Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 3 Векторная алгебра 51

Геометрические векторы

1.	Вычислить ( a b, a b )2 , если																		2						4,aˆb 1350 .																																																							40
1.	Вычислить ( a b, a b )2 , если																a		2		2 ,			b	4,aˆb 1350 .																																																							40
2.	Построить параллелограмм на векторах OA =(1,1,0) и OB =(0,-3,1),																																																			OC				=(1,-2,1),												AB =(-1,-4,1),
																																																																													3
	определить диагонали параллелограмма и их длины.																																																									OC									6 ,					AB								2 .
	определить диагонали параллелограмма и их длины.																																																									OC									6 ,					AB								2 .
																												a b	a b																																																	900
3.	Даны два ненулевых вектора a и b таких, что																														. Найти угол между векторами a и b .
3.	Даны два ненулевых вектора a и b таких, что																														. Найти угол между векторами a и b .
	Найти угол между векторами с и d, если																																																												arccos19 21
4.	c 0,5a, d 2a b, a 4, 2, 4 ,																				b 4,						2, 4 .																																		arccos19 21
5.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a 2,																																															1, 0 , b 0,														2,						1 .												900
6.	Найти проекцию ab												вектора a							4				на направление, определяемое вектором																					b																		a			b		4								,				2
6.	Найти проекцию ab												вектора a			1,				4				на направление, определяемое вектором																					b				2,						1 .											b							5							5
7.	Найти проекцию ab												вектора a i 5k на вектор b 3 j 4k																																													ab 0,										12 5 ,											16 5
8.	Найти вектор d , перпендикулярный векторам a i k и b 2 j k , его проекция																																																											d								3		i				3			j				3			k
																																																																				3						3							3
		dc		на вектор c i 2 j 2k равна 1.
		dc		на вектор c i 2 j 2k равна 1.																																																														2							4							2
	Вычислить координаты единичного вектора е, если он																																		6			7							6													6				7										6
9.	параллелен вектору a 6, 7, 6 .																																e1			,						,				, e2													,					,
9.																																	e1		11	,						,				, e2													,					,
																																			11			11						11												11					11										11
	Вычислить координаты вектора е, если он параллелен вектору																																						e										1			,	1													0, -					1					,
	Вычислить координаты вектора е, если он параллелен вектору																																						e						0,				1			,	1				, e									0, -					1					,				1
10.	a 1, 2,						1 и равен по длине									вектору b 0,											1, 1 .													1																				2
10.	a 1, 2,						1 и равен по длине									вектору b 0,											1, 1 .													1									2						2					2													2
																																																	2						2																		2									2
	Найти единичный вектор e , одновременно перпендикулярный векторам																																														4							3																	4					3
11.	a 3, 6, 8 и b 1, 0, 0 .																																				e1						0,						,						, e2							0,											,
11.																																					e1						0,				5		,						, e2							0,											,
																																															5							5																	5 5
12.		При каких значениях x и y векторы a x, 2, 5 , b 1,																												y,		3 коллинеарны?																												x								5			3		, y 6
																																																																							3									5
13.	Найти косинус угла между векторами AB и AC , если A 4,																															0,		4 , B 1,							6,						7 , C 1,									10,							9 .																	1
14.	Вычислить тупой угол между векторами a b и a b , если a 1,																																	2, 1 ,			b 2,								1,					0 .															arccos																1
14.	Вычислить тупой угол между векторами a b и a b , если a 1,																																	2, 1 ,			b 2,								1,					0 .															arccos
																																																																																11
	Найти направляющие косинусы вектора																							a 2i 3 j 6k .																									2													3																		6

15.																																										cos 7 , cos 7 , cos 7
15.																																										cos 7 , cos 7 , cos 7
16.	Вектор составляет с осями ОУ и OZ углы 600																										и 1200 . Какой угол он составляет с осьюОХ?																																														450 ,1350
17.	При каком значении векторы a ,																							3,				2 и b 1,		2,			ортогональны?																																										6
18.	Пусть векторы a и b 0 ортогональны. При каком значении параметра вектор a b ортогонален																																																									a						2
																																																										a						2

	вектору a b ?																																																																																	b	2
	вектору a b ?																																																																													19				b	2
19.	Векторы 3a 5b, 2a b взаимно перпендикулярны, векторы a 4b,																																		- a b тоже. Найти cos( aˆb ) .																																											19


