Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	Глава 2																					Системы линейных уравнений	34
	3x1 5x2								x3 4													r A r A \| B . Система не имеет
			7x2						x3					5 .								r A r A \| B . Система не имеет
63. 4x1			7x2						x3					5 .								решений.
	2x		x		2		3x					3	9									решений.
		1			2							3
	5x1		4x2						18x3								5x4				12	r A r A \| B 2 . Система
64.	x1	3x2					7x3						2x4						5			имеет бесконечное множество
64.	8x		9x						5x							x			1			имеет бесконечное множество
	1					2						3						4			3
	2x			5x						2	3x						x			4	3	решений.
			1							2							3			4
	3x x 2x 3x																				7	r A r A \| B . Система не имеет
65.	5x11 x32									2x43							6		4			r A r A \| B . Система не имеет
65.			2x							3x							4x				8
	x		2x					2		3x				3			4x			4	8	решений.
		1						2		3x				3		5x				4	1	решений.
	8x x							2		3x			3			5x			4		1
			1					2					3						4
	3x1 2x2								4x3							4x4				5		r A r A \| B 4 . Система имеет единственное
	x1		x2					3x3						3x4						0		r A r A \| B 4 . Система имеет единственное
66.	x	x		2	x					3	x				4		4					решение.
	1			2						3					4							решение.
	2x1			3x 2					5x3							x4				3

Базисные решения

67.Может ли система линейных уравнений не иметь базисных решений? Обосновать.

Как определить максимальное число

68.возможных базисных решений системы линейных уравнений?

Да, если:

1)система уравнений является однородной;

2)система уравнений, являясь неоднородной, несовместна.

Это число сочетаний из n неизвестных по r, где r – ранг матрицы коэффициентов при неизвестных, n – число неизвестных.

Найти все базисные решения системы уравнений

																					5			7									5		0,							7							3							7
																						,				,	0, 0			,				,											, 0		,				, 0,			0,			,
																						,				,	0, 0			,				,											, 0		,				, 0,			0,			,
	3x1 x2				x3			2x4					4								2 2												2									2							4							8
69.	x	x	2	x			2x			4		1		.									3					5								3					5
	1		2		3					4													3					5								3					5
																			0,						, 0,					,		0, 0,							,				.
																							2					4								2					4
																			7		,			5								0,			3									7							3			5
																					,					,	0, 0			,		0,					, 0,									,	0, 0,						,		,
	x	3x			x 2x 4														2					2											4									8								2 4
70.	x1	x	2	2 x		3 2x				4		4 1		.							3								5							5								7
	1		2		3					4											3								5							5								7
																						,		0,			0,			, 0,										,						, 0 .
																						,		0,			0,			, 0,										,						, 0 .
																					2								4							2								2
	x	x		x			x				2								1,		1, 2,						0 , 1,					0, 2, 1
	1		2			3			4		2x4 2 .								1,		1, 2,						0 , 1,					0, 2, 1
71.	2x1		2x2 x3								2x4 2 .
	x	x	2					x				4	2
	1		2									4
	3x1 x2 2x3 2x4 18														4,	4,			1,	0 , 4,							0, 1,				2
								2x4					0 .		4,	4,			1,	0 , 4,							0, 1,				2
72.	x1 x2							2x4					0 .
	x x		2	x		3	2x				4	1
	1		2			3					4
	2x x				x			x				5			4	,	17							4					17									9				0, 0,						17
		1		2			3			4						,			, 0,		0 ,						, 0,					, 0 ,								,		0, 0,								,
73.	x1	2x2			2x3					3x4 6 .					5		5							5					5									7										7
	3x1 x2				x3 2x4								1		0,	9,		0, 4 , 0, 0,									9, 4
															0,	9,		0, 4 , 0, 0,									9, 4

Найти какое-либо одно базисное решение системы линейных

x			2x		x		1
	1			3	4
74. x1		2x	4x3		x4		1.
x		2x	2	4x x		4	1
	1		2		3	4

уравнений:

Свободная переменная - x4 :

3, 4, 1, 0

Глава 2

					x				x							2x										4			0
						2									3											4
75.	x1					x2								2x3											1														.
	x x x																					2x 4
	1					2									3											4
	2x1				x2								x4								5
76.	x1					2x3 x4 3																																					.
76.							3x3										x4										7																.
	2x2						3x3										x4										7
	x 3x 5x																									3x 5
	1								2										3											4
	x1												x3								x4									5
	2x1				4x2										x3											2
77.	x		4x										x								2x											0 .
	1									2							3												4				2
	x												x												2x								2
			1														3												4
	2x1 x													2		x3									x4									1
	x1		x2											2x3							x4									0
78.	2x				x								x								2x											1 .
			1							2							3												4							1
	x					2x								2		x												2x								1
			1											2							3											4
	x	1	2x								2			x				3			2x									4			2x								5			2
		1									2							3												4											5
79.	x1														3x3										6x4							x5									4 .
					4x							2x								3		x							4		x							5		2
									2											3									4									5
	x	1										2x							3			x						4			x							5		2
		1																	3									4										5
80.	x1														4x3						x4									x5									1
	x			1		2x									2					4x						3	x							4			x						5	3
				1											2											3								4									5
						x		2				2x							3			x						4		- 2x									5		4x					6		4
								2											3									4											5							6
81. 2x1					x2											2x3								- 2x							4				x5								x6					3 .
	-2x x												2		4x									3		2x										4					x				6		2
					1								2											3												4									6
	2x1						x2									x3												x5															1
	2x1				2x2												x3										x4													1
82.	x														x		3 x												x															0
	x1		x				2				x					3	3 x								4											5				0
	1						2									3									4
	x1		2x2 5x3 4x4																																								2
	2x1				x2											x4									x5									4x6										2
83.	x		3x							2			3x							3		2x									4				3x							5				3 .
	1									2										3											4											5
	3x1				2x2												3x3									3x4																	1
	x1		x2								x3						x4																				2
	2x x									2						x						3			x					5				3
			1							2												3								5
84. 3x1				2x3											x4								x5														1
	2x1				2x2										2x3											2x4																		4
	4x				2x								2		2x								3			2x									5								6
			1										2										3												5

				Системы линейных уравнений														35
								Свободная переменная - x4 :
									4,				1,	1,		0
								Свободная переменная - x4 :
									5, 5,				1,	0
								Свободная переменная -										x 3 :
									2,				0,5, 0, 0
				Свободная переменная -												x 3 :
					1				1
						,				,	0,		0
						,				,	0,		0
					3				3
				Свободные переменные -												x4 ,	x5 :
				1, 0,			1, 0,						0
				Свободные переменные -												x4 ,	x5 :
							3
				5,		4,				,	0,		0
				5,		4,				,	0,		0
							2									x4 ,		x6 :
				Свободные переменные -												x4 ,	x5 ,	x6 :
				1							1
					,		3,					,	0,	0,	0
					,		3,					,	0,	0,	0
				2							2
				Свободные переменные -												x4 ,	x5 :
				1, 0, 1, 0,									0
				Свободные переменные - x5 ,													x6 :
				1,		1,				1,			1, 0,			0
Свободные переменные - x3 , x4 ,															x5 :
	1		7
		,		, 0,		0,	0
		,		, 0,		0,	0
	3		3

