Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

4)умножаем 3-ю строку на 2 и складываем с 1-й, результат размещаем на месте 1-й строки;

5)складываем 2-ю строку с 1-й и размещаем на месте 1-й строки;

6)умножаем 3-ю строку на -1, 2-ю строку на -0,5.

Таким образом, слева удалось получить единичную матрицу, но тогда справа образовалась обратная.

1						0	1						0	1						0	1						4
1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	0	5	6	4
	0	2	3	0	1	0	~	0	- 2	- 3	0	1	0	~	0	2	3	0	1	0	~	0	2	0	6	8	6	~
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2

1		0	0	1	2	2

~	0	1	0	3	4	3	.
	0	0	1	2	3	2

															1	T	T				1		E .
ПРИМЕР 6. Решить матричное уравнение A X																			A X				E .

Решение. Воспользуемся свойствами транспонированной и обратной матриц:
	X	1	T	T			T	X		1		A	1	E или					X	1	T	X		1	A	1		E .
	X					A		X				A		E или					X		A	X			A			E .

Вынесем матрицу X 1 за скобки и умножим уравнение слева на матрицу X
					X 1			AT A 1							E ,			AT A 1 X .
Таким образом, решением матричного уравнения является матрица X AT A 1 .
									1			2			1
ПРИМЕР 7. Найти ранг матрицы A									2			1			3		.
									2			1			1
									2			1			1
Решение. Используя элементарные преобразования, приведем матрицу к треугольному виду
					1			2 1							1 2				-1		1 2				-1
	A					2		1			3			~		0 5			1		~	0 5			1		.
					2			1			3											0 0 0
					2			1			3					0 - 5 -1						0 0 0

В полученной матрице имеется минор 2-го порядка, отличный от нуля. Он находится в левом
верхнем углу матрицы и равен M						2	5 . Следовательно,												RangA 2 .
верхнем углу матрицы и равен M			1			2	5 . Следовательно,												RangA 2 .
			0			5

Матрицы

	Вычислить произведение матриц:
1.		3 2 3						4									5	2
1.								5		.								0
		5 4 2						5									7	0
	1 - 3 2 2 5 6														1 5 3
2.		3 - 41 1 2 5						.									3 10	1
																	2 9	4
		2 - 5 3 13 2															2 9	4
	4 7 3					2 2					2				6		16 22
3.		5		1 1		2 3						2	.		8 6			12
		6		1 5			0			1	0				10 4			14
		6		1 5			0			1	0				10 4			14
	2 4 6 0								0 1						6 4			2
4.		8 10 8				0		1 0				.				8 10		8
		6 4 2									0					2 4		6
		6 4 2			1 0						0					2 4		6

	5 1					4
5.				2			5			.									2
5.				2	3		5			.									2
							6
							6
	1					6 .								4			5	6
6.		2	4 5			6 .								8 10 12
		3															15	18
		3												12			15	18

	1 2						3 9									8			7										30 24													18
7.		4 5					6			6						5					4		.								84 69											54
7.		4 5					6			6						5					4		.								84 69											54
		7	8				9				3						2		1										138								114					90
	2 1						3 4 7 8 6 9																							10 17 19 23
8.		3			2		4					3				5 7 4 5							.							17 23 27 35
8.		5 3 2 1														3 4 5 6							.									16 12 9 20
		5 3 2 1														3 4 5 6																16 12 9 20
		3 3					1			2						2 1 1 2																	7 1 3 10
		3 3					1			2						2 1 1 2																	7 1 3 10
	1 0																																1 0 1 0
9.				1 0 1 0
9.		0 1					1			0						.																		0 1 0 1
				0			1			0						1
	0 0																																0				0			0		0
	0 0																																0				0			0		0
	1 2																												1								1 1						1
		1 1										1 1						1												2							2				2 2
10.		1 1					1					1 1						1												2							2				2 2
10.		2 1							1 1							1 1				.										3							3				3 3
		2 1							1 1							1 1														3							3				3 3
		1			2																										1					1 1
		1			2																										1					1 1						1
																		1					2
	1				1					1					1			1					1														1					4
11.	1				1					1														.													1					4
11.		1 1							1						1			2					1	.														1				4
		1 1							1						1			2					1															1				4
																		1
																		1				2
	1			1																	1																					0
	1			1																	0																					0
12.		2		2			1 0									0 0					0		.																				0
12.		2		2																			.																				0
									0		1					0		1			0
	3			3					0		1					0		1			0																					0
	3			3																	1																					0
																					1
										1					0								1
																							1
13.	3 0 1 1									1 1 1 2											3			2	.																	-26
13.										0					2	0		1				1																				-26