																																																																												5		43
																																																																												5		43
	Даны три ненулевых вектора a , b и c , каждые два из которых неколлинеарны. Найти угол между																																																															00
20.	векторами b и c a , если a b \|\| c																			и b c \|\| a .																																												00
	векторами b и c a , если a b \|\| c																			и b c \|\| a .
21.	В плоскости находятся три вектора a,																						b, c . Известно, что
		a	2,		b	3,		c	5,				aˆb 600 ,			bˆc 1200 . Найти длину вектора d a b c .																																																									57 , 3 3
																																																																									57 , 3 3

22.	Даны длины векторов													a	11,	b		23,				a b				30 . Найти длину вектора a b .																																																						20
22.	Даны длины векторов													a	11,	b		23,				a b				30 . Найти длину вектора a b .																																																						20
23.	Найти угол между векторами a и b , если a b, a b 2a b,																																2a b 56,								a			2,						b	3 .																											1200
23.	Найти угол между векторами a и b , если a b, a b 2a b,																																2a b 56,								a			2,						b	3 .
	Пусть e1 ,						e2 ,			e3			- единичные векторы, направленные вдоль осей координат, и
24.	Пусть e1 ,						e2 ,			e3			- единичные векторы, направленные вдоль осей координат, и																																																	6						,					2				,			3
24.	a 6e1 2e2 3e3 . Найти косинусы углов, образуемых вектором a с осями координат.																																																													6						,					2				,			3
																																																										7						7										7
	Вектор a 1,									2,			5 разложен по единичным векторам e1 ,																				e2 ,		e3 , направленным																											b1							4,				2,						0
25.	вдоль осей координат. Найти вектор b , лежащий в плоскости ХОУ и перпендикулярный																																																													b1							4,				2,						0
25.																																																						b2 4,																		2, 0

	вектору a , если										b	2 5 .
	вектору a , если										b	2 5 .

	Глава 3												Векторная алгебра		52
26.	Единичные векторы e1 ,	e2 , e3	удовлетворяют условию e1 e2						e3	о . Найти					1,5
26.	e1 ,e2 e2 ,e3 e3 ,e1	.													1,5
	e1 ,e2 e2 ,e3 e3 ,e1	.
	Найти координаты всех векторов, перпендикулярных векторам												4
	a 2e2 e3 ,b e1 2e2 3e3												4
27.	a 2e2 e3 ,b e1 2e2 3e3		и образующих острый угол с вектором										c	1	, где 0
	d e1 e2 e3 .													2
	d e1 e2 e3 .													2
	Вектор OA составляет с осями ОХ,			ОУ,	OZ углы равные			,			,		. Доказать, что векторы		OA и OB
28.					3				3			4
28.	перпендикулярны, где точка B 2,			2			.
	перпендикулярны, где точка B 2,		2,	2		2	.

29.Показать, что вектор ( a,b )c ( a,c )b перпендикулярен вектору a .


	Векторы a, b,			c		лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы												2	.	a 1,5b 3c
30.	Разложить вектор a					по векторам b и c , если						3,		2,		1.		3		a 1,5b 3c
	Разложить вектор a					по векторам b и c , если					a	3,	b	2,	c	1.
31.	Выразить вектор с через векторы а и b, если a 4, 2 , b 3, 5 , c 1, 7 .																				c a b
32.	Разложить вектор d 3i 2 j k по векторам a 2i j, b i j 2k, c 2i 2 j k																			d 3a b c
33.	Даны векторы a 2,						3,		5 , b 1,	1,	3 , c 3, 7,						1 . Найти координаты			d 2,	1,	1
33.	вектора d , если d,a 12, d,b 6, d c .																			d 2,	1,	1
	вектора d , если d,a 12, d,b 6, d c .
34.	Даны векторы a 2, 1, 3 , b 1, - 3, 2 ,									c 3, 2, - 4 . Найти вектор x , если										x 2,	3,	2
34.	x,a 5, x,b 11, x,c 20																			x 2,	3,	2
	x,a 5, x,b 11, x,c 20
			3,		1,		c	4, a b c о , вычислить (a,b) (b,c) (c,a) .
35.	Зная, что	a	3,	b	1,		c	4, a b c о , вычислить (a,b) (b,c) (c,a) .														-13

Сумма множеств по Минковскому

36. Сформулировать определение алгебраической суммы двух множеств векторов по Минковскому.