Фундаментальные решения

		Да, если определитель матрицы,
85.	Может ли однородная система линейных уравнений не иметь	составленной из коэффициентов перед
	фундаментальных решений? Обосновать.	неизвестными, отличен от нуля.
	Какому условию должна удовлетворять система линейных
86.	уравнений, чтобы сумма двух решений этой системы также	Быть однородной.
	являлась бы решением данной системы?
87.	Чему равен ранг набора фундаментальных решений,	Количеству фундаментальных решений
87.	входящих в фундаментальную систему решений? Обосновать.	в наборе.
	Как определить число фундаментальных решений в наборе,	Это величина равна n-r, где r – ранг
88.	представляющем общее решение однородной системы	матрицы коэффициентов при
	линейных уравнений?	неизвестных, n – число неизвестных
89.	Как определить максимальное число возможных наборов	Это число сочетаний из n неизвестных
89.	фундаментальных решений системы линейных уравнений?	по r, где r – ранг матрицы коэффици-

Глава 2	Системы линейных уравнений	36
	ентов при неизвестных, n – число
	неизвестных.
Можно ли для любой однородной системы линейных уравнений с рациональными
90. коэффициентами построить целочисленные фундаментальные решения (при условии, что ранг		Можно
матрицы коэффициентов меньше числа переменных)? Обосновать.

91.Показать, что любые два решения однородной системы линейных уравнений пропорциональны, если ранг системы на единицу меньше числа переменных (случай нулевого решения исключить).

	Решить системы линейных уравнений, выделив фундаментальные решения:
92.	Свободные переменные	( )	( )	( ), где

93.

94.{

95.{

96.{

	2x 6x						2		4x					3			3x								4		0
		1					2							3											4
97.	3x1		4x2						5x3											2x4							0 .
	11x			8x				2		17 x							3			2x							4			0
		1						2									3										4
	x								2x				3			x						4			0
	1												3									4
98.	x1			2x							4x3					x4									0 .
	x			2x				2		4x					3			x						4		0
		1						2							3									4
	3x 6x						2		4x				3			2x									4		0
		1					2						3												4
99.	2x1				4x2				5x3							3x4											0 .
	4x		8x				2		17 x						3				11x								4			0
		1					2								3												4
	6x 3x									2	4x						3			2x							4		0
				1						2							3										4
100.	4x1				2x2						5x3									3x4									0 .
	8x				4x					2	17 x									3	11x									4	0
			1							2										3										4
	3x 5x								2x 0
101.	4x1		7x2							5x3							0						.
101.	x	x				4x						0											.
		1					2						3
	1				2							3					0
	2x				9x		2					6x					0
		1					2						3
	x1	2x2					4x3							3x4											0
102.	3x1 5x2								6x3								4x4										0						.
102.			8x						24x 19x																							0	.
	3x		8x						24x 19x																							0
	4x 5x 2x 3x 0
		1					2									3												4
		1					2							3											4

Свободные переменные				(			)							( )						( ), где
Свободные переменные			(	)					(						)					(		) где
	Свободная переменная																(		)			(	) где
Свободные переменные x2 : (				)					(						)					(		) где
										x1									7
							x2 :															, где c R
Свободная переменная							x2 :			x2							c 1					, где c R
												x		3						5
														3						0
										x4										0
										x1									3
Свободная переменная							x4 :			x				2						3
Свободная переменная							x4 :					x		2			c			1	, где c R
												x		3						1
														3
										x4										1
							x1										2				0
Свободные переменные x ,
Свободные переменные x ,				x		: x2							c				1			c	1		,	с ,с		R
			1		4		x3									1		0			2	5		1	2
																		0
							x4											0					7
Свободные переменные x2 ,														x3 :
x1	0,5		0,2
x	1			0
x2	c1	0	c2 1				, где с1 ,с2 R
3		0		1,4
x4		0		1,4
		Фундаментальная система не существует.
		Есть только нулевое решение.
							Свободные переменные
							x3 ,						x4			:
							x1										8				7
							x				c1						6					5		,с2 R
								2			c1									c2			,с1	,с2 R
							x3									1						0
							x4										0				1

Какому условию должен удовлетворять ранг неоднородной 109. системы уравнений, чтобы система имела решение, но в нем

отсутствовала фундаментальная составляющая?

Глава 2

	2x1		x2 x3											x5					0
103.	2x1		2x2 x3 x4 0																							.
103.		x1					x3								x5								0			.
	x x			2	x				3	x			5		0
		1		2					3				5
		x1 x2									x						x5					0
	x		x								x					x						0
		1			2									4					5
104.				x2				x3									x5						0 .
				x2				x3			x4					x5						0
	x		x								x					x						0
		1			2									4					5
		x1	x2 2x3										x						x5								0
	2x												x					4	x					5			0
			1															4						5
105.			2x2 - 4x3											x4					x5								0 .
			x					2x						2x4													0
	x		x			2		2x				3	x				4			2x					5		0
		1				2						3					4								5
			x2 x3 x4													x					0
	x x			2							x				4	x				5		0
		1		2											4					5
106.								x3 x4								x5					0 .
	x1				2x3						x4					2x5								0
	2x				4x					3	2x					4		4x					5			0
		1								3						4							5
	x1		x2				x3				x4					x						0
	2x		x		2		x									x						0
		1			2					3									5
107.		3x1					2x3					x4					x5						0 .
	2x1		2x2					2x3								2x4						0
	4x		2x					2x								2x							0
		1				2						3								5

Системы линейных уравнений						37
	x1		2
				2
	x2			2
Свободная переменная	x 5 : x3		c	1	, где c R
	x4			9
	x4			9
	x	5		1
		5

															x1									1
																									1
															x2										1
Свободная переменная x												3	:			x		3			c				1	, где c R
												3						3							0
															x4
															x4
															x			5							0
																		5
																			x1									0
																											2
																			x2								2
Свободная переменная															x	3	:				x				c			1		, где
																3						3						0
																			x4
																			x4
																			x									0
																						5
	c R
											x1													1						0
											x2													2					1
Свободные переменные - x					, x				:				x				c						1 c							1	, где
Свободные переменные - x					, x				:				x				c						1 c							1	, где
				4			5							3						1				1				2		0
											x4													1						0
											x			5										0						1
														5
с1 ,с2 R
Свободные переменные - x3 ,																							x4 ,			x5 :
x1			2					1										1
x2			1							2										1
	x	c	3		c					0				c						0			, где с ,с								R
	x	c	3		c					0				c						0			, где с ,с							,c	R
	3	1	0			2				3							3			0							1		2 3
x4			0							3										0
x			0							0										3
	5

Что можно сказать о решении неоднородной	Система имеет бесконечное множество решений,
108. системы из 10 линейных уравнений с 5-ю	которые представляют собой набор из 2-х фун-
переменными, если r A r A\| B 3 ?	даментальных решений плюс базисное решение.

