 y	2			2			4			2	1 y			2		1	2	2 1		2 4	2	1 y		2
								2													2										2

После перемножения матриц получаем

Глава 5				Линейные отображения	84
	ˆ		2	2
	L y 23y1			8y1 y2 8y2 .
ПРИМЕР 4. Найти линейный оператор	~	, под действием которого квадратичная форма
ПРИМЕР 4. Найти линейный оператор	P	, под действием которого квадратичная форма
		ˆ	2	2
	L x 4x1			8x1x2 5x2

принимает канонический вид. Привести этот канонический вид квадратичной формы.

Решение. Преобразуем квадратичную форму

к каноническому виду

L x

4x1 8x1x2 5x2

2x1 2x2 9x2 .

Введем новые переменные

3x2 y2

в которых форма будет представлена в каноническом виде

преобразуется в форму

Следовательно, линейный оператор P x , под действием которого форма

L x

L y

, имеет вид

2 x1

3 x2

ПРИМЕР 5. Квадратичную форму

4x1 x2 41 x3

L x 6x1

5x2

7x3

привести к каноническому виду

Решение. После замены переменного X P Y форма

L X

L x X

переходит в форму

P Y ,

L y

которая должна содержать только слагаемые с квадратами переменных. Таким образом, задача равнозначна

следующей: найти ортогональную матрицу Р такую, чтобы матрица PT L P имела диагональный вид. Это всегда возможно для симметрической матрицы L , если в качестве столбцов искомой матрицы Р выбрать ортонормированную систему собственных векторов матрицы формы L . Тогда посредством замены X P Y квадратичная форма приводится к виду

1 y12 2 y22 3 y32 ,

где 1 , 2 , 3 - собственные значения матрицы Р с учетом кратности.

Итак, находим собственные значения и собственные векторы матрицы

				6	2	2
		L	2		5	0	.
				2	0	7
				2	0	7
Получим собственные значения 1	3, 2	6, 3 9 и соответствующие им собственные векторы
a1 2,	2, 1 , a2 1,			2,	2 , a3 2,			1, 2 .

Так как собственные значения попарно различны, то соответствующие им векторы попарно ортогональны. Для получения ортонормированной матрицы их необходимо пронормировать. Тогда ортогональная матрица будет иметь вид

							1		2			1	2
							1
			P								2	2	1
			P								2	2	1
							3					2
							3		1			2	2
и посредством замены
	x1							2					y
	x1							2				1 2			1
					1
					1
		x2								2		2 1 y2
		x2								2		2 1 y2
		x			3					1		2	2	y
		x												y	3
		3													3
исходная квадратичная форма переводится в каноническую форму
			3y 2					6 y 2 9 y 2 .
					1							2	3
ПРИМЕР 6. Исследовать квадратичную форму
ˆ	2			2						2	4x1 x2 4x1 x3 2x2 x3
L x 4x1		x2				x3					4x1 x2 4x1 x3 2x2 x3

на знакоопределенность.

Решение. 1 способ. Составим матрицу квадратичной формы

Глава 5				Линейные отображения	85
	4	2	2
L	2	1	1	.
	2	1	1
	2	1	1

Найдем угловые миноры:

				4	2						2	2
										4
										4
M	1	4, M	2			0	, M	3		2 1		1	0 .
	1		2	2	1			3		2	1	1
										2	1	1
Поскольку есть миноры, равные нулю,			форма не является положительно определенной. Рассмотрим все
главные миноры 1-го порядка		:							,
главные миноры 2-го порядка		\|		\|		\|			\|		\|		\|	,
главный минор 3-го порядка		\|			\|		.

Все они неотрицательны. Следовательно, форма является неотрицательной.

2 способ. Решим задачу на собственные числа и собственные векторы симметричной матрицы квадратичной формы.

			\|			\|	.
Собственные значения				являются неотрицательными, квадратичная форма неотрицательно
определена.	(	)	(	)	(	)	Матрица квадратичной формы представима в
диагональном виде.
Найти матрицу линейного оператора преобразования							~
Найти матрицу линейного оператора преобразования							y P x , если векторы х и у принадлежат одному
векторному пространству			x R n , y R n и разложены по одному базису.