	Найти графически алгебраическую сумму множеств по Минковскому:
37.	Отрезок A x 0,			1 ,		2 , вектор B x0								1,		1 .
38.	Отрезок A x 2,			0,			1 ,		вектор B x0 1,							1 .
39.	Отрезок A x x,			y , где					y x, 1 x 2 ,							вектор B x0 0, 2 .
40.	Луч A x x, y , где						y x, x 0 , вектор B x0											1,	3 .
41.	Прямая A x x,		y ,			где y x 1 , вектор B x0											1,		2 .
42.	Прямая A x x,		y ,			где		y x , отрезок							В x 0, 0,					1 .
43.	Квадрат A x 1,			2 ,		2,		3 , вектор B x0 1, 2 .
44.	Отрезок A x 0,			1 ,		0 , отрезок						В x 0,				0,	1 .
45.	Отрезок A x 0,			1 ,		1 ,		отрезок				В x 2,				0,	1 .
46.	Отрезок	A a x,		x , где					0 x 1, отрезок							В b y,			y , где		1 y 2
47.	Отрезок	A a x,		x , отрезок							В b x,				x ,		где 0 x 1.
48.	Квадрат	A x 1,			1 ,		1, 1 , отрезок								В b 1, 0,				1
49.	Квадрат	A x 1,			1 ,		1, 1 , круг							B b x,			y , где			x 2 y 2	1.
50.	Квадрат	A x 1,			1 ,		1, 1 , круг							B b x,			y , где			x 1 2 y 2		1.
51.	Прямоугольник A x 1,								1 ,	2, 2 , прямоугольник										A x 2,		2 , 1,	1
	Множество A x x,					y ,												В b x, x , где 2 x 4
52.								где		x		y	1, отрезок
53.	Множество A x x,					x ,		отрезок				В x 0,				0,		1 .

54.Множество A x x, sin x , отрезок В b 0, 1, 2

55.	Круг	A a x,	y , где	x 2 y 2		1,	вектор B b 1, 1 .
56.	Круг	A a x,	y , где	x 2	y 2	1,	отрезок	В b 0, 0, 1 .
57.	Круг	A a x,	y , где x 2 y 2 1, отрезок					В b 1,	2 , 1
58.	Круг	A a x,	y , где	x2	y 2	4 ,	круг B b x, y ,		где x 2 y 2	1.
59.	Круг	A a x,	y , где	x 2	y 2	1,	и круг B b x, y , где x 1 2 y 2				1.
60.	Круг	A a x,	y , где	x2	y 2	4 ,	круг B b x, y ,		где x 1 2	y 1 2 1 .

Глава 3

Векторная алгебра

61.

Круг

A a x,

y , где

x 2 2

y 2

1 , круг

B b x,

y ,

где x 2 2 y 2 1

62.

Круг

A a x,

y , где

x 3 2

y 2

1 , круг

B b x,

y ,

где x 2 y 3 2

63.

Круг A a x,

y , где

x 2 y 2

1 4 ,

окружность B b x,

y ,

где x 3 2

y 2

64.

Окружность A a x,

y , где

x2 y 2

1 , окружность

B b x,

y , где x 1 2

y 1 2

65.Отрезок A a 0, 1 , 1 , вектор B b 0, 1 , вектор С с 1, 0 .

66.Отрезок A a 0, 1 , 0 , отрезок В b 0, 0, 1 , вектор С с 1, 1 .

Элементы аналитической геометрии

67.	Найти расстояние между двумя точками						(	) и	(			).
68.	Найти единичный вектор				, сонаправленный вектору				(		).
	Составить уравнение прямой, проходящей через точку (									)		a)
69.	параллельно вектору			(		)								(
69.	a)	в векторной форме;
	a)	в векторной форме;										b)	{
	b) в виде системы линейных уравнений.											b)	{
	b) в виде системы линейных уравнений.
	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (										)	)
	параллельно вектору ,				(	),	(		)			)
70.	параллельно вектору ,				(	),	(		)			(		),
70.	a)	в векторной форме;										(		),
	a)	в векторной форме;										)
	b) в виде системы линейных уравнений											)
	b) в виде системы линейных уравнений
71.	Найти проекцию вектора				на направление, задаваемое произвольным вектором .
72.	Задано уравнение прямой в векторной форме								, где		(		),	(
72.	Уравнение прямой записать системой линейных уравнений.
	Уравнение прямой записать системой линейных уравнений.
73.	Задано уравнение прямой системой линейных уравнений {
73.
	Уравнение прямой записать в векторной форме.
	Задано уравнение плоскости в векторной форме											, где
74.	(	),	(	),		(	). Уравнение плоскости записать как

линейное уравнение.

, где	(
)
	, где
(	);

Например,

( ),

75.	Задано уравнение плоскости линейным уравнением
	Уравнение плоскости записать в векторной форме.

76.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку					(
	(	).

77.	Найти координаты проекции точки			(	) на плоскость
78.	Найти координаты проекции точки			(	) на плоскость
79.	Найти проекцию вектора		(	) на прямую		, где
80.	Найти проекцию вектора		(	) на плоскость
81.	Найти проекцию вектора		(		) на плоскость
82.	Найти расстояние от точки (			) до плоскости		.

