Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

	Глава 7			Классические методы оптимизации		126

	(	)
107	{				(	)


	(	)
108	{				(	)


		(	)		(	)
109	{				(	)
109	{

Найти условные экстремумы функции u u x , u c. extr ,

x R3 при заданном уравнении

связи:

uc. m in x1,

x2 , x3

u ai xi2

, xi

1, ai 0 .

, где xi 3

i 1,2,3.

110

i 1

uc. m in x1,

x2 ,

, где xi

, i 1,2,3.

111

u xi2 ,

1, ai 0

i 1

i 1 ai

i 1

u xi ,

112

1, 1

uc. min

i 1

1, ai 0, bi 0, xi 0

113

i 1

uc. m in x1,

x2 ,

aibi

где xi

i 1,2,3.

i 1

aibi

i 1

x ,

aiai

i 1

, xi

, x

, где

i 1,2,3.

c. m ax

114

u xi

1, ai 0, xi 0,i 1,2,3.

i 1

uc. m in x1, x2 ,

ai2 ,

где xi

, i 1,2,3 ;

i 1

ai2

115

u ai xi

, xi2

i 1

uc. m ax x1,

x2 ,

ai2

, где xi

, i 1,2,3 .

i 1

ai2

i 1

Глобальный экстремум

116 Сформулировать определение глобального экстремума функции двух переменных

117Почему при исследовании функции на глобальный экстремум достаточные условия можно не использовать?

118 Может ли глобальный экстремум функции быть меньше (больше) локального?

		Глава 7																										Классические методы оптимизации											127
119	Если функция имеет условный экстремум, существует ли у нее локальный или глобальный экстремум?
120	Если функция имеет глобальный экстремум, существует ли у нее локальный экстремум?
	Найти глобальные экстремумы функции																										f	:
121	f			1 x 2y, f													gl.extr						.					f gl .max 0, 3 7,					f gl .min 0,						0 1
121			0,0 y 3 x																				.					f gl .max 0, 3 7,					f gl .min 0,						0 1
	x		0,0 y 3 x
	f			2x 3y 4,													f	gl.extr						.				f gl .max 2,	3 17,			f gl .min 2,						3 9
122		x		2, y								3												.				f gl .max 2,	3 17,			f gl .min 2,						3 9
		x		2, y								3

	f			5x 6 y 1,													f	gl.extr						.				f gl .max 1,	2 18, f gl .min 1,									3 22
123		x		1, x-1 y x 2																				.				f gl .max 1,	2 18, f gl .min 1,									3 22
		x		1, x-1 y x 2

	f			3sin3x 2cos 2 y,																		f	gl.extr
	f			3sin3x 2cos 2 y,																		f	gl.extr									f gl. m ax					,	0 5,
															0 y																				6
124	0 x ,														0 y
											2								2													f gl. m in					,		5
											2								2													f gl. m in					,	2	5
																																			2			2
	f			x2						x y, f							gl. extr																			3					15
125	f			x2						x y, f							gl. extr						.									f gl. m ax				2	,	0			4	,
125				3 2x,												y	3 2x						.													2					4
	y			3 2x,												y	3 2x															f gl. m in 0, 3 3
				x				2																						f gl .max 2,				2 2,
														gl. extr
126	f										,		f	gl. extr						.
126						y														.										f gl .min 0,				2 y 4 0
	0 x						2,							2 y 4																f gl .min 0,				2 y 4 0
																													f gl .max							3
127	f			xy ,								f		gl.extr					.										f gl .max			5 ,				3				15 ,
127				2	5y							2	30						.										f		5 ,			3 15
	3x				5y								30																f	gl .min	5 ,			3 15
																														gl .min
																																2		1					2
																																	,								,
	f			x2 y,																									f gl. m ax			3	,								,
128	f			x2 y,									f		gl. extr					.												3			3			3		3
128			2	y					2											.
	x			y									1																			2			1						2
																																	,
																													f gl. m in			3	,			3					3	3
																																3				3					3	3
							2							2
				x					2 y							f gl. extr .												f gl .max 1,		0 1,		f gl .min 0,					1 1
129	f		2	x					2 y						,	f gl. extr .												f gl .max 1,		0 1,		f gl .min 0,					1 1
	x			y							1
130	f			x2 y 2											2x 4 y,						f	gl. extr				.					f gl . max 5,				8 131,
130			1 y x 3, x 5																							.					f gl . min 1,						2 5
	x		1 y x 3, x 5																												f gl . min 1,						2 5
				x			3			y				3	x y,				f		gl.extr .							f gl .max 2,		4 78,			f gl .min 1,					2 12
131
131	f
	x				1	y						x				2, 1		x			2									f gl .max								2 12,
132	f			x2 y 2											4xy ,			f	gl. extr						.					f gl .max				2 ,				2 12,
132			2	y					2				4,			y 1									.					f gl .min							2 4
	x			y									4,			y 1														f gl .min				2 ,			2 4
						y 1							,		f	gl. extr
	f					x			1				,		f	gl. extr																	f gl .min 2,						0			1
133						x			1				, 0 x 2								.												f gl .min 2,						0			1
	0 y										1		, 0 x 2																													3
											x
134	f			3x3							2 y 2 , f						gl. extr						.					f gl .max 2,	0 24, f gl .min 2,									0 24
134			2	y					2				4										.					f gl .max 2,	0 24, f gl .min 2,									0 24
	x			y									4