1.	~	x x1 x2 ,	x2 x3 ,	x3 x1
	P
2.	~	x x2 x3 , 2x1 x3 , 3x1 x2 x3
	P
3.	~	x x2 x1 ,	x2 x1 ,	x1 1
	P
4.	~	x x1 x2 x3 , 0,		x2
	P
5.	~	x 2x2 5x1 , 10x1 3x2 , 12x1			2	3x3
	P				2x2

	1		1			0
P		0		1
P		0		1	1
		1		0
		1		0		1
		0			1	1
P			2		0	1
			3	1		1

Линейный оператор не существует

1		1	1
P	0	0	0
	0	1	0

Линейный оператор не существует

												0		1	1	1
	~		x2 x3 x4				x2	x4	3x1 x2 x3 x4		x1 x4		0	1	0	1
6.	P x		x2 x3 x4				x2	x4	3x1 x2 x3 x4		x1 x4	P	3	1	1
													3	1	1	1
													1	0	0	1

	Найти образ у вектора x 1,								0,	1 , если линейный оператор задан матрицей
7.	1		2 3									y 4,			8,	3
	P	2	1	6	.
		4	3
		4	3	1
								y 2,		1, 1 , если линейный оператор задан матрицей
	Найти прообраз х вектора							y 2,		1, 1 , если линейный оператор задан матрицей
	1			2	3							x 1,			0, 1
8.	P	2	1		1							x 1,			0, 1
	P	2	1		1
		2		3	1

9.					̃		̃	. Найти оператор ̃ линейного преобразования				̃		̃		̃ ̃
9.	Известно, что				→	,	→					→ .		̃		̃ ̃
	Известно, что				→	,	→					→ .
10.					̃		̃	. Найти оператор ̃ линейного преобразования				̃	̃	( ̃ ̃ )
10.	Известно, что				→	,	→	. Найти оператор ̃ линейного преобразования				→	̃	( ̃ ̃ )
	Найти базис ядра и размер дефекта оператора, представленного матрицей
11.	(				)							(1,0,2),(1,2,0); размер дефекта - 2.

Глава 5

1 1 2

12.2 1 5

3 3 6

9 8 7

13.6 5 4

3 2 1

			4			3	2
14.			1			0	1
			2			3	4

			1			1	2	1
15.			0			2	1	2
15.			1			1	3	1
			1			1	3	1
			0			0	0	4

		1			1	0	0
16.		1			1	0	0
16.		0			0	1	0
		0			0	1	0
		0			0	0	0

			0			1	0	1
17.			1			0	1	0
17.			1			0	1	0
			1			0	1	0
			1			0	0	1

				1		2	3	4
18.				5		6	7	8
18.				9	10		11	12
				9	10		11	12
				13	14		15	16

	Матрица						линейного оператора задана в старом базисе
	базисе ?

Линейные отображения

(-3,1,1); размер дефекта - 1

(1,-2,1); размер дефекта - 1

(-5,1,2,0); размер дефекта - 1

(0,0,0,1),(-1,1,0,0); размер дефекта - 2

(-1,1,1,1); размер дефекта - 1

(2,-3,0,1),(1,-2,1,0); размер дефекта - 2

. Какой вид имеет матрица оператора в новом

19.	(		).		Новый базис											.														(				)
20.	(			). Новый базис																.										(				)
21.	(		). Новый базис															.												(				)
21.	(		). Новый базис															.												(				)

22.	(			). Новый базис																.										(				)
	Матрица			линейного оператора задана в старом базисе. Какой вид имеет матрица оператора в новом базисе
23.	P 4		1		. Новый базис: a			0,				1 ,	a	2	1, 2 .																3		5
23.		3	1				1							2																		2
		3	1																												1	2
	1		2	1					1,				0 , a						2,	1, 2 , a				1,	2, 1 .		12			3		34
24.	P	4 1		0	. Новый базис: a				1,			1,	0 , a				2		2,	1, 2 , a			3	1,	2, 1 .				3	0		8
24.		2	1 0					1									2						3						3	5
		2	1 0																										3	5		12
	1		2 6							1,					1 ,				3,	1, 0 , a		2, 1,			2 .			4 5 14
25.	P	0	4	1		. Новый базис:		a		1,			0,		1 ,		a	2	3,	1, 0 , a	3	2, 1,			2 .			3		2		6
25.		1 2		5				1										2			3								4 2			12
		1 2		5																									4 2			12
26.	Линейный оператор задан в старом базисе матрицей Р, в новом базисе - матрицей																									Р*.	P T			P T 1 .
26.	Известна матрица T перехода от старого базиса к новому. Найти Р, зная Р*?																										P T			P T 1 .