83.Найти длину отрезка оси , заключенной между плоскостями

84.	Найти длину отрезка прямой			, где	(	),
84.	плоскостями		и	.
	плоскостями		и	.
	Найти расстояние между параллельными прямыми
85.	)	и	⁄ ;
	б)		и

.				,
.	где, например,			(
	где, например,			(
		(	),	(
) перпендикулярно вектору
.
		.
(	),	(	).
.
.
		и		.
(	), заключенной между

86.	Найти расстояние между плоскостями			и	.
87.	Написать уравнение касательной прямой к линии уровня функции				(	)	(	)
87.	в точке (	).					(	)
	в точке (	).
88.	Составить уравнение прямой в виде системы линейных уравнений, проходящей через две
88.	известные точки (		) и (	)
	известные точки (		) и (	)
89.	Через точку (		) провести прямую, параллельную оси .
90.	Составить уравнение плоскости, проходящей через три известные точки				(		) и

√

( )

√

(		)
	\| \|

{

, где

( )

	),
	)
(		)
(		)

			√

			√


			√


			√
		1

			√
	a)

			√
			√
		,

	b)		√
	b)

		√

(		)
	{
	{

Глава 3

Векторная алгебра

	(	) (		).
91.	Составить уравнение плоскости в виде линейного уравнения, проходящей через две
	известные точки		(	) и (	) в направлении вектора	(	)

92.Найти координаты точки пересечения прямой {

93.	Найти координаты точки пересечения прямой
	(	) и плоскости				.

94.	Найти угол между прямыми					и
	(	)	(	)	(	).

95.Найти угол пересечения двух плоскостей

96.	Найти угол пересечения между плоскостью
	(	),	(	).

97.Доказать, что уравнение прямой можно записать в виде

и плоскости		.
, где	(	),
, где	(	),
и –		.
и прямой		, где

98.	Составить уравнение прямой в виде системы линейных уравнений, которая
98.	перпендикулярна плоскости						и проходит через точку (			).
	перпендикулярна плоскости						и проходит через точку (			).
	Составить уравнение плоскости в виде линейного уравнения, проходящей через
99.	точку (		) и параллельной прямым				и		, где
	(	),	(		)	(	).
100.	Составить уравнение плоскости в виде линейного уравнения, проходящей через
100.	точку (	)	параллельно плоскости					.
	точку (	)	параллельно плоскости					.
101.	Составить уравнение плоскости в виде линейного уравнения, проходящей через точку
101.	(	) перпендикулярно плоскостям						и		.
	Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
102.	параллельно прямой					, где	(	),	(	)
	(	)	(		).
103.	Найти расстояние между скрещивающимися прямыми								и	, где
103.	(	),	(	),	(	)	(	).
104.	В какой точке прямая, параллельная плоскости								и проходящая через точку
104.	(	), пересекает ось
	Доказать, что скалярное произведение векторов								и	, где векторы
105.						(	)(	)
	коллинеарны, равно (			)	(	) ((	)(	)) (	).

( )

{

√

( )

не

N-мерные векторы

106.	Сформулировать определение n -мерного вектора.
107.	Сформулировать определение линейной зависимости и независимости n -мерных векторов.
	Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми?
108.	a1 2,		1,		3 , a2 1, 4,				1 ,	a3	0,	9, 5											Да
109.	a1	1,	2, 0 , a2				3,	1,	1 , a3		0, 1,		1										Нет
110.	a1	5,	4, 3 , a2				3,	3, 2 , a3		8, 1,		3											Да
111.	a1	4,	5,		2, 6 , a2			2,	2,	1,	3 , a3		6, 3,	3,	9 , a4 4,	1,	5,	6					Да
112.	a1	1,	0, 0,			2, 5 , a2 0, 1, 0,					3, 4 ,		a3 0, 0,	1,	4, 7 , a4 2,		3, 4,			11,	12		Нет
113.	a1 1,		0, 0, 0, 0 , a2 0, 0, 1,								0, 0 , a3 0, 0, 0,				0, 1 , a4 0, 0, 0, 1,					0 ,			Нет
113.	a5 0,		1, 0, 0, 0																				Нет
	a5 0,		1, 0, 0, 0
114.	a1 1,		0, 1, 0,				0 , a2 0, 2, 0, 0, 3 , a3 1, 0,								0, 0, 3 , a4 0, 1, 0,					1, 0 ,			Нет
114.	a5 0,		0, 1, 0, 0																				Нет
	a5 0,		0, 1, 0, 0
	Найти все возможные значения 1 , 2 ,... n , при которых выполняется равенство 1a1 2a2																					... nan	0 для
	векторов a1 ,a2 , ... an , и сделать вывод о линейной зависимости или независимости векторов.
115.	a	1,	2 ,a	2		2, 3												1			0 . Векторы независимы.
115.	1			2														2
																		2			0
116.	a 2,		4 ,a	2		16,		32							1	c 8 ,			где c R . Векторы зависимы.
116.	1			2
															2		1