Ранг матрицы коэффициентов системы должен быть равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе.

Что можно сказать о решении неоднородной системы из m

110.уравнений с n переменными, если для ранга r выполнено условие r n m ?

Какому условию должна удовлетворять переменная в системе

111.уравнений, чтобы ее можно было причислить к базисным переменным?

Система имеет бесконечное множество решений.

Она не должна приводить к обнулению определителя, составленного из коэффициентов перед базисными переменными.

Общее решение Найти общее решение линейного уравнения, выделив в ответе фундаментальную

совокупность решений, если она есть, и базисное решение.

Возьмем x1 в качестве базисной переменной, x2 .-

		свободной.
112. x1 2x2	3 .	x1		2	3	, где c R
			c	1	0	, где c R
		x2		1	0

фундаментальное	базисное
решение	решение

Глава 2

113.2x1 3x2 x3 1 .

114.3x1 3x2 x3 2x4 x5 3

x1 2x2				x3	1	.
115.	x	x		2x	2
			2
	1			3

116. 2x1 3x2 x3 3 .

3x1 2x2 x3 1

	2x 3x			2			5x			3			7x			4	1
	1
117. 4x1		6x2			2x3						3x4					2 .
	2x	3x	2			11x				3			15x				4	1
	1
	3x 5x			2			2x			3			4x			4	2
	1
118. 7x1		4x2			x3			3x4							5 .
	5x	7x	2			4x			3			6x			4		3
	1
	3x 4x			2			x	3		2x				4		3
	1
119. 6x1		8x2		2x3							5x4					7 .
	9x	12x			2		3x				3		10x				4	13
	1
	3x 2x			2			5x			3			4x			4	2
	1
120. 6x1		4x2			4x3						3x4					3 .
	9x	6x	2			3x			3			2x			4		4
	1

Системы линейных уравнений

Базисной переменной возьмем x3 , свободными переменными будут

x1 , x2
x1			1			0		0
x		c		0	c		1		0	, где c , c		R
	2	1		2		2	3		1	1	2
x3				2			3		1

фундаментальные			базисное
решения			решение
Базисной переменной возьмем x 1 , свободными
переменными будут x2 ,													x3 ,	x4 ,			x5 .
x1				1				1				2				1		1
					1				0				0				0		0
x2					1				0				0				0		0
	x		c		0	c			3	c			0	c			0		0	, где
		3	1		0		2		0		3		3		4		0		0
x4					0				0				3				0		0
x		5			0				0				0				3		0
		5				фундаментальные							решения					базисное
						фундаментальные							решения					базисное

решение

c1 ,c2 ,c3 ,c4 R

Базисными переменными возьмем x1 , x3 , свободной

переменной будет				x2
x1			5		4
x		c	1			0	, где	c R .
	2
x3			3			3
		фундаментальное			базисное
		решение			решение

Базисными переменными возьмем x2 , x3 , свободной

переменной будет			x1
x1		1	0
x		c 5		4	, где	c R .
	2
x3		13		9
		фундаментльное	базисное
		решение	решение

Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2

x		1			0		0
1		1			0		0
x2			0			1		0
x3	c1		22	c2		33		11	, где c1 , c2 R

		16			24		8
x4		16			24		8
			фундаментальные				базисное
			решения				решение

Система не имеет решений

Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2

x		1			0		0
1		1			0		0
x2			0			1		0
x3	c1		3	c2		4		1	, где c1 , c2 R

		0			0		1
x4		0			0		1
		фундаментальные					базисное
		решения					решение

Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2 .

Глава 2

	6x 10x							2	4x			3		8x			4	1
		1
121. 7x1			4x2				x3					3x4					2 .
	5x		7x		2			4x		3		6x			4		3
	1
	3x 5x					2		2x			3			2x			4	4
		1
122. 2x1				7x2				3x3					x4				6 .
	9x			4x			2		x	3		7x				4	2
		1

9x 12x				2	3x		3	10x			4	13
	1
123. 3x1		4x2		x3		2x4					3		.
6x		8x	2	2x		3	5x		4	7
	1

	x1 8x2						7x3				12
	4x1		3x2				9x3					9
124.		2x	3x					5x				7 .
	2x 1 5x					2 8x				3		8
		1			2				3
		2x1 3x2						x3				2x4			x5		4
125.	x1		x2 2x3								x4 x5 1							.
		2x2 x3 x4										2x5			1
																	4
	x 2x			2				2x	3	2x			4	2x		5
		1

		x1 2x2 4x3 x5 1
	2x1 6x4 4x5					4	.
126.	x x 2x				1		.
		1	2	4	x 2x 5
		x	x	3x	x 2x 5
		1	2	3		4	5
		x1	x2	2x3		x5	2
127.	2x1			x4		x5 3		.
127.				- 2x4		1		.
				- 2x4		1
		x1 x2 2x3 x4 2x5 5
		x1 x2 2x3 x4 2x5 5

				Системы линейных уравнений							39
x		1			0			0
1		1			0			0
x2			0			1		0
x3	c1		15	c2		10		6	, где c1 , c2	R

		18			12		7
x4		18			12		7
			фундаментальные				базисное
			решения				решение

Система не имеет решений

Базисными переменными возьмем x1 , x2 , свободными переменными будут x3 , x4 .

x1		1		9			2
x2		5			1	1		10
	c1	11	c2		0			0	, где	c1 , c2 R
						11
x3

		0		11				0
x4
	фундаментальные						базисное
	решения						решение

Базисной переменной возьмем переменными будут x1 , x2 .

x		1			0		0
1		1			0		0
x2			0			1		0
x3	c1		3	c2		4		1

		0			0		1
x4		0			0		1
		фундаментальные					базисное
		решения					решение

x1		3
x			2
	2		1
x3			1

базисное

решение

x3 , свободными

, где c1 , c2 R

Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 , x 4 , свободной переменной будет x5 .

x1			2		0
x2			2		1

x3			1		1	, где c R .
x3		c	1		1	, где c R .
x4			1		0
x	5		3		0
	5	фундаментальное		базисное
		фундаментальное		базисное
		решение		решение

Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 , x 4 , свободной переменной будет x5 .

x1			11		25
x2			5		6
		c	5		9		c R .
x3		c	5		9	, где	c R .
x4			3		9
x4			3		9
x	5		1		0
	5	фундаментальное		базисное
		фундаментальное		базисное
		решение		решение

Система не имеет решений.