																								3
										3					0									3
										3					0
	1 1 1														1										1																	0
14.		0			0					0					1					0					1	.																	0
14.		0			0					0					1		2			0			2		1	.																	0
		1 1								1					1										1																		0

15.	Какие из следующих операций можно провести с матрицами A и																										B ?													4, 6, 9.
15.																										2 x2	2 x3													4, 6, 9.
																										2 x2	2 x3
	1) A B , 2) AT B , 3) A BT , 4) A B , 5) B A, 6) AT B , 7) A BT , 8) AT BT , 9) BT AT
																										Вычислить An , где n задано конкретными условиями задачи.
16.	A		2 3										n 2 .																A		2					8						12
16.	A				4		6			,			n 2 .																A													24
					4		6																													16						24
17.	A		1 2										n 3 .																A		3					13					14
17.	A				3				,				n 3 .																A												22
					3			4																												21					22
18.	A		1				1					n			3 .																			A			3				0		0
18.	A								,			n			3 .																			A							0		0
				1			1																																		0		0

			1					1 1																													7				0 0
19.	A				3		1						2		,		n 3 .												A3									0			7		0
					2		1 0																															0			0 7
					2		1 0																															0			0 7
			1 1 1 1																																			1 2 3 4
20.	A			0 1 1 1									,		n 2 .																		A	2					0 1 2 3
20.	A			0		0			1	1			,		n 2 .																		A						0		0	1		2
				0		0			1	1																													0		0	1		2
																																							0 0 0 1
				0 0 0 1																																			0 0 0 1
			0 0 0 1																																			1 1 1 1
21.	A			0 0 1 1									,		n 2 .																		A		2			1 2 2 2
21.	A			0		1			1	1			,		n 2 .																		A							1	2	3		3
				0		1			1	1																														1	2	3		3

				1 1 1 1																																		1 2 3 4
			2 0 0 0																														32 0								0 0
22.	A			0 2 0 0										,		n 5 .											A	5							0 32 0								0
22.	A			0		0			2	0				,		n 5 .											A								0			0			32		0
				0		0			2	0																									0			0			32		0
				0 0 0 2																															0 0
				0 0 0 2																															0 0						0 32
23.	A		4				1						n 5 .															A		5						304						61
23.	A				5		2			,			n 5 .															A														62
					5		2																													305						62

24.	A		1		1			n 10 .
24.	A			0	,			n 10 .
				0	1
	Перемножить матрицы с буквенными элементами.
		0		e		e e						e			0
25.		e		0		e	e					0			e		.
				e		0			0			e			e
		e		e		0			0			e			e
	a11			0		0 0							1 1 1 1
26.		0		a22		0				0					2 2 2 2
26.		0		0 a33						0					3 3 3 3									.
		0		0 a33						0					3 3 3 3
		0		0 0 a							44				4 4 4 4
											44
	1 1 1 1						a11					0					0 0
27.		2 2 2 2							0 a22								0 0
27.		3 3 3 3							0 0 a33												0			.
		3 3 3 3							0 0 a33												0
		4 4 4 4							0 0								0 a					44
																						44
			Даны произвольная матрица A пятого порядка и другая матрица
	I 24		также пятого порядка, образованная из единичной матрицы, у
	которой вторая и четвертая строки поменялись местами. Найти матрицу
															a11					a12					a13			a14						a15				0	0	0	0
																																				1		0	0	0	0
28.																a				a				a				a						a
28.																a	21			a	22			a		23		a		24				a	25		0	0	0	1	0
																	21				22					23				24					25		0	0	0	1	0
				B A I 24 a31																a32				a33				a34						a35			0	0	1	0	0	и объяснить, в чем
				B A I 24 a31																a32				a33				a34						a35			0	0	1	0	0	и объяснить, в чем
															a					a				a				a						a			0 1 0 0 0
															a		41			a	42			a		43		a		44				a	45		0 1 0 0 0
																	41				42					43				44					45		0	0	0	0	1
																a				a				a				a						a			0	0	0	0	1
																a	51			a	52			a		53		a		54				a	55
																	51				52					53				54					55
																																	отличие матрицы B от матрицы A .
			Даны произвольная матрица A пятого порядка и другая матрица
	I 24		также пятого порядка, образованная из единичной матрицы, у
	которой вторая и четвертая строки поменялись местами. Найти матрицу
							1				0	0			0		0			a11					a12				a13					a14			a15
29.							1				0	0			0		0
																									a22				a23					a24
								0			0	0			1		0		a21						a22				a23					a24			a25
	B		I 24 A					0			0	1			0		0			a31					a32				a33					a34			a35		и объяснить, в чем
	B		I 24 A					0			0	1			0		0			a31					a32				a33					a34			a35		и объяснить, в чем
								0 1 0 0 0																	a42 a43									a44			a45
								0 1 0 0 0											a41						a42 a43									a44			a45
								0			0	0			0		1								a52				a53					a54
																			a51						a52				a53					a54			a55
	отличие матрицы B от матрицы A .
			Даны произвольная матрица																												A				пятого порядка и другая матрица
	II 22			также					пятого								порядка, образованная из единичной матрицы
	заменой диагонального элемента на не равное нулю число p , Найти
	матрицу
30.								a				a					a					a				a					1			0		0	0	0
30.										11			12					13				14					15				1			0		0	0	0