		Глава 3																			Векторная алгебра			55
		3,	1, 4 , a				2,	4, 12 , a				6,	5, 22	1				1
117.	a	3,	1, 4 , a			2	2,	4, 12 , a			3	6,	5, 22			2	c	1,5		, где c R . Векторы зависимы.
117.	1					2					3					2
															3			1
															3			1
		3, 1,	2 , a		7, 5,			3 , a		4, 4,			1				1					0
118.	a	3, 1,	2 , a	2	7, 5,			3 , a	3	4, 4,			1						2			0	. Векторы независимы.
118.	1			2					3										2
																		3				0
																		3				0


119.	a1 1,		2, 1 , a2			3, 7,		2 ,	.
	a3	1,		11, 4

120.	a1 1,			3, 2 ,a2		3, 0,		2 ,a3	1,			1,	4 .
121.	a1 2,			1,	1,		0 , a2 1, 2,				2, 1 ,
	a3	0,		1, 0, 1 , a4 4,				2, 3,			5 .

122.	a1 2,			3,	1,		4 , a2 3,			2,			2,	3 ,
	a3	1,		1,	1,		1 , a4 4,				2, 1,			5

123.	a1 1,			2,	1,		0 , a2 2,		1,			2,	3 ,
	a3	1,		0, 1,			4 , a4 4,		1,		0,		7

124.	a1 4,			1,	0,	5 , a2 1,			3,		4,		8 ,
	a3	3,		4,	4,	3 , a4 6,			8,			8,	6

125.	a1 4,			1,	3,		6 , a2 1,		3,		4,		8 ,
	a3	0,		4,	4,	8 , a4 5,			8,			3,		6

			1								2
						c					1			, где				c R . Векторы линейно зависимы.
				2		c					1			, где				c R . Векторы линейно зависимы.

				3								1
					1							0
									2				0		. Векторы линейно независимы
									2
													0
						3							0
									1
				1					1
			2							2			, где c R . Векторы линейно зависимы.
			3		c					3			, где c R . Векторы линейно зависимы.
			3							3

				4						1
				4
											1
					1						1
					2							1		, где				c	R . Векторы линейно зависимы.
									c					, где				c	R . Векторы линейно зависимы.
					3							1
												0
					4
									1
			1						1
		2							1
					c				1		, где c R . Векторы линейно зависимы.
			3

								1
		4						1
								1								2
		1						1								2
	2							1								2			где c1 ,c2 R . Векторы линейно
	2			c1				1		c2						2	,		где c1 ,c2 R . Векторы линейно
	3						1									0

	4							0							1
	4							0							1
зависимы.
																					4	23
																		1			4	23
																		2			16		27		R .
																				c1	13	c2	0	, где c1 ,c2	R .
																		3			0		13
																		4			0		13
																		4

Векторы линейно зависимы

126.Доказать, что система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, линейно зависима.

127.Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

128.Доказать, что если часть векторов системы линейно зависима, то и вся система векторов линейно зависима.

129.Доказать, что любая часть линейно независимой системы векторов сама линейно независима.


130.	Даны векторы a1 2,						1 , a2	4,		2 . Можно ли подобрать такие коэффициенты
130.	чтобы векторы b1 1a1 2a2							и b2 3a1 4a2 были линейно независимы?
	чтобы векторы b1 1a1 2a2							и b2 3a1 4a2 были линейно независимы?
131.	Решить предыдущую задачу для векторов a1 2,										1 , a2		2,	1 .
	Вычислить ранг системы векторов:
132.	a1	2, 1,	1,	1 , a2 1,			3, 1, 1 , a3 1, 1,			5, 1 , a4	1, - 4, 4,		0 , a5	0, 1, -13, -1 ,
	a6	2, 3,	3,		1
	Вычислить ранг и указать возможный базис систем векторов:
133.	a1 1,		2, 2 , a2				1, 2,		3 , a3 1,		2,	2 .
134.	a1 1, 1,			1, 1 , a2 1, 2,				0, 3 , a3 1, 1,			2, 3 ,
134.	a4 2, 2,			4,		6
	a4 2, 2,			4,		6
135.	a1 4,		1,	0,		5 , a2 1,		3,	4,	8 , a3 3,		4,	4, 3 ,
135.	a4 6,		8,		8,	6
	a4 6,		8,		8,	6

1 , 2 , 3 , 4 , Нет

Да

2; например a1 , a2 .

