Линейные многообразия

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

	Глава 4		Векторные пространства							71
1)	L : x1	0 ?	Например, 2) a ,				2 2			1
2)	L : x3	0 ?	Например, 2) a ,	a ,	a			1	0	0
2)	L : x3	0 ?	1	2		3
								0	1	0

	Линейные многообразия
59.	Сформулировать определение линейного многообразия.
60.	Доказать, что вектор сдвига x0 принадлежит линейному многообразию H y V x x0 .
61.	Доказать, что вектором сдвига может быть любой вектор линейного многообразия.
62.	Доказать, что линейное многообразие однозначно определяется по известным подпространству V x и
62.	вектору сдвига x0 .
	вектору сдвига x0 .	V x ),
	Доказать, что если вектор сдвига x принадлежит направляющему подпространству V x ( x	V x ),

63.то линейное многообразие H y V x x0 обратится в линейное подпространство, т.е. H y V x .

64.Сформулировать определение размерности линейного многообразия. Привести пример нульмерного линейного многообразия. 0 0

Линейное многообразие H x V x0 представить в виде системы линейных уравнений

65.	H x :	x a x0 , где			a 2, 1,	1, 2 ,	x0 2,		1,	0,	1 ,
65.	R .
	R .
66.	H x : x 1a1		2a2	x0 ,	где a1 1,	1, 2,	1 , a2	2,	1,	1,	0 ,
66.	x0 1, 2, 1, 0 ,			1 , 2 R .
	x0 1, 2, 1, 0 ,			1 , 2 R .
	H x :	x 1a1	2a2	3a3 x0 , где
67.	a1 1, 1, 1,		1 , a2	1,	0, 1, 0 , a3	1,	1, 1,	1 ,
	x0 0, 0, 1, 1 , 1 , 2 , 3 R .

		x		2		x		3			1,
												4,
Например, x1						2x2
		2x				2	x			4		3

x		x	2		x				0,
Например,	1						3					3
	x	2x			2	3x					4
	1
Например,						x2 x4 1

	Линейное многообразие H задано системой уравнений. Найти линейное подпространство V x															и
	вектор сдвига x0								такие, что				H V x x0 .
	x	2	x		3	1,							V x : x b , где R . Например, b 2,		1,	1,		2 ,

68.	H : x1		2x2				4,							x0 4, 0,	1,		3
	2x		2	x		4	3
													V x : 1b1 2b2 , где 1 , 2	R . Например, b1 2,				0
69.	x			x			x		0,			.			1,		1,
	H :		1			2		3			3		, b2 3,	3, 0, 1 , x0 3, 3, 0,				0
	x				2x			3x
			1				2			4

Определить размерность ( dim ) линейных многообразий и выяснить, какие из них пересекаются, скрещиваются или параллельны? В случае пересечения определить размерность H1 H2 .

	H1	2x1 x2 x3 2,										.
	H1	:		x x				3				.
70.				x x		2		3
70.				1		2
	H2	y	: y b y0 , где												b 2, 1,					1 ,	y0			1,				2,			0
71.	H1 x : x 1							a1	2			a2			x0 , где				a1 1,					1,		0 , a2						1,				- 2,	2 ,
71.	H2	y : y 1						b1	2			b2			y0 ,, где				b1 2,					3,			2 , b2						0,			1,	2 ,
	H2	y : y 1						b1	2			b2			y0 ,, где				b1 2,					3,			2 , b2						0,			1,	2 ,
72.	H1	2x1 x2 x3 x4 3														.	H 2 :	2x1 x2 5x3 6x4 1
72.	H1	:	4x		2x			2x			3x				2	.	H 2 :		2x		x			3x				4x					5
			4x		2x		2	2x		3	3x			4	2				2x		x		2	3x			3	4x			4		5
				1			2			3				4						1			2				3				4
	H1	2x 7x						3x			x			5,				x 5x						9x				8x					1,
73.	H1	:		1	3x		2	5x		3			4		3.		H 2 :			1		2				3				4					12.
				x	3x		2	5x		3	2x			4	3.					5x	18x				2		4x		3		5x			4	12.
				1			2			3				4						1					2				3					4
74.	H1 :3x1 x2 x3 2x4 3 .
74.	H2	x : x 1						a1	2			a2			x0 , где				a1 0,					1, 1,				0 ,					a2 1, 7, 0,
	H2	x : x 1						a1	2			a2			x0 , где				a1 0,					1, 1,				0 ,					a2 1, 7, 0,

		dimH1 1,
		dimH 2 1.
		Скрещиваются
x0 1,	2, 0 .	dimH1 2 ,
x0 1,	2, 0 .	dimH 2 2 .
x0 2,	0, 1 .	dimH 2 2 .
x0 2,	0, 1 .	Параллельны
		Параллельны
		dimH1 2 ,
		dimH 2 2 .
		Скрещиваются
		dimH1 2 ,
		dimH 2 2 .
		Совпадают.
		dim H1 H2 2
5 ,		dimH1 3 ,
5 ,		dimH 2 2 .