								a21 a22									a23 a24									a25						0 p 0 0 0
								a21 a22									a23 a24									a25						0 p 0 0 0
	B A II22 a31											a32					a33					a34				a35						0		0		1	0	0		и объяснить, в чем
	B A II22 a31											a32					a33					a34				a35						0		0		1	0	0		и объяснить, в чем
								a41 a42
								a41 a42									a43 a44									a45						0 0 0 1 0
									a			a					a					a				a						0		0		0	0	1
									a	51		a		52			a	53				a	54			a	55
										51				52				53					54				55
	отличие матрицы B от матрицы A .
			Даны произвольная матрица A пятого порядка и другая матрица
	II 22		также пятого порядка, образованная из единичной матрицы
	заменой диагонального элемента на не равное нулю число p , Найти
	матрицу
31.								1			0		0			0				a						a					a				a		a
31.								1			0		0			0		0				11					12						13		14		15

									0 p 0 0 0																	a22 a23									a24 a25
									0 p 0 0 0											a21						a22 a23									a24 a25
	B		II22		A				0		0		1			0		0								a32					a33				a34		a35			и объяснить, в чем
	B		II22		A				0		0		1			0		0		a31						a32					a33				a34		a35			и объяснить, в чем

									0 0 0 1 0											a41						a42 a43									a44		a45
									0		0		0			0		1				a				a					a				a		a
																						a	51			a	52				a		53		a	54	a	55
																							51				52						53			54		55

отличие матрицы B от матрицы A .

2e2

a11

2a22

3a33

4a44

a11

a22

a33

a44

3a11

3a22

3a33

3a44

a11

a14

a13

a12

a15

a24

a23

a22

a21

a25

a31

a34

a33

a32

a35

a41

a44

a43

a42

a45

a54

a53

a52

a51

a55

Второй и четвертый столбцы поменялись местами.

a11	a12	a13	a14	a15
	a42	a43	a44
a41	a42	a43	a44	a45
a31	a32	a33	a34	a35
a21	a22	a23	a24	a25
	a52	a53	a54
a51	a52	a53	a54	a55

Вторая и четвертая строки поменялись местами.

a11	pa12	a13	a14	a15
	pa22 a23 a24
a21	pa22 a23 a24			a25
a31	pa32	a33	a34	a35
a41	pa42	a43	a44	a45
	pa52	a53	a54
a51	pa52	a53	a54	a55

Второй столбец умножен на число p .

	a11	a12	a13	a14	a15
		pa22	pa23	pa24
pa21		pa22	pa23	pa24	pa25
	a31	a32	a33	a34	a35
	a41	a42	a43	a44	a45
	a51	a52	a53	a54	a55
	a51	a52	a53	a54	a55

Вторая строка умножена на число p .

Даны произвольная матрица A пятого порядка и другая матрица III 24 также пятого

порядка, отличающаяся от единичной наличием одного внедиагонального элемента, не равного нулю. Найти матрицу

32.	a11			a12		a13		a14		a15				0	0	0	0
												1

	a21 a22					a23 a24							0	1	0	p 0
										a25
B A III24	a31			a32		a33		a34		a35			0	0	1	0	0

	a			a		a		a		a			0	0	0	1	0
			41		42		43		44		45
													0	0	0	0	1
		a		a		a		a		a
			51		52		53		54		55

a11		a12		a13		pa12	a14		a15
		a22		a23		pa22	a24
a21									a25
a31		a32		a33		pa32	a34		a35
a41		a42		a43		pa42	a44		a45
a	51	a	52	a	53	pa	a	54	a	55
						52

К четвертому столбцу матрицы A прибавлен ее второй столбец, предварительно умноженный на p .

и объяснить, в чем отличие матрицы B от матрицы A.