Глава 2																				Системы линейных уравнений					40
															Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 ,
															свободной переменной будет x4 .
																		1				31
		x1	x2		3x3			x4			3
															x							6

x		4x		2	5x		3	2x			4	2						2
	1			2			3				4				x	1						2
128.	2x1		9x2			8x3				3x4				7 .								2
128.	2x1		9x2			8x3				3x4				7 .
	3x		7x			7x				2x				12		2	c	0				3		, где c R .
		1			2				3				4		x3				1				7
5x1 7x2						9x3				2x4				20					1				7
5x1 7x2						9x3				2x4				20
															x4				2				6
																			2				6
																		1				0
																	фундаментальное				базисное
																	решение				решение

x1 2x2 3x3 2x4 x5 4

129.3x1 6x2 5x3 4x4 3x5 5 .x1 2x2 7x3 4x4 x5 112x1 4x2 2x3 3x4 3x5 6

3x1 2x2 2x3 x4 7

130.6x1 4x2 5x3 2x4 3x5 1.9x1 6x2 x3 3x4 2x5 23x1 2x2 4x3 x4 2x5 3

Базисными переменными возьмем x3 , x4 , x5 , свободными переменными будут x 1 , x 2

x1				1					0		0
x2					0				1			0
	x		c		1	c			2			4,5	,	где c , c		R .
	x		c		1	c			2			4,5	,	где c , c		R .
		3	1				2							1	2
x4					2				4		12,5
x		5			2				4		7,5
		5		фундаментальные							базисное
				фундаментальные							базисное
				решения							решение
Базисной переменной возьмем														x4 , свободными
переменными будут										x 1 , x 2
x1				1				0				0
					0				1			0
x2					0				1			0
	x		c		0	c			0			13		, где c , c			R .
		3	1				2							1		2
x4					3				2			19
x		5			0				0			34
		5		фундаментальные							базисное
				фундаментальные							базисное
				решения							решение

																		Базисными переменными возьмем x3 , x5 ,														свободными
																		переменными будут											x1 ,x2 .
	6x1 3x2 4x3										8x4 13x5 9							x1					1				0			0
131. 6x1				3x2		2x3					4x4			5x5 3 .																	0
131. 6x1				3x2		2x3					4x4			5x5 3 .				x2						0				1			0
		2x		x x 2x 3x 2														x3										4				R
		4x		2x			x				x		2x			1		x3			c1			8		c2		4			1 , где c1 , c2	R
			1		2			3			4			5				x						0				0			0
			1			2				3		4			5			x						0				0			0
			1			2				3		4			5					4								1			1
																				4				2				1			1
																		x5
																							фундаментальные							базисное
																							решения							решение
	Исследовать систему и найти ее решения в зависимости от :
	x		x		2											При 4			решений нет; при 4 - бесконечное множество
	x		x		2					.								x1					1			2
132.		1		2						.								x1					1			2
	2x1			2x2												решений						c					, где c R .
																		x2					1			0
																При 1			решений нет; при 1 - единственное решение
			x 2															1
	x															x
	x															x
133.	x1		2x2			1 .										1		1			.
		1			2												2
																x2		1
																		1
																При 1			решений нет; при 1 - бесконечное множество
	x x 2																	x				1			1
134.		1			2				.										1
134.				x				1	.										1
	x			x				1																		1 ,			где c R .
			1		2											решений						c				1 ,			где c R .
																		x2					1			0
135.	x1			x2												При 1- единственное решение x1											1, x2			0 ;
135.	x		x			1 .										При 1- единственное решение x1											1, x2			0 ;
		1			2

Глава 2

x			x		2	x	1
	1					3
136. x1		x2				x3	1 .
x		x		2	x		1
	1					3

Системы линейных уравнений																41
			x1					1				1		1 -
при 1- бесконечное множество решений							c					; при		1 -
			x2						1			0
x1		1				1				c R .
бесконечное множество решений	c						, где			c R .
x2		1				0
При 1, 2 - единственное решение
x1,2,3			1			;

		2
		2
при 1- бесконечное множество
			x1					1				1		1
решений			x			c			1		c		0		0	, где
				2			1		0			2	1		0
			x3						0				1		0
c1 , c2 R ;					при 2 решений нет.

																	При 0				нет решений, при 0 - бесконечное
	5x 3x 2x 4x 3																множество решений
	5x 3x 2x 4x 3
137.	4x1 1 2x2 2 3x3 3 7x4 4 1												.				x1				2,5	6,5					1,5
137.					6x2		x3 5x4						.
			8x1		6x2		x3 5x4					9					x2		c1		3,5	c2		9,5			3,5	, где c1 , c2	R
			7x1		3x2		7x3 17x4										x3				1			0			0
																					0			1			0
																	x4				0			1			0
	При каком условии линейная комбинация решений																			Сумма коэффициентов линейной
138.	неоднородной системы линейных уравнений снова будет																			Сумма коэффициентов линейной
138.	неоднородной системы линейных уравнений снова будет																			комбинации равна единице.
	решением этой системы?																			комбинации равна единице.
	решением этой системы?
139.	Какой вид имеет линейная функция, проходящая через																			y 2x 3
	точки с координатами 0,												3		и 1,		5 ?			y 2x 3
	точки с координатами 0,												3		и 1,		5 ?
140.	Какой вид имеет квадратный трехчлен f x , если																			f x x 2 5x 3
140.	f 1 1 ,						f 1 9 ,				f 2 3 .									f x x 2 5x 3
	f 1 1 ,						f 1 9 ,				f 2 3 .
	Какой вид имеет многочлен третьей степени
141.	y ax3					bx 2 cx d , если								y 1 0 , y 1 4 , y 2 3,						y 2x3		5x2 7
	y 3 16 ?
	Какой вид имеет дробно-рациональная функция y																	ax b		, если					x 2
																						y
142.																		cx d
142.																		cx d							2x 1
	y 3 1,						y 1 3,				y 0 2 , y 2 0 ?														2x 1
	Матричные уравнения
143.	Перечислить основные отличия в правилах преобразований матричной алгебры от
	правил обычных алгебраических преобразований.
144.	При каком условии обе части матричного равенства можно																				Если матрица состоит из одного
144.	разделить на матрицу?																				элемента и этот элемент ненулевой.
	Решить матричное уравнение:
145.	1			2				3 5														1 1
145.		3			X				.														2 3
		3		4				5 9															2 3
	1				2 3					1		3		0								6 4				5
146.		3			2		4 X			10		2		7	.								2	1		2
		2		1 0										8									3 3			3
		2		1 0						10 7				8									3 3			3
			5			3		1			8 3				0							1 2				3
147.	X			1		3		2				5	9		0	.							4	5		6
				5 2				1			2 15				0								7 8			9
				5 2				1			2 15				0								7 8			9