										0		1			2
	Матрица линейного оператора							P			3	1			0		задана в новом базисе										11			5		10
											2	1		2													11			5		10
27.											2	1		2														11 6				7
27.	e1 1,				1 , e2 1,					0 ,		e3 1,							1, 1 . Какой вид имеет матрица									11 6				7
			0,				2,																						6	2		8
			0,				2,																						6	2		8

оператора в старом базисе?

28.Доказать, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

	~	~	b1 ,
29.	Линейный оператор P	преобразует линейно независимые векторы a1 , a2 в векторы b1 , b2 , т.е. P : a1	b1 ,

	Глава 5																																Линейные отображения																				87
	~				b			. Доказать, что матрица линейного оператора равна																								P	B A 1 ,					где столбцы матриц А и В состоят
	P : a			2	b			. Доказать, что матрица линейного оператора равна																								P	B A 1 ,					где столбцы матриц А и В состоят
				2		2
	из координат векторов a1 , a2														и b1 , b2					соответственно.
	Линейный						оператор						~	заданный						матрицей							P		p		p
	Линейный						оператор						P ,	заданный						матрицей							P			11	12	,
																													p21		p22													c a			2						a	c
													a a ,									b b ,					b в										p		p		1				1		2						1			1
																																					p		p		1			d b									b	d
30.	преобразует								векторы								a	2		и											векторы				P			11	12						1		2						1			1
30.															1			2	~						1	~		2									p21		p22	a	a			c		a							a	c
																																					p21		p22	a	a	2		c	2	a		2					a	c		2
																																								1		2			2			2					1			2
																																								b b			d			b							b	d
	c		c1 ,			c2			и		d	d1 ,		d2		, т.е.			P : a					c ,		P : b				d . Найти										1		2			2			2					1			2
			c1 ,			c2						d1 ,		d2			~																							1		2
	матрицу Р линейного оператора P .
	Решить уравнение линейного преобразования вектора х (матрично-векторное уравнение), где x R2 , т. е. найти
	матрицу линейного оператора из равенства:
31.				~																																										P									0
31.	x P x , где R и не равно 0.																																													P							0
																																																					0
32.						~								1 .																														P			1							1
32.	a, x a P x где a 1,													1 .																														P										1
																																															1							1
33.												~							1 , b 1,						1																											0				1
33.	a, x b b, x a P x , где a 0,																		1 , b 1,						1																					P										2
																																																				1				2
34.						~								3,			0 , b				1,			- 2 .													Линейный оператор не существует.
34.	b, x a P a, x b , где a													3,			0 , b				1,			- 2 .													Линейный оператор не существует.
	Решить					уравнение							линейного						преобразования										(матрично-векторное									уравнение)			в										1			2		3
35.										3				~																																P							2	4		6
	пространстве R .											x,a a P x , где a 1,												2,			3 .																										3	6		9
	пространстве R .											x,a a P x , где a 1,												2,			3 .																										3	6		9
												~													соответственно в векторы bi
	Линейный оператор P преобразует векторы ai																								соответственно в векторы bi												. Найти матрицу Р линейного
						~
	оператора P .
36.	a1 1,					2 , a2						2,	3 , и				b1 0,					1 , b2				1,			0																						2				1
36.	a1 1,					2 , a2						2,	3 , и				b1 0,					1 , b2				1,			0																					3				2
																																																		3				2
																																																	5						4
	a1 2,					3 , a2						4, 1 , и b1					1,					3 , b2 2,							5
																																																			14			7
37.																																																			14			7
37.																																																	9							1
																																																	9							1

