Обратные матрицы

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

																																				17
	прибавить последующий столбец.
129.	Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна																					Определитель равен
129.	сумме строк с нечетными номерами?																																			нулю.
	Обратные матрицы
	Найти обратную матрицу A 1 , используя метод присоединенной матрицы и метод Гаусса-Жордана, если
130.		1			2																									2						1
130.	A		3		4	.																									1,5					0,5
			3		4																										1,5					0,5
	A	a			b																						1					d					b
131.			с		d	.
131.						.
																								ad bc c															a
132.	A 0,1				10			30																								5							3
132.	A 0,1									.																								2
					20			50																										2				1
	A	1	1			2																										4					2
133.				2			.																											2			1
133.							.
		8					4
			1				1					2		2																1 1									8
134.	A 2									3			3		.																			13 4
134.	A 2									3					.
			2					2						1															100
135.					1 3							1		2												1,44									0,64
135.	A 0,5									0,25					.																				0,24
					5 7							3		4												1,04									0,24
136.			0		1					1			1		2		0																	1				1
136.	A 2			1		1	3				0		1		2	1	.																		0	1
				1		1					0		1			1	1																		0	1

		1				0 1																					1			0 1							1
137.	A		2			1		0		.																	1				0				1	2
137.	A		2			1		0		.																					0				1	2
			1 1					0																			3			3 1							1

		2				6				5																1					8					9
138.	A		6			3				4		.															2				19					22
			5			2																				3				26							30
			5			2			3																	3				26							30
		1 2 3																					1				1						4						5
139.	A		2 3			2	.																1						4		8						4
139.	A		2 3			2	.																						4		8						4
			3 2 1																				8				5						4			1
			3 2 1																				8				5						4			1
			4			8			5												1					12 17											43
140.	A		4			7			1			.									1					7					11						24
140.	A		4			7			1			.														7					11						24
			3 5							1																1						4				4
			3 5							1											13					1						4				4
		4			1			5												Обратная матрица не существует,
141.	A		2		6			1 .																				так как									A		0
141.	A		2		6			1 .
			2		5			6
			2		5			6
		0			1			1												Обратная матрица не существует,
142.	A		2			0		0	.																			так как									A		0
142.	A		2			0		0	.

		1			1			1
		1			1			1																													2
		1			2 2																				1		2							2			2
143.	A		3		0		1	.																	1				8				1				5
143.	A		3		0		1	.																					8				1				5
			1		2 3																				6		6 0									6

		3			2 2																		1		9								2				4
144.	A		1		3		1	.															1				1							2			1
144.	A		1		3		1	.																			1							2			1
			5		3 4																		5		12 1											7

			x			1			1								Обратная матрица не существует, если x 1;
			x			1			1										1
145.	A		2			1			0									1	1	1	1
145.	A		2			1			0	.							Обратная матрица равна		2	1 x	2					,	если x 1
			1			2			1	.							Обратная матрица равна		2	1 x	2					,	если x 1
			1			2			1								1		3	1 2x
																	1	x	3	1 2x	2 x
		1			1 1 1																		1 1 1														1
	A	1			1		1				1										1		1 1										1				1
146.													.
146.													.
		1			1			1 1													4		1					1 1									1
		1			1		1					1											1					1					1				1

	1		1	1	1
		0	1	1	1
147.	A	0	0	1	1 .
		0	0	0
		0	0	0	1
	a		a	a	a
		0	a	a	a
148.	A	0	0	a	a	.
		0	0	0	a
		0	0	0	a
	0		0	0	1
		0	0	1	1
149.	A	0	1	1	1	.
		1	1	1	a
		1	1	1	a
	1		0	1	1
		0	1	0	1
150.	A	1	0	1	0	.
		1	1	0	1
		1	1	0	1
	2		1	0	0
		1	2	1	0
151.	A	0	1	2	1	.
		0	0	1	2
		0	0	1	2


	2				1
			1		1
152.	A		0		1
			2		0

		1		a a2
		0		1	a
153.	A
		0		0	1
		0		0	0

1 0 .

1 1

a2 . a

	x	1	1	1
	1	x	1	1
154. A	1	1	x	1	.