Даны произвольная матрица A пятого порядка и другая матрица III 24 также пятого

33.	B III24 A
33.	1		0	0	0		a11			a12		a13		a14		a15
							a11			a12		a13		a14		a15
						0

		0	1	0	p 0					a22		a23 a24 a25
		0	1	0	p 0		a21			a22		a23 a24 a25
		0	0	1	0 0					a32		a33 a34				a35		и
		0	0	1	0 0		a31			a32		a33 a34				a35		и
		0	0	0	1 0					a		a		a		a
		0	0	0	1 0		a		41	a	42	a	43	a	44	a	45
		0	0	0	0	1			41		42		43		44		45
		0	0	0	0	1		a		a		a		a		a
								a	51	a	52	a	53	a	54	a	55
									51		52		53		54		55
	объяснить, в чем отличие матрицы B от
	матрицы A.
							D 0,0125 AT B C T ,												1
34.	Вычислить						D 0,0125 AT B C T ,											где A		2	,
																				3
																				3
35.	Вычислить D C									2			T					3	4	2
35.	Вычислить D C											( AB )			, где A				0	,
																		1	0	5

	a11	a12	a13	a14	a15
	pa41	a22 pa42	a23 pa43	a24 pa44
a21	pa41	a22 pa42	a23 pa43	a24 pa44	a25 pa45	Ко
	a31	a32	a33	a34	a35	Ко
	a41	a42	a43	a44	a45
	a51	a52	a53	a54	a55
	a51	a52	a53	a54	a55

второй строке матрицы A прибавлена ее четвертая строка, предварительно умноженная на p .

	1		2	3		C 3	2 1
B		2	3	2	,	C 3	2 1	.	1
B		2	3	2	,			.	1
		3	2	1

2		0	1		3		11		17
B	1	3
			, C	0	4	.		22
	0	5							41

					1				2		3		1					5 , E-					6		34
36.	Вычислить D 2E ( ABC )T		, где A				1		0		2	,	B = 2	, C = 2, 0,				5 , E-					6	6	34
36.							4		5		3												0	2	0
							4		5		3		1											15	87
	единичная матрица.																						10	15	87
	единичная матрица.
37.	Найти значение многочлена P( X )				X	3		3X		2	X		от матрицы			1			2					5	0
37.	Найти значение многочлена P( X )				X			3X			X		от матрицы			X			.					0
																1			3					0	5
																	1		2	3			21 23 15
38.	Найти значение многочлена P( X ) 3X 2								2 X 5E от матрицы							X		2	4	1	.		13	34	10
																		3	5	2			9
																		3	5	2			9	22 25
	1		1	0
39.	Является ли матрица X	2	1	3	корнем уравнения X 3 6X 2 8X 9E 0 ?																				Да
		0	1	4
		0	1	4
40.	Доказать, что матрица A	a	b	удовлетворяет уравнению X											2	( a	d )X ad bc E 0 .
40.	Доказать, что матрица A			удовлетворяет уравнению X												( a	d )X ad bc E 0 .
		c	d
	Для квадратных матриц одинаковых размеров выяснить
	справедливость равенств: 1) ( A B )2				A2				2AB B2 ;
41.	2) ( A B )( A B ) A2 B2 ;																					1) нет, 2) нет, 3) да
	3) ( A E )3 A3 3A( A E ) E .																					1) нет, 2) нет, 3) да
	3) ( A E )3 A3 3A( A E ) E .
42.	Упростить: A B A2 AB B 2 A A B B BA A B , где А и В																							A3 B3
42.	квадратные матрицы одинаковых размеров.																							A3 B3
	квадратные матрицы одинаковых размеров.

															12
	1		2						a		2b
43.	Для матрицы A	3	найти такую матрицу B (она называется						a		2b			a, b R
43.		3	4									, где		a, b R
	перестановочной), что AB BA.								3b		a 3b
	перестановочной), что AB BA.
	3		1	0				a		b	c
44.	Для матрицы A	0	3	1	найти такую матрицу B , что	AB BA.			0	a	b	, где a, b, c R
		0	0	3					0	0
		0	0	3					0	0	a
	На примере матрицы 3-го порядка доказать свойства транспонирования:
45.	1) ( A B )T AT BT ;		2) AT T A; 3) aA T a AT
46.	Для квадратной матрицы 2-го порядка доказать свойство транспонирования							AB T		BT AT
47.	Найти все квадратные матрицы второго порядка,					1	0	a	b				2		bc 0
47.	квадрат которых равен нулевой матрице.						,			, a,b,c R, a					bc 0
	квадрат которых равен нулевой матрице.					0	1	c	a
48.	Найти все квадратные матрицы второго порядка, квадрат которых							a	b					2	bc 1
48.	равен единичной матрице.									, a,b,c R, a					bc 1
	равен единичной матрице.							c	a

Определители

	Вычислить величину определителя:
49.			1		.
49.			1		.
50.						2	.
		1				2
		3				4
51.						9		.
			6			9
			8			12
						3
52.		3		2		3			3		.
		3		2					3
53.			ab				a2			.
			ab				a2
			b2				ab
54.			a b						a b			.
			a b						a b
			a	b					a b
55.				1						log b a			.
				1						log b a
			log a b						1
			log a b						1

