Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

	Глава 7																																								Классические методы оптимизации																				122

41.	z x2 y 1 x y																																																							Экстремума нет.
42.	z x5 y 4 x4 2 y 2																																																							umax 0,				0 0

	Найти	множество										векторов												x x1 ,						x2 ,					минимизирующих														функцию F x1 ,								x2 ,		и		найти
	минимальное значение функции. F x																													,	x			1 4x 4x2 6x													1 2x 9x2
																													1			2											1		1	2				1			2

43.	F x ,	x	2		5 5x2						4x 1 x									2		x2																															x 2,				4 ;		Fmin x 1
	1		2							1						1				2					2

44.	F x ,	x	2		2 5x2						2x 1 3x											2		2x				2	2x2																					x 1,						2 ;			Fmin x 1
	1		2							1						1						2						2			2

45.	F x ,	x		4 x x								6x							9x				2															x						x1		3	, где c R ;						Fmin x 4
45.	F x ,	x		4 x x								6x							9x																			x							c		, где c R ;						Fmin x 4
	1		2						1		1						2						2																					x2		1
	1		2						1		1						2						2


																																																		x1			1,5					0,5
46.	F x ,	x			1 4x										4x			2	6x					1 2x 9x								2																		x	c			1					0	, где
46.	F x ,	x	2		1 4x										4x				6x					1 2x 9x								2																		x2				1					0
	1		2								1						1					2							1			2																			Fmin x 2
																																																		c R ;	Fmin x 2

	Найти множество векторов x x1 ,																												x2 ,		x3 ,																			x1					2				1		1
	Найти множество векторов x x1 ,																												x2 ,		x3 ,																			x x			c			1		c		0		0		,
	минимизирующих функцию																																																			2		1		0			2	1		0
47.	F x ,	x ,			x 1 2x											x 2 4x2									x2				2x x					2x				x 4 4x 4x												x3						0				1		0
47.	F x ,	x ,			x 1 2x											x 2 4x2									x2				2x x					2x				x 4 4x 4x																			где		c1 , c2 R ;
	1		2		3								1						1					2				3			1		3				3				2				1		3										где		c1 , c2 R ;
	1		2		3								1						1					2				3			1		3				3				2				1		3
	, и найти минимальное значение функции.																																																									Fmin x 0 .
																																																										Fmin x 0 .

	Найти множество векторов x x1 ,																												x2 ,		x3 ,
	максимизирующих функцию																																																	x 1,							2 ;		Fmax x 0
48.	F x ,	x	2	,	x	3		13 6x											x		2			4x			2	x2		1 x								x		2		2								x 1,				0,			2 ;		Fmax x 0
	1		2			3				x								1		1							2		2							1				2
	10		2x				2x		2	x	3	2x2 ,
					1				2		3					3
	и найти максимальное значение функции.
	Найти базис векторного пространства, на котором функция																																																							1,					0 ,
49.	принимает наименьшее значение: F x																														min .																							e1		1,				1,	0 ,		.
49.	F x F x , x								, x			4x2 8x x														4x2				16 x					x x						16 x2									Например e					2	2,			0,		1		.
																																																							2
																									2														2
					1			2			3								1					1	2				2					3		1			2						3

	На координатной плоскости построить векторное множество,																																															заданное условием										F x min ,
50.	если	F x			F x ,							x	2		2 x x							2		1 x2 x2 .												Построить									векторное множество,												для		которого
									1				2						1			2							1		2
	F x 2 (начало любого вектора совпадает с началом координат).


	На координатной плоскости построить векторное множество,																																														заданное условием F x max ,
51.	если	F x F x ,										x		2		x2					2x					1 2x				2	4x				2	4x2					.			Построить векторное										множество, для
										1				2					1						1					2					2			2
	которого F x 3 (начало любого вектора совпадает с началом координат).

Экстремум неявной функции

52. Сформулировать определение экстремума функции двух переменных, заданной неявно.

53. Для неявной функции 2-х переменных написать необходимые условия.

54. Написать матрицу Гессе квадратичной формы для неявной функции.

	Исследовать на экстремум функцию u u( x, y ) , заданную неявно:

55.	u 2	x2 y 2	2x 4 y 1 0	umin 1,		2 2 , umax 1,	2 2

56.	x2	y 2 u 2	2x 2 y 4u 10 0 .	umin 1,	1 2 , umax 1,		1 6 .