Глава 4

Векторные пространства

x0 0,

0, 0

Пересекаются.

dim H1 H2

Найти сумму линейных многообразий

и H 2 ,

записав ее векторном виде, а также линейными

уравнениями.

Например, в векторном виде

H1 x : x a x0 ,

где a 1,

1 ,

x0 1,

0, 1 , R ;

H1 H 2 : a b1 z0 ,

где ,

R ,

75.

H2 y : y 1

y0 , где b1

0, 1, 1 ,

b2 1,

2 ,

z0 2, 2,

2 ;

y0 1, 2, 1 ,

1 , 2 R .

в виде линейного уравнения

H1 x :

H1 H 2 : 2x1 x2 x3 4 .

x 1a1

2a2

x0 , где

a1 1, 0,

1, 1 ,

Например, в векторном виде

a2 1, 1, 1,

0 ,

a3 1, 2, 2,

0 ,

H1 H 2

: a1 a2

z0 , где ,

R ,

76.

x0 0,

0 ;

z0 1,

2, 1,

0 ;

(

)

x2 x3 x4

H 2

в виде линейного уравнения H1 H 2 : x2

x3 x4

3 .

Например, в векторном виде

H1 H 2

: a a2

b1 z0 , где ,

R ,

x1 x4

a1 1, 0,

0, 3 ,

a2 0, 1, 1,

2 ,

;

77.

b 4,

1, 3,

4 ,

0, 2, 1 ;

в виде линейного уравнения H1 H 2 :

3x1 7x2 5x3 x4

12 .

Найти

пересечение

H1 H2

линейных многообразий.

Указать

размерность

пересечения

дать

геометрическую интерпретацию.

x1 x2

78.

H1 :

1 ;

R .

dim H

H 2

: x2 x3 2 .

Две плоскости пересекаются по прямой, не проходящей через начало координат.

x2 x3 1,

x1 x2 2x3

Вектор x

4 .

;

H 2 :

dim H1 H 2

79.

x2 x3

2x2 0

Две прямые пересекаются в точке.

2 ;

H 2 :

H1 H2 не существует. Две

80.

прямые скрещиваются.

H1 x : x 1 a1

2 a2 x0 ,

, R .

где a1 1,

0 ,

a2 0,

1 ,

x0 1,

0, 0 , 1 , 2 R ;

81.

dim H1 H2

y : y 1 b1

2 b2 y0 ,

Две плоскости пересекаются по

где b1 0,

1 ,

1, 0,

0 ,

0, 2,

0 ,

1 ,

2 R .

прямой, не проходящей через

начало координат.

Вектор (0, 0, -2,-3). dim H1 H2

82.

;

H 2

x4 1

Две двухмерные плоскости

пересекаются в точке.

2x2

3x3

H 2 :

3x1

2x2 4x3 2x4 5

x 1,

1, 1, 0 . dim H1 H2

83.

;

Две двухмерные плоскости

пересекаются в точке.

2x2

3x3 x4

H 2 :

3x1 2x2 4x3 2x4 5

x 1, 1,

1, 0 .

dim H1 H 2

84.

;

Две двухмерные плоскости

пересекаются в точке.

(

)

, где

(

)

(

)

dim H1 H 2 2

85.

Две

двухмерные

плоскости

(

)

совпадают

	Глава 4										Векторные пространства			73
	(	)			, где	(	)	(			)
		(		)
	(	)			, где	(	)	(	)		H1 H2		не существует
		(		)							H1 H2		не существует
86.		(		)							Две двухмерные плоскости
86.	(	)			, где	(	)	(		)	Две двухмерные плоскости
	(	)			, где	(	)	(		)			параллельны
		(	)										параллельны
		(	)
	(	)					(	)			( )	( ) ( )
	(	)				, где	(	)
87.		(	)	(	)	(	)
87.	(	)				, где	(	)				dim H1 H2		2
	(	)				, где	(	)			Две гиперплоскости
		(	)	(	)	(	)				Две гиперплоскости
											пересекаются по двухмерной
											плоскости
											( )	( )	( )	.