	Глава 7																																							Классические методы оптимизации																													128
	f		y3					2 y 2							5y x 1,											f	gl. extr						.																											2				2				67
135		2	4, x							3		y					3	8															.																							f gl .max				3	,			3				27			,
135	x		4, x									y						8																																										3				3				27
																																																								f gl .min				2,	2			11
	f		x			2		x				2	,				f	gl. extr																														f gl.max 0,										3 3,
					1							2														.																																			f gl.min 0,							0 0
136	x	2						x	2					1												.																																			f gl.min 0,							0 0
	1		2					2			3			1
			2								3
	f		x			3		x				3	3x x							2	,			f	gl. extr																												f gl .max 2,					1 13,
					1						2							1		2										.																							f gl .min 0,					1 f gl .min 1,									1 1
137	0 x								2,				1 x							2	2									.																							f gl .min 0,					1 f gl .min 1,									1 1
					1															2
	f		x			2		x				2	x x						2	x				x		2	,	f gl.extr						.																f gl .max 3,								0 f gl .max 0,							3 6,
138	x				1							2					1		2				1			2								.																					1,		1 1
138	x		0,					x	2		0, x								x			2		3																										f		gl .min			1,		1 1
	1								2									1				2																														gl .min						f gl .max 0,										5 5,
139	f		x2					y 2					z 2						2xy ,						f	gl. extr					.																											f gl .max 0,				0,						5 5,
139			2	2 y					2		z				2																.																											f gl .min 1,									0 0
	3x			2 y							z								5																																							f gl .min 1,						1,			0 0
	Найти и вычислить глобальные экстремумы функции f																																								с точностью до 2-го знака после запятой.
140	f		x2					y 2					ln x ln y,													f	gl.extr					.																										f gl .max 2,						4 22,08,
140		x						2, 1 y																								.																										f gl .min 1,				1 2
	1	x						2, 1 y											4																																							f gl .min 1,				1 2
141	f		x2					y 2					xy 8ln x 4ln y,																f gl.extr							.																						f gl .max 3,						4 22,67,
141		x 3, x y 4																																		.																						f gl .min 2,					2 3,68
	2	x 3, x y 4																																																								f gl .min 2,					2 3,68
	Студент расходует часть своего дохода																														в сумме 1000 ден. ед. на потребление хлебобулочных и
	мясных						изделий											в		количестве								x1		и		x2		вес. ед.,				стоимость							которых						10			и		100		ден. ед.												97 ,
	Количество											калорий,											которые					он		при			этом			получает (функция												полезности),								имеет			вид:						x1					97 ,
142	U x 1 14 x														34 .																																																								4
142	U x 1 14 x														34 .					Какое количество этих продуктов он должен покупать,																																	чтобы обеспечить												x						303
					1										2																																																		x	2					40
																																																																		2
	себя максимальным количеством калорий? Найти уравнение кривой безразличия (линию

	уровня), соответствующей оптимальному выбору продуктов. Построить график этой кривой и
	бюджетного ограничения. Указать на графике точку максимума.
	Производственная функция фирмы имеет вид:																																		f x ,x			2	p		0	x 14 x 14					.	Рыночная цена
																																				1		2			0		1		2
	продукции фирмы равна																							p0		64 ,			рыночные цены первого и второго ресурсов равны
	p1 2, p2									8 .							Определить (используя необходимое и достаточное условия) комбинацию
	x0 ,x0				ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль:
	1			2
143	PR x , x							p x							14 x				14		p x p x .									Найти эту наибольшую прибыль																		PR x		0		, x0		, а также									PRmax 32,								8
143			1			2							0		1			2						1	1		2	2																					1				2										128
																							x0 14 x0 14													C x0	, x0 p x0 p																										128
	выручку							R(x0						, x0 ) p									x0 14 x0 14						и издержки							C x0	, x0 p x0 p									2	x	0 фирмы.						Построить на
												1					2				0			1			2			x0						1			2		1		1			2	2
	плоскости 0x x															2		найденную точку												x0	,x		0 , а также эскиз линии уровня (изокванты)
													1			2														1			2
	x 14 x			14		0 , где													0 x0						14 x0			14	,	и линии уровня								(изокосты)							2x 8x						2		C 0 , где
	1			2																				1			2																				1				2
	C 0 2x						0 8x							0		, а также градиент.
						1								2
	Найти решение задачи на максимум выпуска фирмы: U a																																							0	x		23 x		14		max																					2 3			14
144																																								0		1			2															Umax				a0 40					15
																												p1 x1 p2 x2						5 . Дать эскизом графическую																														a0 40					15
	при ограничении по затратам:																											p1 x1 p2 x2						5 . Дать эскизом графическую																														111112 p					2	3 p 14
	иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.																																																																			1			2
	иллюстрацию. Достаточные условия можно не использовать.
	Функция полезности индивидуума имеет вид: U																																			x ,x	2	10 x x						35		, где x			1			и
																																				1	2						1	2					1
145	x2	- количества продовольственных и непродовольственных товаров. Их																																																					Umax			75							3
145	x2																																																						Umax			2	, 45 375 45 5 3680,9
	цены равны											p1 10, p2												5 . Доход индивидуума равен 600. Какой набор																																		2
	цены равны											p1 10, p2												5 . Доход индивидуума равен 600. Какой набор
	благ выберет потребитель? Дать эскизно графическую иллюстрацию.