																																																								7
																																																	7							7
38.	a1 1,					0,			1 , a2 1,					2,			0 , a3 1,									1, 1 и																					2 2 3
38.	b1 1,								0 , b2 0,							0 , b3 0,									1																								2				1			3
						0,								1,									0,																										1 0
						0,								1,									0,																										1 0					1
39.	a1 2,					3,			5 , a2 0,					1,		2 , a3 1,						0,			0 и																					2 11 6
39.	b1 1,					1, 1 , b2 1, 1,									1 , b3 2, 1,										2																						1					7				4
																																															2						1 0
																																															2						1 0
	Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе
	матрицами
																			1		4 . Собственные векторы													2
																			1		4 . Собственные векторы												c	.
40.	1		2																															3
40.																																		1
	3		2																2															1			c 0 .
																			2		1. Собственные векторы c														,		c 0 .
																																		1
																			1		6 . Собственные векторы													1
	3		1																1		6 . Собственные векторы												c	.
41.	3		1																															3
41.																																	1
	6		4																2		1 . Собственные векторы												1			c 0 .
																			2		1 . Собственные векторы												c	2	,	c 0 .
																																		2
																			1															1
	3		7																1		10 . Собственные векторы c .
42.	3		7																															1
42.																																		7
	5		5																2															7				c 0 .
																			2		2 . Собственные векторы c														5	,		c 0 .
																																			5
																			1															1
																			1		10 . Собственные векторы c														.
43.	6		2																															2
43.		4	8																														1
		4	8																2		4 . Собственные векторы												1			c		0 .
																			2		4 . Собственные векторы												c		,	c		0 .
																																	1

Глава 5

1 0 0

44.0 1 0

0 0 0

2 0 0

45.0 1 0

00 0

10 0

46.0 1 2

00 0

10 1

47.0 1 0

10 1

1 1 1

48.1 1 1

1 1 1

2 3 4

49.0 0 0

0 0 0

2 3 2

50.	1			0		1
	2			3		2
	2	1			2
51.	5		3		3
	1	0			2
	1	0			2
	0	1		0
52.	4	4		0
	2	1		2
	2	1		2

Линейные отображения

					0
		0 . Собственные векторы			c	0	.
1						1
1

							1				0			c 0 ,
	2,3		1	. Собственные векторы c				0	c			1	, где	c 0 ,	c 0
	2,3					1		0		2		0			1
								0				0

одновременно.

2 . Собственные векторы c 0 ;

1 0

1 . Собственные векторы c 1 ;

2 0

0 . Собственные векторы c 0 , где c 0 .

3 1

			1			0			c 0 ,
	1 . Собственные векторы	c		0	c		1	, где	c 0 ,	c 0
1,2		1		0		2	0			1
				0			0

одновременно;

0 . Собственные векторы c 2 , где c 0 .

3 1

2 . Собственные векторы c 0 ;

1 1

1 . Собственные векторы c 1 ;

2 0

3				1					c 0 .
3		0 . Собственные векторы		c	0		, где		c 0 .
					1
					1
				1
		3. Собственные векторы		c 1		;
1
				1
							1				1			c 0 ,
	2,3		0 . Собственные векторы		c			0	c			1	, где	c 0 ,
	2,3					1		1		2		0
								1				0

c2 0 одновременно.

2 . Собственные векторы c 0 .

1 0

и c2 0

c1 0 и

						2						3					где c 0 ,
	2,3	0		. Собственные векторы	c		0		c				2			,	где c 0 ,			c	0 и
	2,3				1		1				2		0							1
							1						0
c2 0 одновременно.
					1			где c 0
				0 . Собственные векторы	c 0		,	где c 0							.
1,2,3															.
					1
									1
				1. Собственные векторы				c 1					, где				c 0 .
1			2	3
1			2	3					1
									1
									1						0
				2 . Собственные векторы c						2		c				0		, где	c 0	и	c 0
1			2	3				1		0				2		1			1		2
										0						1

одновременно.

Глава 5

	1	4	8
53.	4	7	4
	8	4	1
	8	4	1

	4		5		2
54.		5		7	3
		6	9		4
		6	9		4
		1		3				3
55.		2		6			13
		1		4				8
		1		4				8
	1		0	0		0
		0	0	0		0
56.		0	0	0		0
		1	0	0		1
		1	0	0		1

	1		0
		0	0
57.		1	0
		0	1
		0	1

Линейные отображения

				1			1
		9 . Собственные векторы	c		2	c		0	, где	c 0	и	c 0
1	2		1		0		2	1		1		2
					0			1

одновременно.

9 . Собственные векторы c 1 , где c 0 .