3; например a1 , a2 , a3

2; например a1 , a2 .

			Глава 3														Векторная алгебра															56
136.	В некотором базисе e1 ,				e2	заданы векторы a1 1,				1 ,	a2	2, 3 ,		x 2, 1 . Найти														x	4a1 a2
136.	разложение вектора х по базису						a1 , a2 .																					x	4a1 a2
	разложение вектора х по базису						a1 , a2 .
137.	Даны векторы a e1 e2 e3 , b 2e2								3e3 , c e2	5e3		. Показать, что векторы a,b,c												d 2,								2,				1
137.	образуют базис. Найти координаты вектора d 2e1 e2										e3		в этом базисе.											d 2,								2,				1
	образуют базис. Найти координаты вектора d 2e1 e2										e3		в этом базисе.
	Разложить вектор x 1,					3 по базису a1 1, 1, 1 ,a2						1, 1, 0 ,a3 1, 1, 1 .												x					3							3
138.					2,																									,		2,
138.					2,																								2	,		2,				2
																													2							2
	Векторы e1 , e2 , e3 , e4 , e5					образуют ортонормированный базис. Найти
139.	скалярное произведение и длины векторов																( x, y ) 4,						x		6 ,				y						15
	x e1 2e2 e5 , y 3e2 e3 e4							2e5
	Образуют ли векторы a 1,					2,	1 , b 3, 1, 1 , c 4, 1,						1 базис? Если да,												3				8						5
	разложить вектор d 1,				1, 0																				3				8						5
140.							по этому базису. Если нет,					дополнить до базиса,									Да. d							,				,
140.							по этому базису. Если нет,					дополнить до базиса,									Да. d							,				,
	выбирая из векторов a,b,c,d.																								7				7						7
	выбирая из векторов a,b,c,d.
	Векторы e1 , e2, ... , en и x заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e1 , e2, ... ,																																	en
	сами образуют базис. Найти координаты вектора x в этом базисе.
141.	e1 1, 1, 1 , e2			1, 1, 2 ,	e3 1,		2, 3 , x 6, 9, 14 .																			x 1,								2,		3
142.	e1 2, 1, 3 ,			e2 3, 2,	5 , e3		1, 1, 1 , x 6, 2, 7																				x 1, 1, 1
143.	e1 1, 2, 1, 2 , e2 2, 3, 0, 1 , e3 1, 2, 1, 4 ,																							x 0,							2, 1, 2
143.	e4 1, 3, 1, 0 , x 7, 14, 1, 2																							x 0,							2, 1, 2
	e4 1, 3, 1, 0 , x 7, 14, 1, 2
	e1		1, 1,1, 0 ,													2x1 x2 x3						x2 x3 2x4
	e2		1, - 2, 0,1 ,											x		2x1 x2 x3				, x		x2 x3 2x4											,
	e2		1, - 2, 0,1 ,											x						, x													,
			1, 0, 2, 1 ,											1	4			2			4
144.	e3														4						4
144.	e3								x x1 ,	x2 ,	x3 ,		x4 , где				x1 x3 x4				2x1 x2 x3								4x4
	e	4	0, 1, 1, 1 ,											x			x1 x3 x4		, x		2x1 x2 x3								4x4
	e		0, 1, 1, 1 ,											x					, x
														3	2			4			4
	x x1 , x2 , x3 , x4														2						4
	x x1 , x2 , x3 , x4				e ,			e
	Векторы нового базиса				e ,		e ,	e	заданы своими			координатами			в старом			базисе
						1	2	3


145. e ,					системой	e1
145. e ,	e	2	, e	3	системой	e
1		2		3		2
						e
						3

a11e1 a21e2

a12e1 a22e2

a13e1 a23e2

a31e3 ,	a11	a12	a13
a32e3 , Найти матрицу перехода от старого базиса		a22
	a21		a23
a33e3 .		a32
	a31		a33

к новому.

Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:

а) поменяются местами две строки;

146.

а) поменять местами два вектора первого базиса?

б) поменяются местами два столбца;

б) поменять местами два вектора второго базиса?

в) произойдет симметричное отражение

в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?

матрицы относительно ее центра.

Матрица перехода от базиса 1 к базису 2 равна T12 . Найти матрицу перехода T21 от базиса 2 к

147.

базису 1.

T21 T12

148.

