Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 2 Системы линейных уравнений 25

Глава 2. Системы линейных уравнений.

1. С и с т е м ы

л и н е й н ы х у р а в н е н и й . Система из m линейных уравнений с n переменными

имеет вид:

a11 x1

a12 x2

...

a1n xn

b1 ,

...

b ,

..........

где aij , bi , i 1,2,...m,

j 1,2,...n - коэффициенты перед переменными и свободные члены.

Краткая запись

Если ввести матрицу коэффициентов

n
aij xi
j 1
a	a
11	12
A a21	a22
... ...
	am2
am1	am2

bi , i 1,2,...m .

...	a		x
	1n		1
...	a2n	, матрицу переменных	X x2	и матрицу
...	...		...
...
...	amn		xn

	b
		1
свободных членов	B	b	, то система линейных уравнений может быть записана в матричной форме
свободных членов	B	2
		...

A X B .

2 . М е т о д ы р е ш е н и я с и с т е м ы л и н е й н ы х у р а в н е н и й .

1)Метод Гаусса. Метод заключается в последовательном исключении переменных путем некоторых элементарных преобразований, в результате чего система приводится к ступенчатому виду с нулями ниже главной диагонали. Переменные находятся, начиная с последних по номеру переменных.

2)Метод Гаусса-Жордана. Представляет собой продолжение метода Гаусса, заключающийся в том, что нули получают также выше главной диагонали. Элементы на главной диагонали приводят к единицам,

врезультате чего из полученной матрицы выписывается сразу решение системы.

3)	Метод Крамера. Переменные могут быть найдены по формулам Крамера x		j	,	j 1,2,...,n ,
		j


где -	определитель матрицы коэффициентов перед переменными A, j - определитель матрицы,
получаемой из матрицы A заменой j-го столбца на столбец свободных членов.
4)	Метод обратной матрицы. Из матричного уравнения AX B следует	X A 1B . Найдя
обратную матрицу и умножив ее на матрицу свободных членов, получаем матрицу переменных.

3. У с л о в и е с у щ е с т в о в а н и я р е ш е н и я .

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений имела решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы А системы был равен рангу расширенной матрицы A| B

этой системы, т.е r A r A | B .

Если r A r A | B , причем r A n , система имеет единственное решение.

Если r A r A | B , причем r A n , система имеет бесконечное множество решений, которое

может быть определенным образом структурировано. r переменных могут быть найдены через остальные n-r переменных. Эти r переменных называются базисными, остальные n-r переменных называются свободными. Переменная xi может быть включена в число базисных переменных, если определитель

матрицы из коэффициентов при них отличен от нуля. Решение системы уравнений, в котором n-r свободных переменных кладутся равными нулю, называется базисным.

4. О д н о р о д н ы е с и с т е м ы у р а в н е н и й . Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю. Общий вид однородной системы уравнений:

Глава 2										Системы линейных уравнений	26
a11x1	a12 x2				...	a1n xn				0,
a x	a	22	x	2	...	a	2n	x	n	0,
21 1		22		2			2n		n	,
..........	..........			..........		..........			..........	,
..........	a		x			a		x		0
a x	a	n2	x	2		a	nn	x	n	0
n1 1		n2		2			nn		n

Если ранг r A n , система имеет n-r независимых решений, причем любое решение однородной

системы является линейной комбинацией этих независимых решений. Каждое из n-r независимых решений называется фундаментальным решением, а совокупность этих n-r фундаментальных решений называется фундаментальной системой решений.

	1	1	2	0	1
	2	0	0	1	1
ПРИМЕР 1. Преобразовать матрицу	2	0	0	1	1	по методу Гаусса-Жордана.
	0	0	0	2	0
	1	1	2	1	2
	1	1	2	1	2

Решение. Основной элемент, на который будем ориентироваться, образуя в столбцах нули, выделим скобками.

1 1 2 0					1	1 1			2	0	1	1 1			2 0		1	1 1			2 0		1
	2	0	0	1	1		0	2	4	1	1		0	2 4		1	1		0	2 4		1	1
	2	0	0	1	1	~	0	2	4	1	3	~	0	0	0	2 2		~	0	0	0	2	2	~
	0 0		0	2	0		0	0	0	2	0		0	0	0	2	0		0	0	0	0	2
	1				2												2
	1	1	2	1	2		0	2	4	1	3		0	0	0	2	2		0	0	0	0	0

Переставим 3-й столбец на место 5-го столбца, 4-й и 5-й столбцы передвинем на один столбец влево:

1 1			0	1	2	1 1			0	1 2		1 1 0				0		2		1		1	0	0	2	1		0	0	0	0
	0	2 1		1	4		0	2	1	1 4			0	2	1 0			4			0	1	0	0	2		0 1		0	0 2
~	0	0	2	2	0	~	0	0	1	1 0	~		0	0	1	0		0	~		0	0	1	0	0	~	0	0	1	0	0	.
	0	0	0	2	0		0	0	0	1 0			0	0	0	1		0			0	0	0	1	0		0	0	0 1		0
	0	0	0	0 0			0	0	0	0 0			0	0	0	0		0			0	0	0	0	0		0	0	0	0	0
	0	0	0	0 0			0	0	0	0 0			0	0	0	0		0			0	0	0	0	0		0	0	0	0	0
												x 2x					3x			3	2,
														1		2				3		5,
ПРИМЕР 2. Решить систему линейных уравнений												2x1			3x2			4x3				5,
												2x			5x		2	x		3	2
														1			2			3

1)методом Гаусса,

2)методом Гаусса-Жордана,

3)с помощью обратной матрицы,

4)методом Крамера.

Решение.

1) Метод Гаусса. Образуем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду:

	1 2 3				2	1 2			3	2	1		2 3		2	1		2	3	2
	1 2 3				2	1 2			3	2	1		2 3		2	1		2	3	2
			2	3 4	5	~	0	1	10	9	~	0	1	10	9	~	0	1	10	9	.
			2	5 1	2		0	1	5	6		0	0	15			0	0	1	1
			2	5 1	2		0	1	5	6		0	0	15	15		0	0	1	1
															15
Отсюда x3 1, x 2		10 1 9, x 2				1,		x1 2 1 3 1 2,				x1 1 . Итак, решением системы уравнений является
x1				1

тройка чисел x2				1 .
x3				1

2) Метод Гаусса-Жордана. Продолжим элементарные преобразования с расширенной матрицей, образуя треугольник нулей выше главной диагонали

1		2	3	2	1		2	0	1	1		0	0	1		x
																x
																	1
																x		1
	0	1	10	9	~	0	1	0	1	~	0	1	0	1	. Тогда	x		1 .
	0	0	1	1		0	0	1	1		0	0	1	1			2
																x3		1
																x3		1

3) Метод обратной матрицы. Представим систему уравнений в виде матричного уравнения

	1		2	3	x1			2
A X B , где	A	2	3	4	, X x		, B	5	.
		2	5	1		2		2
		2	5	1	x3			2

Глава 2					Системы линейных уравнений	27
Решение матричного уравнения имеет вид			X A 1 B . Вычислим определитель матрицы			A
коэффициентов перед неизвестными:
			2	3
		1	2	3
	A	2	3	4	15 .
		2	5	1

Найдем присоединенную матрицу AP	и разделим ее на определитель										A	:
		1			1		23	13		17
	A 1		AP				10		5 10 .

		A			15		4
								1			1

Перемножив матрицы A 1 и B . Получим значения неизвестных:
		23		13		17		2			1
X	A 1 B	10		5		10		5	1 .
		4		1			1	2			1

4) Метод Крамера. Найдем главный определитель и определители матрицы коэффициентов, у которой один из столбцов заменен на столбец свободных членов. Неизвестные находятся по формулам Крамера

				2 3								1	2 3							1	2 2
		2		2 3								1	2 3							1	2 2
		5		3		4						2	5	4						2	3	5
x	A1	2		5		1	15	1, x		A2		2	2	1	15	1,	x		A3	2	5	2	15	1 .
									2									3

1	A		1	2		3	15				A	1	2	3	15				A	1	2	3	15
	A		1	2		3	15				A	1	2	3	15				A	1	2	3	15
			2	3		4						2	3	4						2	3	4
			2	5	1							2	5 1							2	5 1

																		3x1 x2					x3		x4			2x5			8,
ПРИМЕР 3. Найти какое-либо базисное решение системы уравнений																		x1 x2					x3		x4			x5			5,
																		2x			2x			3x			x			3x				6, .
																			1			2				3			4			5
																		2x		2	3x			x	4	3
																				2		3			4
Решение. Найдем ранг расширенной матрицы системы
3		1	1 1 2				8		1			1	1	1 1		5		1			1			1				1 1						5
3		1	1 1 2				8		1			1	1	1 1		5		1			1			1				1 1						5
	1	1	1	1 1		5				3		1	1 1 2			8			0		2			2				4 5						7
	1	1	1	1 1		5		~		3		1	1 1 2			8	~		0		2			2				4 5						7		~
	2	2 3		1 3		6				2		2 3		1 3		6			0 4					1 3 5										4
	0	2 3		1 0						0		2 3		1 0					0		2			3				1 0						3
	0	2 3		1 0		3				0		2 3		1 0		3			0		2			3				1 0						3
1		1	1	1 1				5		1		1	1	1		1	5				1			1			1 1							1	5
1		1	1	1 1				5		1		1	1	1		1	5
		2	2	4 5
~	0	2	2	4 5				7		~	0	2	2	4		5	7		~		0			2				2 4						5		7	.
	0	0	5	5	5		10				0	0	5	5	5		10				0			0			1		1					1		2
	0	0 5		5 5			10				0	0	0	0	0		0
	0	0 5		5 5			10				0	0	0	0	0		0