3 2

				1
1 . Собственные векторы c 1 .
1
				1
						1
		0 . Собственные векторы			c		2		, где					c 0 .
2	3
							3
								3
		1. Собственные векторы						c		1			,	где c 0
1	2	3
								1
					0
		1. Собственные векторы				0		, где c 0
		1. Собственные векторы			c	0		, где c 0
1	2					0
1	2
					1
											0							0
		0 .	Собственные	векторы				c				1		c						0		,	c		0	и	c	0
3	4								1			0					2			1			1				2
												0								1
												0								0
												0								0
одновременно.
								1							0
		1.	Собственные	векторы			c		0	c				2		0			,		где			c 0		и	c	0
1	2						1		1					2		0									1		2
									1							0
									0							1
									0							1
одновременно.
									0									0
3	4	0 .							1			c						0							c3 0			0
3	4	0 .	Собственные	векторы			c3		1			c			4			0	,			где			c3 0	и	c4	0
									0									1
									0									0
									0									0

одновременно.

58.	Выяснить, можно ли матрицу оператора привести к диагональному виду?

			Нет, т.к. на собственных
59.	(	)	векторах нельзя построить
	(	)		базис.
				базис.
60.	(	)	Да, можно. (	)
	(	)

61.

Доказать, что определитель матрицы

P E (соответственно характеристический многочлен) не зависит от

выбора базиса.

62.Доказать, что собственные векторы линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

63.Доказать, что матрица оператора в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид, где по диагонали стоят собственные числа

64.Сформулировать определение ортогонального оператора.

65.Сформулировать условие ортогональности оператора.

66.Доказать, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов.

67.Доказать, что ортогональный оператор сохраняет углы между векторами

68.Доказать, что ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный базис

69.Доказать, что собственные векторы ортогонального оператора, принадлежащие различным собственным значениям, взаимно ортогональны

Глава 5

Линейные отображения

70.Доказать, что произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором

71.Доказать, что оператор, обратный ортогональному оператору, ортогонален.

72.Доказать, что транспонированный ортогональный оператор совпадает с обратным

73.	При каких условиях диагональная матрица является ортогональной?				Диагональные элементы равны

	Показать, что матрица оператора ортогональна. Привести ее к диагональному виду.
74.
	(			)	(	)

75.		(		)	(	)

76.	(			)	(	)
77.			(	)	(	)

78.Доказать, что собственные векторы симметричного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказать, что если в евклидовом пространстве R		n	задан симметричный оператор	~	R	n	существует
Доказать, что если в евклидовом пространстве R			задан симметричный оператор	P , то в	R		существует
79.				~
ортонормированный базис	e1 , e2 , ..., en , составленный из собственных векторов			P .

80.Доказать, что матрица P симметричного оператора обладает каноническим разложением, т.е.

, где - ортогональная матрица перехода

81.

Найти ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметричного оператора, заданного матрицей

82.	(				)										Собственные числа																																; например,
82.	(				)				(										)		(																				)			(															)
										√				√													√						√				√											√					√			√
										√				√													√						√				√											√					√			√
83.	(				)							Собственные числа																																;							например,
83.	(				)					(													)						(													)					(											)
											√																			√					√			√												√					√
											√					√ √														√					√			√												√					√
84.	(				)								Собственные числа																															;							например,
84.	(				)								(									)			(							)											(										)
															√					√
															√					√																								√ √
85.	(			)									Собственные числа																															;							например,
85.	(			)													(								)							(											)	(									)
																		√						√										√						√
																		√						√										√						√
86.	(				)								Собственные числа																															;							например,
86.	(				)					(										)					(														)						(													)
											√						√									√					√					√										√						√			√
											√						√									√					√					√										√						√			√
																											Собственные числа																														;
87.	(				)																																														например,
87.	(				)
										(										)					(														)						(													)
	1		0	0	0						√						√									√					√					√										√						√			√
											√						√									√					√					√										√						√			√

	0		1	0	0																							Собственные числа																													;
88.	0		1	0	0																																														например,
88.	0		0	1	0																																														например,
	0		0	1	0			(	)			(													)							(											)										(				)
	0		0	0	1			(	)			(													)							(											)										(				)
	0		0	0	1

				0	0	0	1
				0	0	0	1										Собственные числа																										√						√					√				√ ;
				0	0	1	0										Собственные числа																										√						√					√				√ ;
89.		2		0	0	1	0																																												например,
																																																			например,
				0 1 0 0				(	)			(													)							(												)									(				)
				0 1 0 0				(	)			(													)							(												)									(				)
				1	0	0	0

	Глава 5							Линейные отображения							91
90.	(	)					Собственные числа								; например,
			(			)	(			)	(			)	(			)
				√	√			√	√			√	√			√	√

91.Доказать, что все собственные значения невырожденного оператора отличны от нуля.

