Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Ужгородский национальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

kniga_9

.pdf
Скачиваний:
1163
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
17 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

За формулою Гаусса m

2

можна оцінювати тільки

n

 

 

 

 

безпосередньо виміряні величини, але цього недостатньо для висновків про точність обчисленої величини.

Виведемо формули для визначення середньої квадратичної помилки найпростіших функцій безпосередньо виміряних величин.

1.Нехай шукана величина U є функцією виду:

U Kl ,

(1)

де K – постійне число;

 

l – безпосередньо виміряна величина;

 

ml – середня квадратична помилка виміряної величини l .

Нехай l і U – дійсні помилки аргумента l

і функції U .

Знайдемо залежність між ними. Якщо l зміниться на величину l ,

то U одержить відповідно зміну U , тобто

 

U U K(l l) .

(2)

Розв’язуючи два рівняння (1) і (2), одержимо:

 

U K l

(3)

Якщо величина l вимірювалась n разів, то одержимо n рівнянь

типу (3):

U1 K l1 ;U2 K l2 ;

...............;

Un K ln .

Обидві частини кожного з цих рівнянь піднесемо до квадрата, додамо їх і поділимо на n :

 

U 2

K 2 l 2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

U22 K 2 l22

 

 

 

 

………………

 

 

 

 

 

Un2 K 2 ln2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 2

K 2 l 2

 

 

U 2

 

K 2 l 2

 

,

(4)

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

305

але згідно з формулою Гаусса

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

2

 

m

2

;

 

l

2

m

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

U

 

 

n

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і рівняння (4) можна записати так:

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

K 2 m2

або m

Km

 

(5)

 

U

 

 

 

 

 

l

U

 

 

 

l

 

 

тобто, середня квадратична помилка добутку постійного коефіцієнта на значення аргументу дорівнює добуткові цього коефіцієнта на середню квадратичну помилку аргументу.

Наприклад: відстань визначена за допомогою ниткового оптичного віддалеміра, коефіцієнт віддалеміра К = 100; відлік по рейці виконано з

помилкою

ml 1 см.

Визначити

середню квадратичну

помилку

відстані D .

Віддалемірна відстань визначається за формулою

D Kl ,

тобто вона

є функцією

виду U Kl і, користуючись формулою

mu

Kml ,

одержимо mD 100 1

см = 100 см = 1 м.

 

 

2. Додавання та віднімання виміряних величин.

 

 

Нехай шукана величина є функцією виду:

 

 

 

 

 

 

 

U l1

l2 ,

(6)

де

l1

і l2 – безпосередньо виміряні величини, а U – функція суми.

Дійсні помилки величин

l1 ; l2 і

U

будуть відповідно дорівнювати

l1 ;

l2 і U . Якщо l1

змінити

на величину l1 , а l2 на величину

l2 ,

то U зміниться на величину

U , тоді нові значення аргументів і

функції будуть: l1 l1 ;

l2 l2 і

U U . Підставимо ці значення в

функцію (6) і одержимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U U l1 l1 l2 l2 .

(7)

 

Розв’язуючи два рівняння (6) і (7), одержимо:

 

 

 

 

U l1 l2 .

(8)

 

Якщо величини l1 і

l2 вимірювались n разів, то одержимо n

рівнянь типу (8):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

1

l l

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

U

2

l l

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

.........................

 

 

 

 

 

U

n

l n

l n .

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

306

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Піднесемо ці рівняння до квадрата, додамо їх і поділимо на n .

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

1

 

2l

2l

2 l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

2

 

2l

2l 2 l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...........................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

n

 

2l n 2l n

2 l n l n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

 

2l

 

 

2l

2

2 l l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2l

 

 

2l

2

 

2 l l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

,

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2U

m2 ;

2l

 

m2

 

 

 

2l

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

але

 

 

 

1

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

,

 

 

а

на

 

 

 

підставі

четвертої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

U

n

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

властивості випадкових помилок

l1

0 ; l2

0 . Тому рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

(9) можна записати в такому вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

m2

m2

 

;

 

 

m

 

m2

m2

 

.

(10)

 

 

 

 

 

U

 

 

l

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Міркуючи подібним способом, знайдемо середню квадратичну

помилку функції різниці U l1 l2

 

виміряних величин:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m2

m2 .