Матрица перехода от базиса 1 к базису 2 равна T12 , матрица перехода от базиса 2 к базису 3 равна

T13

T12

T23

T23 . Чему равна матрица перехода T13 от базиса 1 к базису 3?

149.

Матрица перехода от базиса 1 к базису 2 равна T12 , матрица перехода от базиса 1 к базису

T 1

3 равна T13 . Чему равна матрица перехода T23 от базиса 2 к базису 3?

Матрицы перехода между базисами T12 и

T23 известны

приведены на рисунке.

базис

T23

150.

Найти матрицу перехода

T .

T T 1

T 1

T31

базис

151.

Возможен ли

переход

новому базису той

же

размерности с

использованием

Нет.

вырожденной матрицы перехода? Обосновать.

Найти матрицу перехода от старого базиса к новому.

152.

Старый базис:

e1 1,

2 , e2

1 .

Новый базис:

0 ,

Глава 3

153.	Старый базис: e1 2,				3 , e2		1,				2 .
153.	Новый базис:	e	1,	4 , e			5,				1
		1				2
154.	Старый базис: e1 1,				0,	0 , e2				0,		1,		0 , e3 0,			0,		1 .
154.	Новый базис:	e	2,	1,		1 , e				1,		2,		3 ,	e 2, 1, 2
		1						2							3
155.	Старый базис: e1 1,				0,	0 , e2				0,		0,		1 , e3		0,		1, 0 .
155.	Новый базис:	e	1,	0,		0 , e			0, 1,				0 , e			0,	0,	1
		1					2							3
156.	Старый базис: e1 2, 1,					1 , e2					1, 2,			0 , e3		2,			1, 2 .
156.	Новый базис:	e	1,	0,		0 , e			0, 1,				0 , e			0,	0,	1
		1					2							3
157.	Старый базис: e1 1,				4,	0 , e2				2,		5,		0 , e3 3,			6,		1 .
157.	Новый базис:	e	1,	4,		0 , e			2,			5,	0 , e		3,		6,		2
		1					2							3
158.	Старый базис: e1 1,				0, 1 , e2					1, 1,				0 , e3		3,		1,		1 .
158.	Новый базис:	e	0,	1,		1 , e		2,				1,		1 ,	e 1,			1,		2
		1					2								3
	Выразить координаты вектора									x в новом базисе через его координаты
159.	Старый базис: e1 2,				3 , e2				1,			2 .
159.	Новый базис:	e	1,	0 , e			0, 1 .
	Новый базис:	e	1,	0 , e			0, 1 .
		1				2
160.	Старый базис: e1 1,				2 , e2			1,				1 .
160.	Новый базис:	e	1,			2 ,		e			1,		1 .
	Новый базис:	e	1,			2 ,		e			1,		1 .
		1								2

Найти связь координат одного и того же вектора в двух базисах.

Векторная алгебра					57
			2		11
				5	17
				5	17
2				1	2
1				2	1
1				3	2

			1	0	0
			0	0	1
			0	1	0

	4			2	5
	3			2	4
	2			1	3

			1	0	1
			0	1	2
			0	0	2

		1		3	6
		1		1	5
		0		2	4

в старом базисе

x	2x		x	2	,
1	1			2
x	3x		2x		2
2		1			2
x	x		2x		2
1	1				2
x	3x	2
2		2

161.	Старый базис: e1 2,				1 , e2		1,			1 .
161.	Новый базис:		e	0,	1 , e 1,				0 .
	Новый базис:		e	0,	1 , e 1,				0 .
			1			2
162.	Старый базис: e1 1,					1 , e2		2,		1 .
162.	Новый базис:		e	2,		1 , e		1,		1 .
	Новый базис:		e	2,		1 , e		1,		1 .
			1			2
163.	Старый базис: e1 1,				2 , e2		1,		1 .
163.	Новый базис:		e	0,	1 , e			1,		1 .
	Новый базис:		e	0,	1 , e			1,		1 .
			1			2
	Старый базис:
164.	e1 0, 1,		2 , e2 1,			2,	1 , e3 0,					1, 1 .
164.	Новый базис:
	Новый базис:
	e 1,	0,	0 , e 0,			1,	0 , e		0,		0, 1 .
	1			2				3
	Старый базис:
165.	e1 3, 1,		2 , e2 1,			0, 1 , e3 1,					1,	1 .
165.	Новый базис:
	Новый базис:
	e 1,	0,	0 , e 0,			1,	0 , e		0,		0, 1 .
	1			2				3
	Старый базис:
166.	e1 2,	1, 1 , e2 1,			2, 1 , e3 1, 1, 1 .
166.	Новый базис:		e	1, 0,		0 , e	0,		1,	0 ,	e	0,	0, 1
			1			2					3
	.
	Старый базис:
167.	e1 2,	1, 1 , e2 1,			2, 1 , e3 1, 1, 1 .
167.	Новый базис:		e	0, 0,		1 , e	0,		1,	0 ,	e	1,	0, 0
			1			2					3