88.

	(	)						, где		(	)
89.		(		)	(	)		(	)
89.	(	)						, где		(	)
	(	)						, где		(	)
		(		)	(		)	(		)
	Найти пересечение L H подпространства L и линейного
	многообразия H .
90.	L : x1		2x2	2x3	x4	0, ;		H : 2x1	x3	x4	15,
	L : x1		2x2	2x3	x4	0, ;		H : 2x1	x3	x4	15,
	x2		3x3	4x4	0			3x1	x2	6x3 2x4		15.

dim H1 H2 2

Две гиперплоскости пересекаются по двухмерной плоскости

dim H1 H 2 0

мерная плоскость		параллельна
	гиперплоскости
x	1	8
1
x x2	1	3
			, R .
x3	1	1

	1	0
x4

dim L H 1.

Какую размерность может иметь пересечение

91.двух гиперплоскостей в четырехмерном пространстве?

Какую размерность может иметь пересечение

92.гиперплоскости и двухмерной плоскости в четырехмерном пространстве?

Гиперплоскости могут совпадать (		),
пересекаться по двухмерной плоскости (		),
быть параллельными (	).
Двухмерная плоскость может быть включена в
гиперплоскость (	),
двухмерная плоскость и гиперплоскость могут
пересекаться по прямой (	),
скрещиваться	).

Какую размерность может иметь пересечение

93.двух двухмерных плоскостей в четырехмерном пространстве?

Какую размерность может иметь пересечение

94.двух трехмерных плоскостей в пятимерном пространстве?

Двухмерные плоскости могут совпадать (		),
пересекаться по прямой (	),
пересекаться в точке (	),
скрещиваться или быть параллельными (		).
Трехмерные плоскости могут совпадать (		),
пересекаться по плоскости (		)
пересекаться по прямой (	),
скрещиваться или быть параллельными (		).

Дополненный базис L :

Заданы линейное подпространство L и линейное многообразие H

L : x1 x2 x3 0 ,

95.H : 2x1 x3 2.

Найти базис L и базис H , дополнить базис L до базиса всего векторного пространства и найти матрицу перехода T от базиса L к базису H .

A a , a , e			1		1		0
A a , a , e				1	0 0			,
1	2
			0		1		1
							B b ,			1		0	0
дополненный базис					H	:	B b ,		b , e		0	1	0	.
					H			1	2		2	0	1
											2	0	1
T A 1B		0	1	0
T A 1B		1	1 0
		3	1	1
		3	1	1

	Глава 4																										Векторные пространства																						74
																															: a ,														6			0	0
	В дополненном											до	базиса				всего		векторного						прост-		Дополненный базис			L	: a ,			a		2	,		e						3			1	0
	В дополненном											до	базиса				всего		векторного						прост-					L		1				2									2			0	1
	ранства базисе подпространства L																		записать линейное																										2			0	1
	ранства базисе подпространства L																		записать линейное								.
	многообразие							H в векторной форме, а также в виде																			.
96.	многообразие							H в векторной форме, а также в виде																			H в векторной форме: x					a						x0 , где
96.	линейных уравнений																										H в векторной форме: x					a						x0 , где
	L : 2x2			3x3 0,							; H : x1					x2		5x3	4,								a 1, 2, 1 , x0		1,			1,				2					или
		x 2x				0								x		x		2.																				2x1 x2 1,
	1				2										2		3										H в виде системы уравнений:											2x1 x2 1,
																											H в виде системы уравнений:													x			x				1
																																								x			x			3	1
	При переходе от старого базиса e1 1,																					0 , e2			0,		0 , e3 0, 0, 1														1					3
	При переходе от старого базиса e1 1,																			0,		0 , e2			0,	1,	0 , e3 0, 0, 1
																									2x1 3x2 5x3 1,																		Например,
	к новому a1 ,							a2 ,				a3	линейное многообразие											H	2x1 3x2 5x3 1,																		1				1		2
	к новому a1 ,							a2 ,				a3	линейное многообразие											H	:	2x2 1																	1				1		2
97.																									3x1	2x2 1				a ,		a ,				a								0		1		3
													x1 0,																		1		2					3
	будет иметь вид											H	x1 0,				. Найти новый базис.																										0 0						1
	будет иметь вид											H	:		1		. Найти новый базис.
													x2		1
	При переходе от старого базиса a1 2,																				2, 1 , a2 1,					1, 1 , a3 3,		2, 1	к		b , b													2 12					0
98.	новому			b ,		b , b						уравнение линейного многообразия															H :				b , b				2	,		b			2 8								2
98.	новому			b ,		b , b						уравнение линейного многообразия															H :					1			2				3
				1			2			3
				1			2			3																																		1			7		1
	2x1 5x2				3x3					6			принимает вид						H : x1 3 . Найти новый базис.																									1			7		1
	2x1 5x2				3x3					6			принимает вид						H : x1 3 . Найти новый базис.
99.	Существует ли базис, в котором линейное многообразие H : x1 x2																											x3 1 может быть																				Нет.
99.	записано в виде H : x1 0 ?																																															Нет.
	записано в виде H : x1 0 ?
	При переходе от старого базиса к новому уравнения линейного многообразия																															H :											Например,
100.	x	x		2x				1,											x		x			1,	. Найти матрицу перехода.																		1			1		5
	1		2				3					принимают вид H :								2			3		. Найти матрицу перехода.																			0 1					3
	x1	2x2				2													x1			1																						0 1					3
																																												0			0		1
	При переходе от старого базиса a1 ,																		a2 , a3			к новому																							0			1	0
101.	e 1,			0,	0 ,			e		0, 1,				0 , e				0,	0, 1			уравнение линейного много-									a ,				a ,					a 1								2	3
	1								2								3															1				2						3
	образия			H : x1 2x2									3x3			1	принимает вид H : x2 1. Найти старый базис.																												0			0	1