56.sin cos . sin cos

57.cos sin . sin cos

58.	sin sin						cos cos	.
	sin sin						cos cos
	cos cos						sin sin
		0	1
	1	0	1
59.	2	1	0		.
	1 1		0
		2	3
	1	2	3
60.	4	5	6	.
	7	8	9
		1	1
	1	1	1
61.	2	3	1			.
	4	1		5
		2	3
	1	2	3
62.	2	3	2	.
	3	2	1

-2

6 36

4ab

sin

cos

-3

-8

	2			1		3
63.	5			3		2		.
	1			4		3
				3					5
	4			3					5
64.	3				2				8				.
	1				7					5
				1	1
	0			1	1
65.	1			0	1		.
	1			1	0

			2			8								2
66.	3		4		3	4				3				4	.
	4		4		4 8					4				4
		x			1				1
		x			1				1
67.	2			1					0			.
			1		2				1
		x		1		1
		x		1		1
68.	1			x		1		.
	1			1		x
		x			1					x
		x			1					x
69.			1		x						1	.
		x		1						x
		a		x		x
		a		x		x
70.		x		b		x			.
		x		x		c
		x		x2						x3
		x		x2						x3
71.		x2		x3						x4				.
		x3		x4						x5
		a		b		с
		a		b		с
72.		b		с		a
		с		a		b
				a		1
		1

		a
		a
73.		1		b		1			.

		b
		b
		1		c		1

		c
		c
		sin				cos								1
		sin				cos								1
74.		sin				cos								1		.
		sin				cos								1
				x			x2
	1			x			x2
75.		x		1						x		.
		x2		x					1
				2						3				1
	1			2						3				1
76.	4			6						2				4		.
	4				2				1					0
	6			4					4					6

1 2 3 4

23 4 1 .

77.3 4 1 2

41 2 3

100

1 x

x3 3x 2

2x3 ( a b c )x2 abc

3abc a3 b3 c3

ba ba ac bc ac bc

sin( ) sin( ) sin( )

1 2x2 x4

144

160

			6		2		4
	4		6		2		4
78.	1		2		3		1	.
	4		2		1		0
	6		4		4		6
			1	1	1
			1	1	1
79.			0	1	1	.
			1	0	1
			1	1	0
			1	5			2
	2		1	5			2
80.	4		1		7		3			.
	7		2	9			5
	2		1	6			4
			1	1	1
			1	1	1
81.			3	4	5	.
			7	8	9
			9	9	9
			1		2		2					3
		1	1		2		2					3
		3	4		4			5				5
82.		6		6	7		7					8				.
		8	9		9		10				10
		11	11		12		12					13
			3		5		7				9
	1		3		5		7				9
	0		2		4		6				8
83.		1		6	7			3				8		.
		2	5		9		3				2
		4		5	2			1			3
		2	3		1		7				6
		2	3		1		7				6
	5			4	3		3				1
84.	7		5		1		1					3	.
	4			5	3		8				7
		1	2		6		4				1
		1	2		0		5				0
		1	2		0		5				0
	0		1	4			0				1
85.		1	2		0		4				0	.
	9		0	9			0				2
	0		1		3		7				0
			1		4		2				3
		0	1		4		2				3
		1	6		1			4				2
86.		0	6		2		1				5				.
		8		1	0		3				2
		1		4	2			1			0
			5		3		6				2
		4	5		3		6				2
		7	1		2			3				1
87.		4	2		1			2				3			.
		1	0		0		0					2
		8		9	2		8				4
			1	1	a
	0		1	1	a
88.	1		0	1	b	.
	1		1	0	c
			b	c	0
			1	0	1		a
			1	0	1		a
	0		b	0	b		0
89.	0		1	c	1		0		.
	0		d	0	d		0
			1	0	1		e

-144

-3

-9

258

-49

1560

995

a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac

											15
				a	b		c	0
		0		a	b		c	0
			a	0	b	0		d
90.			a	b	0		c	d		.	0
			a	0	c	0		d
		0		b	c		d	0
				b	c		d	e
			0	b	c		d	e
			a	0	c		d	e
91.			a	b	0		d	e	.		4abcde
			a	b	c	0		e
			a	b	c		d	0
				b	c		d	0
			1	b	c		d	0
			a	1	c	0		e			2abc 2acd 2bce 2cde ac bc cd ce
92.			a	b	0		d	e	.		2abc 2acd 2bce 2cde ac bc cd ce
			a	0	c	1		e
			0	b	c		d	1
			a	1	0	1		0
			a	1	0	1		0
			0	b	0	1		0			abcde ace
93.			0	1	c	1		0	.		abcde ace
			0	1	0		d	0
			0	1	0	1		e
	Доказать тождество:
				a	bc		b a c a c b .
		1		a	bc
94.		1		b	ca
		1		c	ab
				a	a2		b a c a c b .
		1		a	a2
95.		1		b	b2
		1		c	c2