	Глава 2																													Системы линейных уравнений																	42
																																	2 3c
																															c								1
														2 4 .																	c
148.	X	3 6												2 4 .																	1						4				, c ,c			2	R
148.																																	9 3c2										1	2
		4 8												9 18																			9 3c2
																															c2
																															c2						4
																																					4
	Решить матричное уравнение
149.	AXB C , если																4 3			B			6 8						5 4		X	A		1					1			0,3				6,4
149.	AXB C , если															A			,	B					,		C		2 0	.	X	A				CB									8,0
																		1 1						2 1					2 0													0,5			8,0
150.	T			B						1		, если A						2	1				B		1 1						X						T	1					1 1
150.	A X			B								, если A							0		,		B					.			X	BA											0 1
																		1	0						1 2																		0 1
151.	A	1	X	1			B						1						1 1						2			1			X					1			2 1
151.	A		X				B								, если A						,		B			1		.			X	BA									1		2
																			0 1							1		3													1		2
152.			1		X			T			B , если							A	1		0			B		1 1					X	B			2		T			2			3
152.	AB				X						B , если							A				,		B				.			X	B
																			0		1					1 2														3			5
153.					T									T	1	, если A			1			0			B		0 1				X	A			2			1					1		1
153.	ABX							A								, если A				0		2		,	B			1 1	.		X	A					B								4
																				0		2						1 1															1		0
																																											1		0
154.		T		1		B			T			1		AB , если					A			1 1			,			2	0		X	B		T					T				14 25
154.	A X					B								AB , если					A						,	B			.		X	B				ABA
																						2 1						1	1														6 11
			T													1					1			1														1					2	3
155.			T		B				1							1	, если		A						,	B -невырожденная матрица.					X				T			1
155.	AX				B						BA						, если		A						,	B -невырожденная матрица.					X	A A											3 5
																						2 1				2 x2																	3 5
156.																			0 1						B		1 2				X	1						0
156.	AX XB A B , если A																							,	B				.		X							1
																			1 1								1 2					0						1
157.	X AX E A , если																	A	0			1									X	с1									с2
157.	X AX E A , если																	A				0									X												, где c1 ,c2 R
																			1			0										1 с1 1								с2

Предприятие использует три вида сырья, выпуская два вида продукции. В таблице приведены данные производства в условных единицах затрат на производство одного изделия. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

158.		Расход сырья по видам продукции		Запас сырья
	Вид сырья	Продукция 1	Продукция 2

	░1░	2	3	1200
	░2░	1	4	2400
	░3░	5	1	1000

продукция 1	1000
продукция 2		2000
продукция 2		2000

	Обувная фабрика выпускает 4 вида продукции: мужскую обувь,
	женскую обувь, детскую обувь и изделия по уходу за обувью. В
	таблице приведены данные производства в условных единицах затрат						мужская
	на производство одного изделия. Определить объем выпуска						обувь		100
	продукции каждого вида при заданных запасах сырья.						обувь		100
	продукции каждого вида при заданных запасах сырья.						женская
	Вид	Расход сырья по видам продукции				Запас	женская		100
159.	Вид	Расход сырья по видам продукции				Запас	обувь		100
159.	сырья	Мужская	Женская	Детская	Изделия по	сырья	детская
		Обувь	обувь	обувь	уходу		обувь	200
	░1░	20	10	10	0	5000	изделия

	░2░	30	40	20	1	12000	по уходу	1000
	░3░	20	60	10	1	11000
	░4░	10	50	5	0	7000

Глава 2

Системы линейных уравнений

Матрица конечного продукта

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между двумя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли,

160.если объем выпуска конечного продукта первой отрасли возрастет на

10%;

	Потребление		Конечный	Валовой
Отрасль	1	2	продукт	выпуск

░1░	5000	15000	80000	100000
░2░	10000	10000	180000	200000

80000180000

Матрица валового выпуска

100000200000

Матрица прямых затрат

0,05		0,075
	0,1	0,05

Необходимый объем валового выпуска каждой отрасли при увеличении валового выпуска первой отрасли на 10%

108492200894

В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между тремя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:

1)конечный продукт 1-й отрасли возрастет на 20%;

2)конечный продукт 2-й отрасли увеличится вдвое;

3)конечный продукт по каждой отрасли возрастет на 50%.

161.			Потребление			Конечный	Валовой
161.	Отрасль	1		2	3	продукт	выпуск
	Отрасль	1		2	3	продукт	выпуск

	░1░	20	70		10	1000	1100
	░2░	30	60		10	500	600
	░3░	20	40		90	1000	1150

Коэффициенты матрицы прямых затрат считать, беря 4 значащие цифры после запятой.

Матрица конечного

	1000
продукта	600	.

	1000

Матрица валового выпуска

1100
600	.

1150

Матрица прямых затрат

0,0182		0,1167	0,0087
	0,0273	0,1000	0,0087	.
	0,0182	0,0667	0,0783
	0,0182	0,0667	0,0783

	1304 ,5		1166 ,7
1)	606 ,3	. 2)	1158 ,0	.

	1154 ,6		1191,8

1650,1

3)900,1 .1725,1

В таблице приведены данные об исполнении баланса за определенный период между десятью отраслями промышленности в условных единицах. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:

1)конечный продукт всех отраслей должен увеличиться на 10%;

2)конечный продукт 1-й отрасли должен возрасти на 50%, а конечный продукт 10-й отрасли должен уменьшиться при этом на 25%;

3)конечный продукт 10 отрасли должен возрасти в 10 раз.

(Задачу следует решать на компьютере; В ответе оставить одну значащую цифру после запятой).

162.						Потребление							Конечный	Валовой
	Отрасль	1	2	3	4		5	6	7	8	9	10	продукт	выпуск

	░1░	2	2	2	0	7		0	1	1	0	5	80	100
	░2░	0	1	0	4	0		2	0	2	0	11	80	100
	░3░	2	0	6	0	4		3	9	3	13	0	160	200
	░4░	0	10	0	5	0		4	0	4	6	1	170	200
	░5░	10	2	5	0	3		0	10	10	0	10	250	300
	░6░	2	0	4	6	0		3	2	2	1	0	280	300
	░7░	1	4	0	1	1		0	1	0	1	1	90	100
	░8░	7	0	3	0	7		3	0	10	0	10	360	400

Глава 2											Системы линейных уравнений			44

	░9░	16	4	10	10	50	0	0	0	10	0	900	1000
	░10░	4	3	4	2	0	3	0	1	1	2	480	500

Каково соотношение между валовым выпуском отрасли и внутренним потреблением каждой отрасли?