	1	1	1	x

1. Для матрицы C 2A

									18
	1		1		0		0
	0		1		1		0
	0		0		1			1
	0		0		0		1
	1		1		0			0
1		0	1			1		0


a		0	0		1			1
		0	0		0			1
1 a			0		1			1
	0			1		1		0
	1		1			0		0
	1		0			0		0
	1		0			0		0
	0		1		0			1
		1	1		1			0
	0		1		1			1
	1		0		1			0
	1		0		1			0

	4		3	2	1
1	3		6	4	2
	2		4	6	3
5	2		4	6	3
5	1		2	3	4
	1		2	3	4
	1		5	4	1
1	5		2	2	4
	4		2	2	5
9	4		2	2	5
9	1		4	5	1
	1		4	5	1
	1		a	0	0
		0	1	a	0
		0	0	1	a
		0	0	0	1
		0	0	0	1

Обратная матрица не существует, если x 1;

		x		1	1	1
	1
Обратная матрица равна			1	x	1	1	, если x 1
Обратная матрица равна						1	, если x 1
1	x2		1	1	x	1
			1	1	1	x
найти транспонированную.							CT 2AT

2.	Для матрицы C		1	A найти обратную.							C 1 2A 1
2.	Для матрицы C			A найти обратную.							C 1 2A 1
	2
3.	Доказать, что матрица, обратная матрице									, где α – число, не равное нулю, имеет вид:
	.
4.	Как изменится обратная матрица, если в исходной матрице										Поменяются местами первый и
4.	переставить местами первую и вторую строки?										второй столбцы
	Как изменится обратная матрица, если в исходной матрице первую										Первый столбец умножится на
5.											1
5.	строку умножить на число 0 ?										1

6.	Доказать единственность обратной матрицы
					1			1
					1			1
	Доказать, что а)	A 1					, б) A 1		A ,	в) AB 1 B 1 A 1 , г) ( A 1 )T	( AT ) 1 ,
7.						A

д) ( Am ) 1 ( A 1 )m .

8.Перечислить те преобразования матрицы, которые не изменяют ее ранга.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если AAT E и называется инволютивной, если

9.A2 E . Пусть A AT . Доказать, что из ортогональности матрицы следует ее инволютивность и обратно.

10.Доказать, что произведение двух ортогональных матриц будет ортогональной матрицей.

11.Доказать, что матрица, обратная ортогональной, также ортогональна.

12.Доказать, что для нахождения матрицы, обратной ортогональной, достаточно транспонировать

							19
	ортогональную матрицу.
	Каким условиям должны удовлетворять элементы			1			0
13. матрицы 2-го порядка, чтобы она была ортогональной?		{		1			0
13. матрицы 2-го порядка, чтобы она была ортогональной?		{	например,
	Привести пример.				0		1
	Привести пример.
	Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы 2-го порядка, чтобы она была			Например,
14.				1			0
14.	инволютивной ? Привести пример.			1			0
	инволютивной ? Привести пример.				0	1

	Вычислить B 11 A 1 T	1		2	3
15.	Вычислить B 11 A 1 T	AT , где A	0	1	2	.
			1	0	4
			1	0	4

16.	Вычислить	(	) (	), где			(	) ,	( ).
17.	Вычислить	(	)		, где		(	),	(		) ,	( ).
18.	Вычислить	(	)		, где		(	),	(	) ,		( )
				1		2	c
19.	При каких значениях с матрица				4	5	2	является вырожденной?
					2	1	c
					2	1	c

При каких значениях с матрица А не имеет обратной:

	c		4	1
20.	A	2	5	1 .
		0	c
		0	c	1

5	2	0
6	8	2
4	0	5
4	0	5
			6
		44

c2 3

–8; 1

	c		4	1											1
	c		4	1												93
21.	A	7	c	2		.			c1	1, c3,4						93
21.	A	7	c	2		.			c1	1, c3,4
		2	1											2
		2	1	c										2
		1	1	1			c
22.		1	1	c			1				c1,2,3 1, c4					3
22.	A	1	c	1				.			c1,2,3 1, c4					3
		1	c	1			1
		c	1	1			1
		c	1	1			1
	Найти значение величины с, при которой величина определителя матрицы
23.	1		1	1											c 502
23.	A	2	c		2		станет равной 103.								c 502
		1	1	1
		1	1	1
	Найти локальный максимум величины определителя матрицы
	1		c	4							1					2
24.									A				54

	A
	A	c	3	2		?				max				3		3
		5	3	c								3		3		3
		5	3	c

	c	c	1
	В каких пределах может изменяться величина определителя матрицы A c	1	c	,
25.		c	c
25.	1	c	c

если c 1?