Глава 7 Классические методы оптимизации 123



57.	4x2 9 y2			u 2 8x 36 y 24 0				umin 1,		2 4 ,		umax 1,				2 4

58.	25x2 y 2			16u 2 50x 64u 311 0 .				umin 1,			0 7 ,			umax 1,		0 3

59.	x2	y2	u2		2xy 2x 2 y 4u 31 0		umin x,	y 4 , umax x, y 8						, где	y x 1

	x3	y 2 u 2			3x 2 y 10 0	в области u 0 .					umax 1, 1
60.	x3	y 2 u 2			3x 2 y 10 0	в области u 0 .					umax 1, 1						13

61.	x4 y3		u 2		4x 3y 11 0	в области u 0 .								umin 1,		1 4
								umin 3			3			4 2
62.	x2	y 2	u 2		xu yu 2x 2 y 2u 2 0 .			umin 3	6 ,		3		6	4 2			6

								umax 3	6 ,		3		6 4 2				6
								umax 3	6 ,		3		6 4 2				6

Условный экстремум

63. Сформулировать определение условного экстремума функции двух переменных

64.Сформулировать задачу исследования функции 2-х переменных с одним уравнением связи на условный экстремум.

65.Сформулировать задачу исследования функции 3-х переменных с двумя уравнениями связи на условный экстремум.

66.		Сформулировать задачу исследования функции переменных с	уравнениями связи на
66.		условный экстремум.

67. В чем заключается метод Лагранжа исследования функции на условный экстремум?

68.Для функции 2-х переменных написать необходимые условия условного экстремума с использованием функции Лагранжа

69.С каким знаком следует взять множитель λ при составлении функции Лагранжа в задаче на условный экстремум?

70.Для функции 2-х переменных привести в геометрической форме (с помощью градиентов) необходимые условия условного экстремума с использованием функции Лагранжа

Может ли условный экстремум функции совпадать с ее локальным экстремумом? Существует ли такой

71.множитель Лагранжа?

72.Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 2-х переменных с одним уравнением связи, используя окаймленный гессиан.

73.Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 3-х переменных с одним уравнением связи, используя окаймленный гессиан.

74.Сформулировать достаточные условия условного экстремума функции 3-х переменных с двумя уравнениями связи, используя окаймленный гессиан.

75.

76.

Найти условный экстремум функции:

f xy, f c.extr .

x y 1

f		4x 2 y,			f c. extr	.
	2	y	2	5		.
x		y		5

			1		1	1
		fc. max		,			.
		fc. max	2	,	2	4	.
			2		2	4

fc.max 2,	1 10,	fc.min 2,			1 10

		Глава 7																									Классические методы оптимизации																																	124
	f				x 2 y,												f	c. extr				.																									fc.max 0,												1 2
77.				y				2			1											.																									fc.max 0,												1 2
	x			y							1
	z x 2 y																												zmax (1;2 )										5,				zm in( 1; 2 ) 5
78.				2		y					2		5																zmax (1;2 )										5,				zm in( 1; 2 ) 5
	x					y							5
79.	f				x2 y 2												2 x y 3,							f	c. extr		.																fc.min 3,												1 21
79.																											.																fc.min 3,												1 21
	2x y 7

	f				x y xy , f														c. extr												fc. m ax x,									y 1,							где y 1-x
	f				x y xy , f														c. extr					.																																	1 2
80.		x	2			y				2			1											.							f									1		,					1										1 2							2
		x				y							1																		f											,
																																c. m in																													2
																																									2								2												2
	z x2 y 2																																															18						12									36
																																																18						12				)					36
81.	x						y				1																															zmin (										;						)					13
							3				1																																					13 13															13
	2						3
																																															4				3							5
							x							y	,		f	c. extr																						fc. m ax							5		,											,
	f														,		f	c. extr				.																									5				5						12
82.							3							4								.																											4						3									5
	x2					y				2			1																											fc. m in									4		,				3									5
																																								fc. m in									5		,				5									12
																																																	5						5									12
																																	b										a														a2 b2
							x							y														fc. max											,																				ab
							x							y	,		f	c. extr													a	2		b				2				a	2	b					2										ab
	f														,		f	c. extr				, где a 0, b 0 .									a			b								a		b
83.							a							b								, где a 0, b 0 .
	x2					y				2			1																b													a														a2 b2
																																		,																								ab .
																											fc. min		2	b		2		,						a	2	b			2													ab .
																												a		b										a		b
					x				2		y					2	,	f c. extr																ab		2							a			2	b											a		2		b		2
																																				2										2														2				2
	f
84.	x						y															.											2						2	,			2																2						2
84.	x						y						1									.						fc.min					2		b				2	,			2		b					2									2		b				2
							b						1																	a					b							a			b												a				b
	a						b
	f				x2 12xy 2 y 2 ,																	extr																											3												425					;
85.	f				x2 12xy 2 y 2 ,																f	extr				.														fc. m ax											,				4											;
85.						2	y					2		25												.																							2													4
	4x						y							25																									fc.min 2,													3 50 .
																																							fc.min 2,													3 50 .
86.	f				22x 66 y 4,															f	c. extr					.														fc.max 2,												6 436 ;
86.			2			y				2			40													.														fc.min 2,													6 444 .
	x					y							40																											fc.min 2,													6 444 .
																																			f							1,								1							2							2		;
																																			f							1,															2									;
	f				x2						xy 2 y 2 ,										c. extr															c. m ax																											2
87.	f				x2						xy 2 y 2 ,									f	c. extr																														2												2
87.			2			2 y						2		2
	x					2 y								2																					f							1,								1							2							2		.
																																			f							1,															2									.
																																					c. m in																										2
																																																			2												2
88.	f				x2						3x y 2 4 y 1,												f	c. extr				fc. max 2,			6 436;																						6				8				5
88.			2			y				2			4															fc. max 2,			6 436;												fc. m in												,						5
	x					y							4																																								5				5
89.	f				x2									3x y 2					y 2,				f		c. extr			fc. max 1,							0				0,																	1									7
89.			2			xy x 0																						fc. max 1,							0				0,			fc. max 0,
	x					xy x 0																																																		2									4
																																									fc.min 1,														1 3;
90.	f				x3						x2 y y 2								x y,					f	c. extr																										1		, 2								158					;
90.						2x y 2 0																																				fc. min									3		, 2									27				;
	xy					2x y 2 0																																													3											27
																																											fc. max								1,								2 6