110110220220

Ответы: 1) 330 2)

330

110

4401100550

139,497,6200,9

198,6

301,6 3)300,8

100,1400,2

1006,5

381,0

157 ,5

189,4

205,8

255,0

400,0

303,8

114,1

504,3

1033,04843,4

Глава 3

Векторная алгебра

Глава 3. Векторная алгебра

1. Г е о м е т р и ч е с к и е

в е к т о р ы . Вектором называется направленный отрезок, который может

перемещаться параллельно самому себе. Обозначение: a . Длиной или модулем

вектора называется

число, равное длине направленного отрезка. Два вектора a и b называются взаимно перпендикулярными

или ортогональными, если a,

b 0 .

Арифметические действия с векторами.

Произведение числа на вектор

a есть вектор b такой, что

; направление вектора

совпадает с направлением a , если 0 ,

и противоположно по направлению, если 0 .

Сумма двух векторов a и b есть вектор c a b , определяемый по правилу параллелограмма.

Разность двух векторов a и b есть вектор c a b .

Скалярное произведение двух векторов a и b есть число,

которое определяется по правилу

cos , где - угол между векторами.

2 . К о о р д и н а т ы

в е к т о р а .

Координатами вектора a

называются координаты его конечной

точки

y, z ,

если

начальная

точка

вектора

совпадает

началом

координат. Обозначение:

a x,

z .

Если

i, j, k -

векторы единичной

длины,

направленные

вдоль

осей координат (орты), то

a xi yj zk .

Арифметические действия с геометрическими векторами в координатах. 1) a x2 y2 z2 , в частном случае, при z=0 a x2 y2 .

cos

, cos

, ,

где , ,

- углы между

x2 y2 z 2

вектором

положительными

направлениями

осей

ОХ,

ОУ,

соответственно,

причем

cos 2 cos 2 cos 2 1.

z .

Пусть a x1 ,

y1 ,

z1 , b x2 ,

y2 ,

z2 . Тогда

4) a b x1 x2 ,

y1 y2 ,

z1 z2

5) a b x1 x2 ,

y1 y2 ,

z1 z2

6) a,

b x1 x2 y1 y2 z1 z2 .

cos

x1 x2 y1 y2

z1 z2

x2 y2

А л г е б р а

м н о ж е с т в . Пусть

заданы два произвольных

множества векторов.

Векторы

x1 , x2 ,

...,

составляют

множество

А,

векторы

y1 ,

y2 , ...,

множество В.

Все

векторы

отсчитываются от начала координат.

Сумма множеств по Минковскому A B есть совокупность векторов, каждый из которых составлен

из двух векторов: один взят из множества А, другой из множества В, т. е.

xi y j ,

где i 1,2,...,n,

j 1,2,...,m

A B

или

y j

1 i 1

Алгебраические операции над векторными множествами

A B = B A .

2) A B

A B , где R .

мм

3) Если нулевой вектор o A , то множество A B будет содержать множество В; если нулевой

вектор o B , то множество A B будет содержать множество А.

Глава 3					Векторная алгебра	46
4) Множество B A x0		есть параллельный перенос множества A x1 , x2 , ..., xn на вектор				x0 :
B x1 x0 , x2 x0 , ...,	xn x0	.
5) Сумма множеств по Минковскому A x0				и B y0	равна:
			A x0 B y0 A B x0 y0
			м		м
			м
4 . n - м е р н ы е	в е к т о р ы .		n-мерным	вектором называется упорядоченная совокупность n
действительных чисел.	Обозначение:		x x1 ,	x2 , ...,	xn . Арифметические действия с n-мерными

векторами вводятся аналогично арифметическим действиям с геометрическими векторами в координатах.

Линейным векторным пространством называется множество векторов, в котором определены операции умножения числа на вектор и сложения векторов вместе со своими свойствами.

Вектор a называется линейной комбинацией векторов a1 ,a2 ...am , если a 1a1 2a2 ... mam .

Векторы a1 ,a2 ...am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1 , 2 ,... m , не

все одновременно равные нулю,	что 1a1 2a2 ... mam 0 , в противном случае они называются
линейно независимыми.
5. П е р е х о д к н о в о м у	б а з и с у . Размерность векторного пространства – максимальное число

содержащихся в нем линейно независимых векторов. Совокупность любых n линейно независимых векторов называется базисом n – мерного векторного пространства.

Теорема. Каждый вектор линейного векторного пространства можно представить, причем

единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Переход от старого базиса

e ,

...

к новому базису

e ,

...

задается формулой

...

e ,

e ...

e ,

... e

a21

a22

a2n

... ...

...

an2

...

an1

ann

a	a	...
11	12
где матрица T a21	a22 ..
...	... ...
	an2 ...
an1	an2 ...

a1n a2n

...

ann

называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты вектора в старом базисе:

									x						x
									1									1
													T 1 x2						.
									x2				T 1 x2						.
									...						...
									x						x			n
									n									n
ПРИМЕР 1. Вычислить a,b a,								a b , если				a		1,		b	2, aˆb					.
ПРИМЕР 1. Вычислить a,b a,								a b , если				a		1,		b	2, aˆb					.
																							3
Решение. a,b a,	a b a,b a,						a b a,b a,a a,b a,b a,a a,b 2
															2						1							1	2
															2						1							1
		a	b	cos		a		a	cos 0	a	b		cos							1 2			1	1	1	1	2		2
		a	b	cos		a		a	cos 0	a	b		cos							1 2			1	1	1	1	2		2
					3										3						2							2
					3										3						2							2

			Глава 3																Векторная алгебра		47
	ПРИМЕР 2.									Вычислить координаты единичного вектора e x1 ,									x2 , перпендикулярного вектору
a 2,			1 .
	Решение.								Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю скалярного
произведения:								e,a 0 . В			координатах это равенство имеет вид							2x1 x2 0 .		Длина вектора	е равна

единице.					Следовательно,								x2	x2		1. Решая совместно оба		уравнения,		получим два	вектора
												1			2
		1				2						1			2
e				,						и e				,			.
e				,						и e				,			.
1		5								1		5			5
		5					5					5			5

ПРИМЕР 3. Найти угол между вектором a 1,

2, 2 и осью ОХ.

Решение. Ось ОХ зададим единичным вектором e 1,

0, 0 . Косинус угла между вектором а и

положительным

направлением

оси

ОХ,

задаваемым

вектором е, находится из равенства cos

a,e

. Поэтому

A B

a,e

1 1

arccos

3 1

a b

ПРИМЕР 4. Найти алгебраическую сумму по

Минковскому

бесконечного

множества

векторов

A a 4,

2 ,

1 и множества B b 1,

2 .

Решение. Запись A a 4,

2 ,

1 означает, что

концы

векторов

a1 ,

a2 , ..., an ,

... имеют

координаты

x, y :

4 x 2,

y 1.