26.В каких пределах может изменяться величина определителя 2-го порядка, если его элементы принимают значения +1 или -1?

27.Доказать, что определитель ортогональной матрицы равен 1 или 1.

1 A 4

От -2 до 2

Ранг матрицы

Найти ранг матрицы:

	2		5	6
28.		4	1	5	.	2
		2	6	1
		2	6	1

	4		1		5
29.		2	6
29.		2	6		1 .
		2	5		6
	1		0		4	8
30.		3	6		10	4
30.		3	6		10	4					.
		1	3		7	2
	1		2		1	4
31.		1	3		4	6
31.		1	3		4	6		.
		0	5		1	4
		1	3	7	2	5
32.		1	0	4	8	3			.
		3	6 10 4 7
		3	6 10 4 7
	0		5		1	1	5
33.		2	3		0	1	6
33.		1	3		1	3	0			.
		1	3		1	3	0
		3	1		0	4	6
		3	1		0	4	6
	1		4		2	2					0
		2	1		0	3						2
34.		9	0		1	2					0			.
		1	1		3	1					5
		11	4		0	0					3
		11	4		0	0					3
		2	3		0	4						3
		4	4		1	3							5
35.		3		1	2		2						2
		2	1		1		1						2
		1	0		1	3						4
		1	0		1	3						4
		0	1		3	0				2
		2	0		1	1					0
36.		0	3		0	2					1
		4	0		1	0				1
		6	2		3	1				2
		6	2		3	1				2
	4 3 2 1										0
		1	2		3	4					5
37.		2	3		4	5					4	.
		4		3	2		1 0
		5	1		3	7					9
		5	1		3	7					9
		1	1		2	2						3
		3	4		4	5							5
38.		5		5	4		4					3
		3	2		2	1							2
		0	0		0	0							1
		0	0		0	0							1
	0		1 1 2 3 1
		2		3	0	0					0			2
		1	0		3	2					0				0
39.		3	0		1	0					2			1
		1	2		0	2					1				0
		1	2		0	2					1				0
		1		2	1	2					6			4

	Для матрицы	e1		1		2
	Для матрицы	A			2	4	составить линейную комбинацию
40.		e2			2	4
40.	строк. Найти значения коэффициентов, при которых линейная
	комбинация равна нулевой строке.
		e1		1		0	1
	Для матрицы A e				2	2	2	составить линейную
			2		4	2	0
		e3			4	2	0

41.комбинацию строк. Найти все такие числа i , i 1,2,3 , для которых линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке. Сделать вывод о линейной зависимости или независимости строк.

1e1 2e2 . 1 2c, 2 c , где c R . Строки линейно зависимы.

1e1 2e2 3e3 .

1 2c, 2 c, 3 c , где c R .

Строки линейно зависимы.

Определить максимальное число линейно независимых строк матрицы C , используя линейную комбинацию строк.

	2		5	6
42.	C	4	1	5						2
		2 6		1
		2 6		1

	1		0	4	8
43.	C	3	6 10		4					3
		1	3	7	1
		1	3	7	1
	2		0	3	5		1
		4	3	1	7		5
44.	C	0	3	5	3		3	.		2
		2	3	2	2		4
		2	3	2	2		4
	3			8	0	1		4
		1	1		2	0		2
45.	C	2	1		0	3		2	.	3
		6	16		0	2		8
		3	2		2	3		0
		3	2		2	3		0

		T			A	T	B	T	D , где	1		2	3	1		2
	C BA				A		B		D , где	A				, B			,
											0	1	1		3	4
46.	0		1														1
	D	0	0	.
		4
		4	11

47.	Определить максимальное число линейно независимых						Число линейно независимых строк
47.	строк матрицы в задачах 181-189.						определяется величиной ранга матрицы
	При каком значении параметра р матрица имеет наименьший ранг?
	1		3	1	2
		3	9	4	5		p 3
48.		9	5	9	7	.	p 3
		3	7	5
		3	7	5	p

		2	2	p	1
49.		5	1	2	3
49.		2	2	2	1		.
		2	2	2	1
		1	4	1	2
		p	1	2	1
50.		1	2	p	2
50.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		2	1	1	1
	p		1	2	1
51.		1	2	p	2
51.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		p	1	1	p
		p	1	2	p
52.		1	2	1 2
52.		1	3	2	1	.
		1	3	2	1
		p	1	1	p

Найти ранг матрицы в зависимости от величины параметра р.