Минор в квадратных скобках, составленный из коэффициентов при переменных x1 ,																													x2 ,				x3 , отличен от

нуля. Ранг матрицы коэффициентов равен трем, ранг расширенной матрицы – также три. Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система имеет решения. Найдем те из них, которые называются базисными.

Положим переменные x1 ,					x2 ,		x3	основными,				переменные x4 ,														x5 - свободными и равными нулю. Тогда
																										x1		3
																										x1		2
	x x			2	x	3	5,																			x2		3
получим систему			1	2		3		. Решая ее,																				2	.
получим систему	2x2			2x3		7,		. Решая ее,				найдем базисное решение x3																2	.
	x	3	2																							x4		2
		3																								x4		0
																										x		0
																										x		0
																											5	0
ПРИМЕР 4. Найти какой-либо фундаментальный набор решений системы уравнений
								2x1		x2 2x3								2x4					x5 0,
								x x		2	x			3	2x			4	2x				5	0,
									1	2				3				4					5
									2x	2x			2		x	3		x		4	2x				5	0,
									1				2			3				4					5
								3x 2x					3		3x		4		3x			5		0
									1				3				4					5

Решение. Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных

Глава 2							Системы линейных уравнений		28
	2		1	2		2	1
		1	1	1		2	2
		2	2	1	1		2	.
		2	2	1	1		2
		3	0	2		3	3
		3	0	2		3	3
Используя метод Гаусса-Жордана, приведем угловой минор к диагональному виду
1		0	0	1	3
	0	1	0	2	7
	0	0	1	3	6	.
	0	0	1	3	6
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0

Угловой минор 3-го порядка не равен нулю. Ранг матрицы равен трем. Пусть x1 , x2 , x3 являются основными переменными, x4 , x5 - свободными. Тогда из полученной матрицы следует решение системы в виде

							x					x			4	3x			5		,
									1						4				5
							x2							2x4			7x5				,.
							x			3		3x			4	6x			5
										3					4				5
Это решение удобно записать в следующем виде
							x1									1						3
							x2										2					7
													x4						x5			6	.
							x3						x4				3		x5			6	.
							x4										1					0
							x4										1					0
							x		5								0					1
									5
Обозначим свободные			переменные						x4 ,					x5 ,				которые					могут принимать любые значения,
соответственно через c1 ,	c2 . Общее решение однородной системы уравнений теперь можно записать так:
				x1				1										3
				x2							2						7
					x		c				3			c			6			, где c , c					R .
					x		c				3			c			6			, где c , c					R .
						3	1				1					2		0				1		2
				x4							1							0
				x		5					0							1
						5
	1				3
		2				7
Два столбца элементов		3	и			6	есть						по			определению фундаментальные решения системы
		1			0
		0			1
		0			1

уравнений. Они образуют фундаментальный набор решений. Столбцы фундаментального набора линейно независимы. Любое решение однородной системы есть линейная комбинация фундаментального набора решений.

		ПРИМЕР			5. Найти одно из решений матричного уравнения A X B , где	1		2	4	,
		ПРИМЕР			5. Найти одно из решений матричного уравнения A X B , где	A	1	1	1	,
							1	1	1
0		1	2	3
B	1	2	0		.
	1	2	0		1

Решение. Первый сомножитель уравнения есть матрица размерами 2х3, свободный член – матрица размерами 2х4. Следовательно, матрица неизвестных должна иметь размеры 3х4. Напишем матричное уравнение в развернутом виде

1			x	x	x	x	0		1	2	3
		2 4 11		12	13	14
	1	1 1	x21 x22		x23	x24		1	2	0
				x	x	x					1
			x
			31	32	33	34

Перемножив матрицы, получим систему из 8 уравнений	с 12-ю переменными. Система
расщепляется на 4 системы, не связанные между собой по переменным.	Рассмотрим 1-ю из них.

x		2x		21		4x		31	0,	.
	11					x			1
	x		x		21		31
	11

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 185 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>