Множество

сдвигается

на

-3

-1

вектор

b .

При

сложении

векторов,

концы

которых

находятся

на

линии

y 1 ,

с вектором

b ,

получаются

Рис. 3.1

y 3 .

векторы,

концы

которых

находятся

на

линии

Геометрически это означает, что отрезок MN параллельным переносом переходит в отрезок M N (рис.3.1).

ПРИМЕР 5. Найти алгебраическую сумму по

Минковскому

бесконечного

множества

векторов

A a 4,

2 ,

1 и бесконечного множества векторов

A B

B b x, y ,

y x, 0 x 1.

Решение. При

сложении

одного

из

векторов

b ,

оканчивающегося на отрезке ОР (рис. 3.2), с одним из

векторов

множества А

получается

вектор

a b

концом

точке

Складывая

векторы

концами

на

отрезке MN c векторами, концы которых расположены на

отрезке

ОР,

получим

множество

векторов,

оканчивающихся

на

фигуре

MM N N .

Значит,

фигура

-3

-1

MM N N вместе со

своими граничными

Рис. 3.2

A B

точками

есть

множество A B .

Замечание. Множество графически поставленных точек, из

которых состоит фигура MM N N , можно считать концами векторов,

начала которых находятся в начале координат.

ПРИМЕР 6. Найти алгебраическую сумму по Минковскому

бесконечного множества векторов

A a x, y , где x 2

y 2 1, и

-1

бесконечного множества векторов B

b x, y ,

где y 2x, 0 x 1

Решение. Первое множество векторов оканчивается в круге Рис. 3.3 радиусом 1 с центром в начале координат и показано прямоугольной штриховкой, второе множество векторов находится на отрезке ОР.

Глава 3

Векторная алгебра

Их сумма по Минковскому указана на рис. 3.3 множеством точек, которые можно представить как концы векторов.

ПРИМЕР 7. Являются ли векторы a1 1,

2, 1 ,

a2 2,

1 ,

a3 4, 1,

1 линейно

зависимыми? Если да, найти связь между векторами.

Решение. Составим матрицу из координат векторов, расположив их в виде строк, и найдем ее ранг

1		2	1	1		2	1	1		2	1
	2	3 1		~	0	7	3	~	0	7	3	.
	4	1	1		0	7	3		0	0	0

Из трех строк только две являются линейно независимыми. Третья есть линейная комбинация первых двух. Следовательно, векторы линейно зависимы. Найдем их линейную комбинацию. Рассмотрим

уравнение 1a1 2a2 3a3 о . Поскольку данные векторы линейно зависимы, среди чисел																									1 , 2 , 3
существуют отличные от нуля. Запишем уравнение в матричном виде
				1					2			4					0
					2				3					1				0	.
			1					2	1			3						0
					1				1					1				0

Решим систему по методу Гаусса, преобразуя матрицу их коэффициентов при неизвестных к
треугольному виду
1 2			4			1		2		4		1			2	4				1		0	2
	2	3	1		~		0	- 7 - 7			~		0		1	1		~			0	1	1	.
	1 1			1			0	3		3			0		0	0					0	0	0

1				2
Откуда следует		2	c	1	, где c R . Связь между векторами можно записать, положив, например,
		2
	3
	3			1

c 1 . Тогда 2a1 a2 a3 0 .
ПРИМЕР 8. Пусть в некотором старом базисе заданы векторы x 0,																																							3, 1 , a1 2,		1,	3 ,
a2 3, 4,	3 , a3 1,	2,			5 . Показать, что векторы																					a1 ,a2 ,a3									составляют новый базис. Разложить
вектор х по этому базису.
Решение. Векторы a1 ,a2 ,a3						могут составить базис в трехмерном векторном пространстве, если они
линейно независимы. Составив из координат этих векторов матрицу и найдя ее ранг, убедимся, что он
равен 3. Тогда векторы a1 ,a2 ,a3				линейно независимы. Пусть вектор х имеет координаты x1 ,																																					x2 ,		x3 в
новом базисе, составленном из векторов a1 ,a2 ,a3 . Тогда
											x x1a1 x2a2 x3a3 .
									0				2							3											1
В матричной форме									3		x				1		x				4			x							2	.
												1			3			2			3							3			5
									1						3						3										5
Найдем переменные по методу ГауссаЖордана, используя расширенную матрицу
						2 3						1		0							1 0 0										1
						2 3						1		0							1 0 0										1
							1		4		2				3		~ ... ~					0		1				0			1 .
							3 3					5		1
							3 3					5		1								0 0 1									1
Отсюда x 1,	1, 1 .																					0 0 1									1
Отсюда x 1,	1, 1 .
ПРИМЕР 9. Найти матрицу перехода от старого базиса векторов																																			e ,e		2	к новому базису e				,e .
																																			1		2				1	2
Решение. Векторы e1 ,e2			создают базис в двухмерном пространстве. Это означает, что любой третий
вектор, например e , или		e есть линейная комбинация векторов этого базиса, он может быть разложен по
	1	2
векторам базиса. Тогда
												e a							e		a		21		e		2		,
													1				11			1			21				2
												e				a			e		a			22		e		2	.
													2				12			1				22				2
В матричном виде		e			a a				e			или					e			,		e				=			e ,			e		a				a		.
В матричном виде		1				11		21	e	1		или					e			,		e				=			e ,			e				11		12		.
		e			a a			22	e	2								1					2							1			2	a		21		a	22
		2				12		22		2																										21			22

Глава 3			Векторная алгебра	49
Матрица	a	a	,
Матрица	T 11	12	,
	a21	a22

по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе, есть по определению матрица перехода от старого базиса к новому.

ПРИМЕР 10. Найти координаты вектора в новом базисе, зная его координаты в старом базисе.

Решение. Пусть вектор x имеет в старом базисе координаты x , x																																																	2		, в новом базисе -				x	,	x	. Тогда
																																															1		2						1		2
					x x e x e													2			x e											x e .
									1		1				2			2									1			1								2				2
Векторы e ,	e , свою очередь, могут быть разложены по векторам старого базиса:
1	2
													e		a								e				a						21			e		2		,
														1					11						1								21					2
													e		a									e				a						22			e		2		.
														2					12							1								22					2
Подставим эти разложения в формулу. Получим													a e a e																						x a e a																			.
		x e x				e	2		x				a e a e																		2				x a e a															22		e	2	.
		1	1		2		2				1				11		1									21					2										2			12			1			22			2
Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с сомножителями																																																							e1		и e2 .
Получим	x	a	x a					x e							x	2			a							21		x					a					22				x		e		2		о .
	1	11		1	12				2		1					2										21				1								22					2			2
Линейная комбинация из векторов старого базиса равна нулю только при
										x1																												0
										x1				a11x1											a12 x2													0
										x			2	a						x						a					22			x						0 .
													2				21					1									22					2
В развернутой матричной форме									x								a													a					x
В развернутой матричной форме											x	1									11									a		12										1	,
											x	2							a			21								a		22								x
												2										21										22										2
в сокращенной матричной форме									X T X .
Решим матричное уравнение, умножив его слева на T 1 .																																						Тогда
															X T 1 X
			x						1	x							1				a													a								x
или				1	T							1															22												12						1		.
или				1	T							1															22												12						1		.
				x							x	2					T							a					21						a									x	2
				2								2					T												21								11								2

Последнее соотношение позволяет вычислить координаты вектора х в новом базисе, зная его координаты в старом.