	Собственное значение оператора ̃	равно . Найти собственное значение обратного оператора	~	1
92.			P		⁄

93.Доказать, что оператор, обратный невырожденному симметричному оператору, является симметричным.

94.Доказать, что характеристический многочлен симметричного оператора имеет только действительные корни.

Симметричный оператор называется положительно определенным (положительным), если все его угловые

95.миноры положительны. Доказать, что симметричный оператор является положительно определенным в том и только в том случае, когда его собственные значения положительны.

96.Доказать, что положительно определенный оператор невырожден.

97.Доказать, что оператор, обратный положительно определенному, также положительно определен.

	Матрица					P линейного оператора задана в некотором базисе.							Перейти к новому базису, состоящему из
	собственных векторов матрицы? Найти этот базис и соответствующую ему матрицу.
98.			1			2							a1 1,		2 ,				.			5					0
98.	P					3							a2		1,	1			.
			4			3							a2		1,	1						0							1
99.			2			3							a1 1,		1 ,					.			5					0
99.	P					1							a2		3,	4				.				0			2
			4			1							a2		3,	4								0			2
				1 3 1									a1	1,	1, 1 ,												1							0 0
100.	P				3	5		1					a2	1,	1,			0 ,											0					2	0
													a3 1,		0,				3 ;										0					0 2
				3 3 1									a3 1,		0,				3 ;										0					0 2
			1 1				1 1						a1	1,	1, 0, 0 ,															2 0 0						0
101.			1 1				1 1						a2	1,	0, 1, 0 ,																		0 2 0			0
101.	P													1,	0, 0, 1 ,
			1			1 1 1							a3	1,	0, 0, 1 ,										1 ;								0 0 2			0
			1			1	1 1						a4	1,	1,		1,								1 ;								0 0 0			2
								11		2	8
									2	2	10														1) 900, 900, 900.
	Дана матрица P								2	2	10	.													1) 900, 900, 900.
									8	10	5																							9		0			0
	1) Найти углы между собственными векторами матрицы.																																	9		0			0
102.	1) Найти углы между собственными векторами матрицы.																								2)			P*							0	9			0	.
102.	2) Какой вид имеет матрица Р в новом базисе (обозначим ее через												P* ), построенном												2)			P*							0	9			0	.
													P* ), построенном																						0	0 18
	на собственных векторах матрицы?																																		0	0 18
	на собственных векторах матрицы?																								3) не изменится.
	3)		Как изменится матрица P* , если собственные векторы привести к единичному																						3) не изменится.
	3)
	виду? Обосновать.
								1		2				1) arccos													1										4			0
																																	. 2)		P*			0		.
																																	. 2)		P*					.
	Дана матрица P									.																														1
								3		2																	26
	1) Найти угол между собственными векторами матрицы.																2								3
103.	2)		Какой вид имеет матрица Р в новом базисе, построенном на											e1									,


																																					4			1
	собственных векторах матрицы?																13									13											4			1
	собственных векторах матрицы?												3)																					. P**					0
																					3						2												0	1
	3) Построить ортонормированный базис, используя собственные													e							3			,			2
	3) Построить ортонормированный базис, используя собственные													e										,
	векторы, и матрицу P* в этом базисе													2
	векторы, и матрицу P* в этом базисе																				13							13
	Выяснить, какие из следующих матриц можно привести к диагональному виду путем перехода к новому базису?
	Если это возможно, найти новый базис и соответствующую ему матрицу.
	6		5		3									Матрица не приводится к диагональному
104.		3	2		2									Матрица не приводится к диагональному
104.		3	2		2																																			виду
		2	2			0																																		виду
		2	2			0																	a1 2,										0, 1 ,
	1 1				8																		a1 2,										0, 1 ,			3 0 0
105.		0 2 0																					a	2			4,					0, 1 ,					0			3 0
105.																								2	3,										1 .
		1 0 1																					a3		3,						5,				1 .		0			0 2
	4		3			1	2
		5	8			5	4							Матрица не приводится к диагональному
106.		6	12			8	5																																	виду
		1	3			2	2
		1	3			2	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>