96.	Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями											a	ij	min i, j .			1
													ij
97.	Вычислить определитель 6-го порядка, элементы которого заданы условиями aij													max i, j .			-6
	Решить уравнение:
				3			x
		1		3			x
98.		4		5		1			0 .							x 3
		2		1		5
			x	2	3		0 .							x1 1, x2	3,	x3 4
			x	2	3
99.		1		x	1
		3		2	x
			x	1	x		0 .
			x	1	x
100.		1		x	2											x 0
			x	2	x
			x	1		1

								0 .									3
101.			2	1			x								x1,2		3
101.			2	1			x								x1,2		2
			1	2		1											2
				x			x2		1 .					x1 0 , x2,3
		1		x			x2
102.			x	1			x										2
			x2	x		1
				0			1 x
		1		0			1 x
103.		2		1		0			1	7	.					x 1
			1	1		1			1		.
			1	1		1			1
		0		2		1			0

																	16
				x	0		x
			1	x	0		x
104.			1	x	0	2				0		.					x 0
			0	x	1		1					.
			0	x	1		1
			1	x	1		x
105.	Найти a,b,c						, для которых корни уравнения							x a	b	0 будут действительными.	a,b,c R
														x a	b
														b	x c
	Решить неравенство:
				1	x
		0		1	x
106.			1	0	2	0 .											x 3
		1		1	1
				x 2	1
		2		x 2	1
107.		1		1			2	0 .									6 x 4
		5		3		x
				0	x		x
		0		0	x		x
108.		1		1	0		1	0			.						x R
		1		0	1		1				.
		1		0	1		1
			x	x	1		1
			x	1	1				1
			x	1	1				1
109.			1	x		1			1		0		.				x 1
		1		1		x			1				.
		1		1		x			1
			1	1	1				x

На примере определителя 3-го порядка, написанного в общем виде, доказать следующие свойства определителя:

110.Если элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

111.Если элементы какого-либо столбца (строки) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

112.При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

113.Сумма произведений элементов строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0.

114.Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

115.Если одна строка (столбец) определителя есть сумма двух других строк (столбцов), умноженных на произвольные числа, постоянные для каждой строки, то определитель равен нулю.

116.Если переставить местами две строки или столбца, то определитель изменит знак.

117.Если две строки или два столбца определителя равны, то определитель равен нулю.

118.Если элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (или столбца), то определитель равен нулю.

119.Если каждый элемент одной строки (или столбца) представить в виде суммы двух слагаемых, определитель будет равен сумме двух определителей.

120.Перечислить те элементарные преобразования определителя, которые не приводят к изменению его величины.

121.Перечислить те элементарные преобразования определителя, которые не обнуляют его. Как изменится определитель 3-го порядка, если первый столбец переставить на

122.последнее место, а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение. не изменится

123.Доказать, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

124.На примере матрицы 3-го порядка доказать свойство алгебраического дополнения Aij ATji .

125.	С каким знаком входит в определитель n-го порядка произведение элементов главной		С плюсом
	диагонали?
126.	Как изменится определитель n-го порядка, если у всех его	знак определителя равен 1 n
	элементов изменить знак на противоположный
127.	Как изменится определитель, если к каждой строке, кроме последней, прибавить		Не изменится
	последующую строку.
128.	Как изменится определитель, если к каждому столбцу, кроме последнего,		Не изменится

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1						0	1						0	1						0	1						4
1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	0	5	6	4
	0	2	3	0	1	0	~	0	- 2	- 3	0	1	0	~	0	2	3	0	1	0	~	0	2	0	6	8	6	~
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2

a11	a12	a13	a14	a15
	a42	a43	a44
a41	a42	a43	a44	a45
a31	a32	a33	a34	a35
a21	a22	a23	a24	a25
	a52	a53	a54
a51	a52	a53	a54	a55

	2			1		3
63.	5			3		2		.
	1			4		3
				3					5
	4			3					5
64.	3				2				8				.
	1				7					5
				1	1
	0			1	1
65.	1			0	1		.
	1			1	0

			2			8								2
66.	3		4		3	4				3				4	.
	4		4		4 8					4				4
		x			1				1
		x			1				1
67.	2			1					0			.
			1		2				1
		x		1		1
		x		1		1
68.	1			x		1		.
	1			1		x
		x			1					x
		x			1					x
69.			1		x						1	.
		x		1						x
		a		x		x
		a		x		x
70.		x		b		x			.
		x		x		c
		x		x2						x3
		x		x2						x3
71.		x2		x3						x4				.
		x3		x4						x5
		a		b		с
		a		b		с
72.		b		с		a
		с		a		b
				a		1
		1

		a
		a
73.		1		b		1			.

