Глава 4

Векторные пространства

67

x,

b3

cos

6

3

.

x

b3

10

12

10

Тогда

cos2 1 cos2 cos2

1

9

3

1

или

cos

1

.

20

10

4

2

Из бесконечного множества решений берем наименьший положительный угол 600 . Это и есть

угол между вектором x

и линейным подпространством V .

2-й способ. Любой вектор x

пространства W можно представить, причем единственным образом в

виде суммы векторов из V и V :

x y z ,

(1)

где вектор

y V есть ортогональная проекция вектора

x

на линейное подпространство

V ,

а вектор

z V

есть ортогональная составляющая.

Опираясь

на

векторы

a

1

и

a

2

, построим

ортонормированный

базис подпространства V .

a

2

1

1

2

e

0,

,

,

.

Используя

процесс

ортогонализации,

получим

2-й

вектор

1

a2

6

6

6

1

1

1

1

e2

,

,

,

.

Разложим

ортогональную

проекцию

y

по

ортонормированному

базису

2

2

2

2

x,

e

3

,

x,

e

1.

1

2

2

1

6

Поэтому y e

3

e

1

1,

1

e

e

, 1,

.

Косинус

угла между вектором x и его

1 1

2

2

6 1

2

2

2

ортогональной проекцией y будет равен

x, y

5

2

1

cos

.

x

y

2

5 2

10

Найти размерность и базис линейных подпространств, содержащих следующие системы векторов

3.

e1 1, 0, 0, 1 , e2 2, 1, 1, 0 , e3 1, 1, 1,1 ,

3. Например e1 ,e2 ,e4

e4 1, 2, 3, 4 , e5 0, 1, 2, 3

4.

a 1,

1,

1,

1 , b 1,

0,

0,

1 , c 0,

1,

1,

2 , d 1,

1,

1, 1

3. Например a, c, d

5.

a 1, 1, 1,

1 ,

b 1, 0, 0, 1 ,

c 0, 1,

1, 2 , d 2, 1, 1,

0 ,

2. Например a, b

6.

a 0,

2,

2,

3 , b (0, 1,

1, 2), c ( 1, 0, 0, 1),

d 1,

1,

1, 1 .

3. Например a,c,d

7.

e1 1,

1,

1,

1,

0 , e2

1,

1,

1,

1,

1 ,

e3

2,

2,

0,

0,

1 ,

3. Например

e4 1, 1,

5, 5,

2 , e5 1,

1,

1,

0,

0

e

,e

,e

1

2

5

Линейное пространство задано в виде оболочки, содержащей векторы

8.

a1 1,

0,

1, 1 , a2 1, 1,

1, 1 , a3 2, 1,

2, 0 .

Да.

Принадлежит ли вектор x 1,

2,

1,

1

данному пространству? Обосновать.

9.

Является ли множество решений уравнения

x1 x2 x3 0

линейной

оболочкой векторов

Да

a1 1, 1,

0 , a2 1,

0,

1 ?

Глава 4

Векторные пространства

68

Является ли линейным подпространством соответствующего пространства каждая их следующих

совокупностей векторов:

10.

Все

n-мерные векторы, у каждого из которых первая и последняя координаты равны между

Да

собой.

11.

Все n-мерные векторы, у каждого из которых координаты с четными номерами равны нулю.

Да

12.

Все n-мерные векторы, у каждого из которых первая координата равна единице.

Нет

13.

Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат ОХ и ОУ?

Нет

Все

векторы

плоскости,

концы которых лежат на данной

прямой

Да, если прямая проходит

14.

через начало координат, нет

(начало любого вектора совпадает с началом координат)?

в противном случае.

15.

Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой?

Да

16.

Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой четверти?

Нет

17.

Все векторы n-мерного векторного пространства, координаты которых – целые числа?

Нет

18.

Все векторы из Rn , координаты которых удовлетворяют уравнению x

x

... x

0 ?

Да

1

2

n

19.

Все векторы из Rn , координаты которых удовлетворяют уравнению x

x

... x

1?

Нет

1

2

n

Написать в векторном виде и линейными уравнениями k -мерное подпространство, проходящее через

точки А, В, …., где размерность k

указана в условии задачи.

x a, где a 1,

2 ;

A 1, 1,

2 .

L x :

1,

20.

k 1,

x1 x2

0,

например,

2x x

0

3

1

A 2, 1, -1 ,

B 3,

2, 1 .

L x :

x a b, где

a 2,

1,

1 ,

21.

k 2,

b

3, 2,

1 ;

например,

x

5x

2

7x

3

0.

1

x a b, где a 1, 0, 1, 0 , b 0,

1,

0,

1 ;

22.

k 2, A 1, 0, 1, 0 , B 0, 1, 0, 1 .

L x :

x x

3

0,

например,

1

x2 x4

0

L x :

x a b с,

k 3,

где

a

1,

0,

1, 0 ,

b

0,

1,

0,

1 ;

23.

A 1,

1,

0, 0 ,

B 1,

0,

1, 0 , C 0, 0, 0,

2

с

0,

0,

0,

2 ;

x1 x2

x3 0

например,

Найти базис подпространства, заданного уравнениями или системами уравнений

24.

(

)

(

)

25.

{

Например,

(

)

26.

x1 x2

x3

0 .

Например, a1 1,

1, 0 ,

a2 1,

0,

1 .

27.

{

Например,

(

)

28.

{

Например,

(

)

(

)

x x

2

x

3

x

4

0,

1

Например, a1 1,

0 , a2

0, 1,

0, 1

29.

2x1

x2

2x3

x4

0,

0,

1,

4x

x

2

4x

3

x

4

0.

1

30.

x2 x4 x5

0,

a1

1,

1 0 0 1 , a2 0 1 0 1 0 ,

x x

2

x

3

x

4

0 .

Например, a

3

1,

0 1

0

0

1

Найти

размерность

и

какой-нибудь

базис

Размерность равна

n 1. Базис образуют, например,

a1 1, 0, 0,

..., 0, 1 ,

31.

подпространства,

заданного

уравнением

векторы

a2 0, 1, 0, ...,

0,

1 , ...,

x1 x2

x3

... xn

0 .

an 1 0, 0, 0, ..., 1,

1

Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, содержащее следующие

векторы:

32.

(

)

Например,

Глава 4

Векторные пространства

69

33.

a1

1,

2, 3 ,

Например,

x1 x2

x3

0

a2

2,

1,

1

34.

(

)

Например,

{

35.

(

)

(

)

Например, {

a

1,

1,

2,

2 ,

Векторы a2 ,

a3

взяты, как фундаментальные решения некоторой

36.

a12

2,

2, 1,

0 ,

.

x1

x2

x4

0,

a3

0,

4, 3,

4

системы. Тогда система имеет вид: 2x 4x

3x

4

0

1

3