	Глава 7																								Классические методы оптимизации																				125
																											fc.min									1						1						1
	f		2x2 xy y 2															2x y,				f	c. extr				fc.min											,										8	;
91.	f		2x2 xy y 2															2x y,				f	c. extr													4						4						8
91.		2	xy					2 y						2		0																		5						5							25
	x		xy					2 y								0																		5						5							25
																										fc.min							11					,		22							44		;
																																	11							22							44
																																1									1						1
	f		x2							3xy y 2									2x 3y,				f c. extr					fc.min									,										12		;
92.	f		x2							3xy y 2									2x 3y,				f c. extr									6									6						12
92.				2	y				2		x y 0																										2						5				16
	x				y						x y 0																		fc.max								2						5				16
																													fc.max											,							3		;
																																					3						3				3
																										7							9												2			2
	f		cos2							x cos2								y,		f c. extr					fc. m ax	8		k,					8					k							2				,
93.																										8							8												2
93.		x
	y	x																								3	k,					5												2 2
									4																fc. m in	8	k,						8			k									2
																										8							8												2
	f		x y xy,														f	c. extr				.																fc. max 1,							1 3
94.		y						2														.																fc. max 1,							1 3
	x	y						2
	f		4x2								y 2						z 2 ,			f	c. extr						fc.max 2,														2 20
95.																											fc.max 2,											0,			2 20
	4x z 10
																										fc.min						1							2				2
	f		x 2 y 2z,																f	c. extr						fc.min						3		,					3		,				3
96.	f		x 2 y 2z,																f	c. extr												3							3				3
96.		2	y				2		z			2			1																														2
	x		y						z						1																	1						2							2	3 .
																										fc.max						3			,			3		,						3 .
																																3						3							3
	u x 2 y 2z
97.		2	y				2		z			2			9										umax (1; 2;2 ) 9,				u m in( 1;2; 2 ) 9
97.	x		y						z						9										umax (1; 2;2 ) 9,				u m in( 1;2; 2 ) 9
98.	f		3x y 3z,															f	c. extr							fc.min 3,										1,					3 19
98.		2	y				2		z			2			19														f								3, 1,							3 19 .
	x		y						z						19														f		c.max						3, 1,							3 19 .
																															c.max
	u xy2 z 3
99.		y z 12, x 0, y 0, z 0																										umax ( 2;4;6 )															2 4			2	6		3

	x
			x			2		2 y					2			3z		2			c. extr						fc.min 6,														2 66 .

100	f																		,	f																		3,
	x	y z								11
			3x						2		y					2	z	2			c. extr				fc.max 1,								6,							3 48

101	f																		,	f
	x	2 y					z						16
102	f		x y z 2,																f	c. extr								fc.max 4,											3,						5 14 ,
102		2	y				2		z			2			2x			4z 22									f		2,										3,			1 4 .
	x		y						z						2x			4z 22									f	c.min	2,										3,			1 4 .
																												c.min
103	f		x 2 y z 3,																	f	c. extr							fc.max 2,												3,					0 11 ,
103		2	y				2	z				2		2 y				4z 19									f			2,							5,						4 13 .
	x		y					z						2 y				4z 19									f	c.min		2,							5,						4 13 .
																												c.min
	f		x2					y 2					z 2 2 y 1,									f	c. extr					fc.max 4,											3,					0 32 ,
104		2	y				2		z			2		2x				17										fc.min 2,																	0 8 .
	x		y						z					2x				17										fc.min 2,													3,				0 8 .
105	f		8x 12 y 8z,																f	c. extr						fc.max 4,												2,					1 64
105		2	2 y					2		4 yz 32																		fc.min 4,															1 64
	x		2 y							4 yz 32																		fc.min 4,											2,				1 64
106	f		x2					y 2						z 2 2x 2 y 2z, f										c. extr	fc.max 4,								4,							4 72 ,
106		2	y				2		z			2		2x				2 y 2z 24										fc.min 2,															2 0 .
	x		y						z					2x				2 y 2z 24										fc.min 2,											2,				2 0 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>