		b
		b
		1		c		1

		c
		c
		sin				cos								1
		sin				cos								1
74.		sin				cos								1		.
		sin				cos								1
				x			x2
	1			x			x2
75.		x		1						x		.
		x2		x					1
				2						3				1
	1			2						3				1
76.	4			6						2				4		.
	4				2				1					0
	6			4					4					6

			6		2		4
	4		6		2		4
78.	1		2		3		1	.
	4		2		1		0
	6		4		4		6
			1	1	1
			1	1	1
79.			0	1	1	.
			1	0	1
			1	1	0
			1	5			2
	2		1	5			2
80.	4		1		7		3			.
	7		2	9			5
	2		1	6			4
			1	1	1
			1	1	1
81.			3	4	5	.
			7	8	9
			9	9	9
			1		2		2					3
		1	1		2		2					3
		3	4		4			5				5
82.		6		6	7		7					8				.
		8	9		9		10				10
		11	11		12		12					13
			3		5		7				9
	1		3		5		7				9
	0		2		4		6				8
83.		1		6	7			3				8		.
		2	5		9		3				2
		4		5	2			1			3
		2	3		1		7				6
		2	3		1		7				6
	5			4	3		3				1
84.	7		5		1		1					3	.
	4			5	3		8				7
		1	2		6		4				1
		1	2		0		5				0
		1	2		0		5				0
	0		1	4			0				1
85.		1	2		0		4				0	.
	9		0	9			0				2
	0		1		3		7				0
			1		4		2				3
		0	1		4		2				3
		1	6		1			4				2
86.		0	6		2		1				5				.
		8		1	0		3				2
		1		4	2			1			0
			5		3		6				2
		4	5		3		6				2
		7	1		2			3				1
87.		4	2		1			2				3			.
		1	0		0		0					2
		8		9	2		8				4
			1	1	a
	0		1	1	a
88.	1		0	1	b	.
	1		1	0	c
			b	c	0
			1	0	1		a
			1	0	1		a
	0		b	0	b		0
89.	0		1	c	1		0		.
	0		d	0	d		0
			1	0	1		e

1						0	1						0	1						0	1						4
1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	0	5	6	4
	0	2	3	0	1	0	~	0	- 2	- 3	0	1	0	~	0	2	3	0	1	0	~	0	2	0	6	8	6	~
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2

a11	a12	a13	a14	a15
	a42	a43	a44
a41	a42	a43	a44	a45
a31	a32	a33	a34	a35
a21	a22	a23	a24	a25
	a52	a53	a54
a51	a52	a53	a54	a55

	2			1		3
63.	5			3		2		.
	1			4		3
				3					5
	4			3					5
64.	3				2				8				.
	1				7					5
				1	1
	0			1	1
65.	1			0	1		.
	1			1	0

			2			8								2
66.	3		4		3	4				3				4	.
	4		4		4 8					4				4
		x			1				1
		x			1				1
67.	2			1					0			.
			1		2				1
		x		1		1
		x		1		1
68.	1			x		1		.
	1			1		x
		x			1					x
		x			1					x
69.			1		x						1	.
		x		1						x
		a		x		x
		a		x		x
70.		x		b		x			.
		x		x		c
		x		x2						x3
		x		x2						x3
71.		x2		x3						x4				.
		x3		x4						x5
		a		b		с
		a		b		с
72.		b		с		a
		с		a		b
				a		1
		1

		a
		a
73.		1		b		1			.

		b
		b
		1		c		1

		c
		c
		sin				cos								1
		sin				cos								1
74.		sin				cos								1		.
		sin				cos								1
				x			x2
	1			x			x2
75.		x		1						x		.
		x2		x					1
				2						3				1
	1			2						3				1
76.	4			6						2				4		.
	4				2				1					0
	6			4					4					6