												x							1		x						1		x				,
												x									x								x				,
														1				3				1					3					2													x1	x2	,
																		3									3										x1								x1	x2	,
																		2									1								. x										2x x
												x										x								x														2		1		2
												x										x								x
															2			3				1					3					2
												x1										,														x2 ,
												x1				x2						,						x1								x2 ,
												x			2	x .												x								x .
															2							1											2									1
x1								,				3x1								2x2 ,
x1			x1		2x2			,		x1		3x1								2x2 ,
x		2	x	3x					.	x			x x											2
		2	1			2					2						1							2
x 3x					x		x ,						x				x					2	,
	1		1			2			3						1							2		2x											x
	x	2	x	,										x			x							2x								2			x					3		,
		2	1						x							2						1				x						2		x						3
x		3	5x 2x						x				x							2x						x					2			x					3
		3			1			2			3					3							1								2								3
x x					2x			x			,		x				3x x													2			x					3			,
	1			1			2			3					1		x						1							2								3
	x	2	3x		5x					2x ,				x			x							x				3			,
		2	x	1			2									2						1						3						x
x		3	x	x		x							x							2x						x					2			x					3
		3	1		2				3							3							1								2								3
x x				x		,							x				2x x													2			x					3			,
	1		1		3		3x								1								1							2								3
	x	2	2x		x		3x				,			x			x									2x								2		x							3		,
		2		1		2				3						2								1										2									3
x		3	3x x							5x			x				x x											2				x					3
		3			1		2				3					3						1						2									3
x x					x		,						x				x x											2				x					3	,
	1			1		3		2x								1						1						2									3
	x	2	3x x					2x				,			x			x											2x						2		x							3	,
		2	5x		1		2				3					2									1	x									2									3
x		3	5x		x		3x						x							2x						x						2			x					3
		3		1		2				3						3								1								2								3

Глава 3

	Старый базис:		e1	1,		1,	0, 1 , e2			1,	0, 1, 0 ,
168.	Старый базис:		e3	0,		1, 0,	1 , e4		1,		0, 0, 1
168.			e 1,		0,	0, 0 , e		0,		1, 0,		0 ,
	Новый базис:		1	0,			2	0,				1
	Новый базис:		e	0,	0, 1,		0 , e	0,		0,	0,	1
			3				4
	Старый базис:
	e1	1, 1, 1, 1 , e2 1, 2, 1,					1 , e3 1, 1,				2, 1 ,
169.	e4	1, 3, 2,	3
169.	Новый базис:
	Новый базис:
	e	1, 0, 3, 3 , e 2, 3, 5,							4 ,
	1	2, 2, 5,		2			3, 4, 4
	e	2, 2, 5,	4 , e 2,				3, 4, 4
	3			4

x1
		x1		x2
x	2	x	,	x
x		x
		3
x	3	x	1	3
	4		x .
		2		4

	Векторная алгебра											58
			x1		x2			x4				,
x3	x4	, x1	x1		x2			x4				,
x ,		x	x		,			x			,
x ,		x	x	1	,					3
		2		1						3
4		3	x	2			x
		x	x	x		3	x		4			.
		4	1			3			4

x1								,			x1	x2		x3	x4 ,
x1		2x1				x3	x4	,		x1	x1	x2		x3	x4 ,
x	2	3x		x		2x x			,	x	2x	x	2	x	2x		4	,
x	2		1		2		3	4		2	1		2	3			4
x	3	x	2x		2x		x	,		x	2x	x	2	2x	3	3x		4	,
	3	1		2		3	4			3	1		2		3			4
x	4	x	x x x .							x	x	x	2			x	4	.
	4	1		2		3	4			4	1		2				4

	Вектор х задан в базисе a1 , a2 , a3 .			Найти его координаты в базисе b1 , b2 , b3
170.	a1 1, 1, 1 , a2 2, 1, 1 , a3 3,			0, 3 ,	x 1, 1,	1	0, 0,		1
	b1 1, 0,	0 , b2 0, 1,	0 , b3 0,	0, 1 ,

171.	a1 1, 3,	0 , a2 0, 1,	5 , a3 1,	2, 1 ,			1,	2, 0
	b1 1, 2,	5 , b2 1, 3, 0 , b3 3, 9, 6 ,			x 1, 1,	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>