Глава 7

Классические методы оптимизации

129

146

147

148

Достаточные условия можно не использовать.

Решить задачу потребительского выбора
U x ,x	2	x 2 14 x	3 34 max при ценах благ	p 5,	p	2	2	и	37			63	17	14 51		34
1	2	1	2	1		2			Umax		,						7,7
доходе I 50 . Дать эскизно графическую иллюстрацию. Достаточные									Umax		,						7,7
										10		4	10		4
условия можно не использовать.

Найти решение задачи на максимум выпуска фирмы:

U ax 1 x 2								max при ограничении по затратам:																	V 1 2						1				2
		1			2																				V 1 2					1	1			2	2
p x	p				x			V , x	0, x		0 . Дать эскизно графическую													U m ax a						1				2
p x	p		2		x		2	V , x	0, x	2	0 . Дать эскизно графическую													U m ax a		1	2
1 1			2				2	1		2															1	1	2
														1					1						1	2		p1					p2
иллюстрацию при p 4, p											5, a 4,			1	,				1		,V 20.
								1	2			1	3			2		4
													3					4
Достаточные условия можно не использовать.

Точка		x0 ,x0 3;4 есть									локальное рыночное							равновесие				индивидуума, имеющего доход							p		400 ,
			1					2																					p		400 ,
			1					2
I 100 . Функция полезности индивидуума U x ,x																					5x 13 x 14									1
I 100 . Функция полезности индивидуума U x ,x																				2	5x 13 x 14		. Чему равны рыночные цены							1			21
																	1			2	1	2										75
p	и	p				?		Дать эскизно			графическую				иллюстрацию. Достаточные условия можно не														p2			75
p	и	p		2		?		Дать эскизно			графическую				иллюстрацию. Достаточные условия можно не														p2
1				2																													7
использовать.																																	7
использовать.

	Найти решение задачи на минимум издержек производства C p1 x1 p2 x2 min
												1						x	0, x		0 . Дать эскизно
149	при заданном объеме выпуска у0:								y			1		x x			, где													Cmin 6 y0
	при заданном объеме выпуска у0:								y					x x			, где																		p1 p2
										0	3		1			2		1		2															p1 p2
										0			1			2		1		2
	графическую иллюстрацию при p1 1, p2												3, y0				2 .	Достаточные условия можно
	не использовать.

	Найти решение задачи на минимум издержек производства:																																	1
																																		1
	C p1 x1			p2 x2		min при заданном объеме выпуска у0:																					y	0	p	1	p	2	2	1 2
																						C						0	1			2
																						C	min		1	2
																							min		1	2	a		1		2
150	y		ax 1 x 2		, x	0, x		0 . Дать эскизно графическую																			a		1		2
150	y		ax 1 x 2		, x	0, x		0 . Дать эскизно графическую
		0	1	2	1		2
		0	1	2	1		2															63		9 12,48
	иллюстрацию при p1 3, p2 2, y0								2,		a 1, 1				0,5, 2				0,25.			63		9 12,48
	иллюстрацию при p1 3, p2 2, y0								2,		a 1, 1				0,5, 2				0,25.
	Достаточные условия можно не использовать.

		Экстремум в системах функций

151		Написать функцию Лагранжа для нахождения экстремума в системах функций

152		Привести необходимые условия экстремума в системах функций с двумя переменными

153		Привести достаточные условия экстремума в системах функций с двумя переменными с использованием
153		окаймленного гессиана.
		окаймленного гессиана.

154 Сформулировать задачу на условный экстремум с двумя переменными с обратной связью

Найти экстремум в системах функций

155	{	(	)	(	)


156	{			Нет экстремума
				Нет экстремума

157	{	(	)	(	)


158	{	(	)	(	)


159	{			(		)
159	{			(		)


160	{			Нет экстремума
				Нет экстремума

	Глава 7				Классические методы оптимизации										130


				√	√		√					√						√
161	{		(	√	√	)	√	(		√		√		)				√
161	{		(			)		(						)


162	{										(					)
162	{										(					)


163	{												(				)




164	Используя только необходимые условия, найти стационарную точку в																			,
																				,
	задаче	{								(		)			(				)
	задаче	{							где
									где


165

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1818

Глобальный экстремум

Экстремум в системах функций

Найти экстремум в системах функций