			6		2		4
	4		6		2		4
78.	1		2		3		1	.
	4		2		1		0
	6		4		4		6
			1	1	1
			1	1	1
79.			0	1	1	.
			1	0	1
			1	1	0
			1	5			2
	2		1	5			2
80.	4		1		7		3			.
	7		2	9			5
	2		1	6			4
			1	1	1
			1	1	1
81.			3	4	5	.
			7	8	9
			9	9	9
			1		2		2					3
		1	1		2		2					3
		3	4		4			5				5
82.		6		6	7		7					8				.
		8	9		9		10				10
		11	11		12		12					13
			3		5		7				9
	1		3		5		7				9
	0		2		4		6				8
83.		1		6	7			3				8		.
		2	5		9		3				2
		4		5	2			1			3
		2	3		1		7				6
		2	3		1		7				6
	5			4	3		3				1
84.	7		5		1		1					3	.
	4			5	3		8				7
		1	2		6		4				1
		1	2		0		5				0
		1	2		0		5				0
	0		1	4			0				1
85.		1	2		0		4				0	.
	9		0	9			0				2
	0		1		3		7				0
			1		4		2				3
		0	1		4		2				3
		1	6		1			4				2
86.		0	6		2		1				5				.
		8		1	0		3				2
		1		4	2			1			0
			5		3		6				2
		4	5		3		6				2
		7	1		2			3				1
87.		4	2		1			2				3			.
		1	0		0		0					2
		8		9	2		8				4
			1	1	a
	0		1	1	a
88.	1		0	1	b	.
	1		1	0	c
			b	c	0
			1	0	1		a
			1	0	1		a
	0		b	0	b		0
89.	0		1	c	1		0		.
	0		d	0	d		0
			1	0	1		e

1						0	1						0	1						0	1						4
1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	2	1	0	0	1		2	0	5	6	4
	0	2	3	0	1	0	~	0	- 2	- 3	0	1	0	~	0	2	3	0	1	0	~	0	2	0	6	8	6	~
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2
	1 1		2	0	0	1		0	3	4	1	0	1		0	0	1	2	3	2		0	0	1	2	3	2

a11	a12	a13	a14	a15
	a42	a43	a44
a41	a42	a43	a44	a45
a31	a32	a33	a34	a35
a21	a22	a23	a24	a25
	a52	a53	a54
a51	a52	a53	a54	a55

	2			1		3
63.	5			3		2		.
	1			4		3
				3					5
	4			3					5
64.	3				2				8				.
	1				7					5
				1	1
	0			1	1
65.	1			0	1		.
	1			1	0

			2			8								2
66.	3		4		3	4				3				4	.
	4		4		4 8					4				4
		x			1				1
		x			1				1
67.	2			1					0			.
			1		2				1
		x		1		1
		x		1		1
68.	1			x		1		.
	1			1		x
		x			1					x
		x			1					x
69.			1		x						1	.
		x		1						x
		a		x		x
		a		x		x
70.		x		b		x			.
		x		x		c
		x		x2						x3
		x		x2						x3
71.		x2		x3						x4				.
		x3		x4						x5
		a		b		с
		a		b		с
72.		b		с		a
		с		a		b
				a		1
		1

		a
		a
73.		1		b		1			.

		b
		b
		1		c		1

		c
		c
		sin				cos								1
		sin				cos								1
74.		sin				cos								1		.
		sin				cos								1
				x			x2
	1			x			x2
75.		x		1						x		.
		x2		x					1
				2						3				1
	1			2						3				1
76.	4			6						2				4		.
	4				2				1					0
	6			4					4					6

			6		2		4
	4		6		2		4
78.	1		2		3		1	.
	4		2		1		0
	6		4		4		6
			1	1	1
			1	1	1
79.			0	1	1	.
			1	0	1
			1	1	0
			1	5			2
	2		1	5			2
80.	4		1		7		3			.
	7		2	9			5
	2		1	6			4
			1	1	1
			1	1	1
81.			3	4	5	.
			7	8	9
			9	9	9
			1		2		2					3
		1	1		2		2					3
		3	4		4			5				5
82.		6		6	7		7					8				.
		8	9		9		10				10
		11	11		12		12					13
			3		5		7				9
	1		3		5		7				9
	0		2		4		6				8
83.		1		6	7			3				8		.
		2	5		9		3				2
		4		5	2			1			3
		2	3		1		7				6
		2	3		1		7				6
	5			4	3		3				1
84.	7		5		1		1					3	.
	4			5	3		8				7
		1	2		6		4				1
		1	2		0		5				0
		1	2		0		5				0
	0		1	4			0				1
85.		1	2		0		4				0	.
	9		0	9			0				2
	0		1		3		7				0
			1		4		2				3
		0	1		4		2				3
		1	6		1			4				2
86.		0	6		2		1				5				.
		8		1	0		3				2
		1		4	2			1			0
			5		3		6				2
		4	5		3		6				2
		7	1		2			3				1
87.		4	2		1			2				3			.
		1	0		0		0					2
		8		9	2		8				4
			1	1	a
	0		1	1	a
88.	1		0	1	b	.
	1		1	0	c
			b	c	0
			1	0	1		a
			1	0	1		a
	0		b	0	b		0
89.	0		1	c	1		0		.
	0		d	0	d		0
			1	0	1		e