Метрические пространства

102.

Что называется метрикой векторного пространства? нормой?

Какие из равенств задают метрику в векторном пространстве W n ? Обосновать.

103.

x y,

(пространство изолированных точек).

Да.

x y

104.

x y

Да.

105.

2 x y

Нет.

106.

2x 2 y

Да.

107.

x y

Нет.

Какие из равенств задают длину вектора (норму) в n-мерном векторном пространстве?

Обосновать.

108.

Да.

k 1

109.

...

xn 1

Нет.

110.

xk2

Нет.

k 1

111.

xi2

Да.

i 1

112.

max

Да.

1 i n

113.

Да.

i 1

Глава 4

Векторные пространства

Да при условии, что

114.

2xi

метрика есть

i 1

2x, 2 y .

Метрика линейного векторного пространства

R2 задается формулой для

y . На координатной

плоскости изобразить множество точек, для которых x,

y 1 , если в метрическом пространстве

принята

евклидова норма;

октаэдрическая норма; кубическая норма.

Ограничиться рассмотрением случая y o .

115.

x y

116.

2x 2 y

117.

На рисунках 1-3 изображена геометрическая фигура в метрическом пространстве с евклидовой нормой,

причем

1 . Изобразить фигуру в метрическом пространстве 1)

с октаэдрической нормой;

2) с кубической нормой.

118.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Как

изменится

расстояние

на

Вдоль осей координат не изменится. Вдоль любого другого луча,

выходящего из начала координат, изменится, причем максимальное

координатной

плоскости

при

изменение происходит вдоль биссектрис каждой четверти: при

119. переходе от евклидовой нормы к

1) октаэдрической норме;

переходе

октаэдрической норме

уменьшится в

2 раз, при

2) кубической норме?

переходе к кубической норме увеличится в

2 раз.

На координатной плоскости изобразить множество точек, для которых

x, y 1 ,

если

метрическом пространстве норма имеет вид

1) x, y

4 x1 y1 2 9 x2 y2 2

;

120.

2) x, y

3 x

y 3 x

3 ;

3) x,

y 2

x2 y2

;

4) x,

y max 2

x2 y2

. Ограничиться рассмотрением случая

y o .

121.

Доказать, что для двух векторов a

и b с метрикой a,

a b

аксиома

ρ a,

b ρ a,

c ρ c,

имеет вид

x y

где a c x и c b y .

Расстояние

между

векторами

случае

евклидовой

нормы

равно

евкл ,

122.

октаэдрической

нормы -

окт

кубической

нормы -

куб

. Сравнить

их

по

куб евкл окт

величине.

123.

Доказать,

что расстоянием между вектором

a и подпространством V в евклидовом пространстве

является ортогональная составляющая a вектора a на подпространство V.

124.

Доказать,

что расстоянием между вектором a

и линейным многообразием

H V x0 в евклидовом

пространстве является ортогональная составляющая a x0

вектора

a x0

на подпространство V.

Доказать, что расстоянием между двумя линейными многообразиями

H1 V1 x0 и H2

125.евклидовом пространстве является ортогональная составляющая x0 y0 вектора x0 y0 на сумму подпространств V1 V2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>