	ПРИМЕР 11.			Найти	связь						координат																	одного										и						того								же						вектора в двух базисах:
e 1,	2, 1 , e	2	2, 3, 3 , e 3,		7, 1					и e						3, 1,										4 , e								5,		2, 1 ,e											1, 1,									6 .
1		2		3									1																2																3
	Решение. Задача сводится к вычислению матрицы перехода от векторов старого базиса к векторам
нового:
					3																															1											2									3
				e			1			a e					a e							2			a e						a						2				a				21				3		a							7	,
				1			4				11		1				21					2					31		3						11		1								21				3					31				1
							4																														1												3									1
						5																															1												2									3
				e				2		a e					a			22			e		2			a		32	e	3		a						2					a							3		a							7	,
				2				1			12		1					22					2					32		3					12			1								22				3					32				1
								1																														1												3									1
						1																																1												2									3
				e				1			a e a									23				e		2	a		33		e	3			a					2			a					23			3	a					33			7	.
				3							13				1					23						2			33			3				13												23									33
								6																																1											3									1
	Получаем 3 системы уравнений с девятью переменными. Преобразуем по методу Гаусса
расширенную матрицу первой системы
							1 2 3							3				1														2 3			3					1 2 3													3
							1 2 3							3				1														2 3			3					1 2 3													3
									2 3 7					1			~				0					1 1								5			~					2 3 7										1
									1 3 1					4							0					1 2							1									0 0							1			4
									1 3 1					4							0					1 2							1									0 0							1			4

	Отсюда a31 4, a21 9, a11				27 .
	Для второй и третьей систем матрицы коэффициентов преобразуем аналогично:
						1 2 3							5					1								2 3									5				1 2 3													5
						1 2 3							5					1								2 3									5				1 2 3													5
								2 3 7					2			~			0								1 1						8				~				2 3 7													8		.
								1 3 1					1						0							1 2						4									0 0							1
								1 3 1					1						0							1 2						4									0 0							1				12
																																																				12
	Тогда a32 12, a22			20, a12 71.
					1 2 3									1					1								2 3								1						1 2 3													1
					1 2 3									1					1								2 3								1						1 2 3													1
							2 3 7					1					~					0				1 1										1		~						2 3 7											1 .
							1 3 1								6							0					1 2									7
							1 3 1								6							0					1 2									7								0 0 1									8
																																												0 0 1									8

Глава 3								Векторная алгебра						50
Следовательно, a33 8, a23 9, a13 41.
Матрица перехода, таким образом, имеет вид
a11		a12		a13		27	71	41
T a a				a		9	20	9 .
	21		22
	21		22		23	4	12	8
a31 a32				a33		4	12	8			и x			, то
Если вектор х имеет в старом и новом базисе координаты соответственно x , x									2	, x	и x	, x	, x	, то
								1	2	3	1	2	3

связь координат этого же вектора в двух базисах имеет вид:

x1
x1		27 71 41 x1						27x1			71x2 41x3
x	2	9 20	9	x					9x 20x			9x	.
	2	4 12	8		2					1	2	3
x		4 12	8	x					4x 12x			8x
	3				3					1	2	3
	3				3					1	2	3
ПРИМЕР 12. Переход к новому базису можно рассчитать быстрее, если воспользоваться
следующими рассуждениями. Запишем матрично-векторное уравнение
		e ,	e = e ,			e		a		a	,
		e ,	e = e ,			e	2	11		12	,
		1	2	1			2			a22
								a21		a22
в матричном виде			B A T ,

где матрица В составлена из координат векторов нового базиса, размещенных по столбцам матрицы,

матрица		А	составлена	из координат векторов		старого базиса, размещенных		также по столбцам,
T	a	a	– матрица перехода от старого базиса к новому. Умножим обе части уравнения сначала на
T	11	12
	a21	a22
B 1	слева, затем на T 1 справа.
	Получим				T 1 B 1 A.
	Как известно, координаты вектора в старом базисе X связаны с координатами этого вектора в новом
базисе X соотношением				X T X .
Отсюда				X T 1 X	или X B 1 A X .
	Особенно эффективно этот способ работает при переходе к ортонормированному базису в
евклидовом пространстве. Тогда матрица					В, а	следовательно	и матрица B 1	- единичные. Задача
нахождения			координат	вектора в новом	базисе	сводится к	матричному умножению матрицы А,

составленной из координат векторов старого базиса на матрицу координат вектора в старом базисе.

X B 1 A X E A X A X .

		В общем случае надо вычислить произведение матриц								B 1 A X . Это удобно сделать по методу Жор-
дана. Известно, что элементарными преобразованиями левую часть матрицы Жордана A \| E можно при-
вести к единичному виду,						тогда в правой части образуется обратная матрица, т.е											E \| A 1 . Аналогично,
матрицу B \| A элементарными преобразованиями можно привести к виду														E \| B 1 A , затем взять произве-
дение матриц B 1 A X и получить									X - координаты вектора в новом базисе через его координаты в старом.
		Продолжим решение предыдущей задачи этим методом и выразим X													через		X . Составим матрицу
1			3		3			1		3						3
		2					5					5	1	1	2
A	2	3	7	, матрицу B		1	2	1	и матрицу Жордана B \| A		1	2	1	2	3	7	. Путем элементарных
	1	3	1			4	1	6			4	1	6	1	3	1

преобразований приведем левую часть матрицы Жордана к единичному виду.

1		0	0		19	181 4
				13
	0	1	0	9 13 63 2			.
	0	0	1	7	10	99 4

В правой части образуется матрица B 1 A . Умножая ее на вектор – столбец x , получим2

x				181		x							181
	1	13 19						1	13x1		19x2					x3
	1	13 19			4			1	13x1		19x2			4		x3
	x				4									4
	x				63		x							63				.
	2		9 13					2		9x 13x						x
	2		9 13					2		9x 13x						x
					2						1	2		2			3
x				99		x							99
	3	7 10						3	7x1		10x2				x3
	3	7 10			4			3	7x1		10x2			4	x3
					4									4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>