	1		2	2	1
53.		1	p	p	1
		1	p	p	1 .
		1	2	2	1
		1	2	2	1

Найти значения , при которых матрица А имеет наименьший ранг.

p 2

p 7

p 1, p 43

p 13

При p 0 ранг =1. При p 0 ранг =2.

<<< < Предыдущая 1 23 / 183 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

									18
	1		1		0		0
	0		1		1		0
	0		0		1			1
	0		0		0		1
	1		1		0			0
1		0	1			1		0


a		0	0		1			1
		0	0		0			1
1 a			0		1			1
	0			1		1		0
	1		1			0		0
	1		0			0		0
	1		0			0		0
	0		1		0			1
		1	1		1			0
	0		1		1			1
	1		0		1			0
	1		0		1			0

	4		3	2	1
1	3		6	4	2
	2		4	6	3
5	2		4	6	3
5	1		2	3	4
	1		2	3	4
	1		5	4	1
1	5		2	2	4
	4		2	2	5
9	4		2	2	5
9	1		4	5	1
	1		4	5	1
	1		a	0	0
		0	1	a	0
		0	0	1	a
		0	0	0	1
		0	0	0	1

		2	2	p	1
49.		5	1	2	3
49.		2	2	2	1		.
		2	2	2	1
		1	4	1	2
		p	1	2	1
50.		1	2	p	2
50.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		2	1	1	1
	p		1	2	1
51.		1	2	p	2
51.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		p	1	1	p
		p	1	2	p
52.		1	2	1 2
52.		1	3	2	1	.
		1	3	2	1
		p	1	1	p

									18
	1		1		0		0
	0		1		1		0
	0		0		1			1
	0		0		0		1
	1		1		0			0
1		0	1			1		0


a		0	0		1			1
		0	0		0			1
1 a			0		1			1
	0			1		1		0
	1		1			0		0
	1		0			0		0
	1		0			0		0
	0		1		0			1
		1	1		1			0
	0		1		1			1
	1		0		1			0
	1		0		1			0

	4		3	2	1
1	3		6	4	2
	2		4	6	3
5	2		4	6	3
5	1		2	3	4
	1		2	3	4
	1		5	4	1
1	5		2	2	4
	4		2	2	5
9	4		2	2	5
9	1		4	5	1
	1		4	5	1
	1		a	0	0
		0	1	a	0
		0	0	1	a
		0	0	0	1
		0	0	0	1

		2	2	p	1
49.		5	1	2	3
49.		2	2	2	1		.
		2	2	2	1
		1	4	1	2
		p	1	2	1
50.		1	2	p	2
50.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		2	1	1	1
	p		1	2	1
51.		1	2	p	2
51.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		p	1	1	p
		p	1	2	p
52.		1	2	1 2
52.		1	3	2	1	.
		1	3	2	1
		p	1	1	p

									18
	1		1		0		0
	0		1		1		0
	0		0		1			1
	0		0		0		1
	1		1		0			0
1		0	1			1		0


a		0	0		1			1
		0	0		0			1
1 a			0		1			1
	0			1		1		0
	1		1			0		0
	1		0			0		0
	1		0			0		0
	0		1		0			1
		1	1		1			0
	0		1		1			1
	1		0		1			0
	1		0		1			0

	4		3	2	1
1	3		6	4	2
	2		4	6	3
5	2		4	6	3
5	1		2	3	4
	1		2	3	4
	1		5	4	1
1	5		2	2	4
	4		2	2	5
9	4		2	2	5
9	1		4	5	1
	1		4	5	1
	1		a	0	0
		0	1	a	0
		0	0	1	a
		0	0	0	1
		0	0	0	1

		2	2	p	1
49.		5	1	2	3
49.		2	2	2	1		.
		2	2	2	1
		1	4	1	2
		p	1	2	1
50.		1	2	p	2
50.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		2	1	1	1
	p		1	2	1
51.		1	2	p	2
51.		1	3	2	1		.
		1	3	2	1
		p	1	1	p
		p	1	2	p
52.		1	2	1 2
52.		1	3	2	1	.
		1	3	2	1
		p	1	1	p