 

 

 

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Як бачимо, залежність між середньою квадратичною помилкою суми і середньою квадратичною помилкою різниці двох аргументів виражається однією і тією формулою, тобто – середні квадратичні помилки алгебраїчної суми і різниці двох аргументів дорівнюють кореню квадратному з суми квадратів середніх квадратичних помилок аргументів.

Наприклад: кути і виміряно з середніми квадратичними помилками:

m 3 і

m 5 .

Визначити середню квадратичну помилку m суми цих кутів:

.

Користуючись формулою (10), маємо:

m

m2

m2

 

32 52

5,8 .

 

 

 

 

 

 

307

Якщо ml

ml

.... ml , то в цьому випадку формула (10)

буде

1

 

2

 

 

 

мати вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mU ml 2 ,

(11)

тобто – середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці

двох виміряних з однаковою точністю величин в 2 разів більша за середню квадратичну помилку одного доданка.

Наприклад: обчислити середню квадратичну помилку кута, визначеного як різницю двох відліків, якщо середня квадратична помилка одного відліку дорівнює 0,5 .

Користуючись формулою (11) маємо:

 

 

 

 

 

mU 0,5

2 0,5 1,4 0,7 .

 

Якщо шукана величина є алгебраїчною сумою або різницею

довільної кількості величин, тобто

 

U l1 l2

... ln

то міркуючи

подібним способом, можна записати:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

m2

m2

... m2

,

(12)

U

l

 

l

2

l

n

 

 

 

1

 

 

 

 

 

тобто середня квадратична помилка суми або різниці “ n ” виміряних величин дорівнює кореню квадратному із суми квадратів середніх квадратичних помилок всіх величин.

В окремому випадку, коли всі аргументи даної функції мають однакову середню квадратичну помилку, тобто ml1 ml2 ... mln ml ,

то формула (12) буде мати вигляд:

 

 

 

 

mU ml n ,

(13)

і на підставі формули (13) можна записати, що середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці n виміряних з однаковою

точністю величин в n разів більша за середню квадратичну помилку однієї величини.

Наприклад: середня квадратична помилка відкладання лінії на папері за допомогою вимірника і масштабної лінійки 0,2 мм. Відкладали на папері ламану лінію з 9 відрізків. Обчислити середню квадратичну помилку нанесення на папір всієї лінії. Користуючись формулою (13), маємо:

308

mU 0,2 мм; 9 0,6 мм.

Для обчислення середньої квадратичної помилки вимірювання кутів у тріангуляції користуються нев’язками трикутників. Середня

квадратична помилка суми кутів одного трикутника обчислюється за

 

 

 

 

 

 

формулою Гаусса

m

V 2

 

, тому що нев’язки трикутників V

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можна розглядати як суму дійсних випадкових помилок кутів трикутника, але середня квадратична помилка суми кутів трикутника є функцією суми трьох незалежних рівноточних вимірювань і її середня квадратична помилка обчислюється за формулою:

m m3 ,

де m – середня квадратична помилка вимірювання одного кута трикутника.

Виходить m m , або з урахуванням формули Гаусса одержимо:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

V 2

 

.

3n

 

 

 

 

 

 

 

В даній формулі V нев’язки трикутників, n – число трикутників. Ця формула відома в літературі під назвою формули Ферреро.

3.Лінійна функція U K1l1 K2l2 ... Knln

В цьому виразі K1 ; K2 ... Kn – постійні коефіцієнти, а l1 ; l2 ... ln – окремі незалежні величини (аргументи), визначені з середніми квадратичними помилками ml1 ; ml2 ... mln .

В цьому випадку для оцінки точності користуються формулою:

m

K 2 m2

K 2 m2

... K 2 m2

,

(14)

U

1 l

2 l

2

n l

n

 

 

 

1

 

 

 

 

тобто – середня квадратична помилка алгебраїчної суми або різниці добутків постійної величини на аргумент дорівнює кореню квадратному із суми квадратів добутків постійної величини на середню квадратичну помилку відповідного аргументу.

У випадках, коли K1 K2 ... Kn K формула (14) буде мати вид:

309

 

 

 

 

m

K m2

m2

... m2

,

 

(15)

 

 

 

 

U

l

 

l

2

 

l

n

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

а

якщо

вимірювані

величини

l1 ;

l2

...

ln

рівноточні і

ml

ml

2

... ml

ml , тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mU Kml n .

 

 

 

 

(16)

 

Наприклад: довжину лінії l

вимірювали частинами

оптичним

нитковим віддалеміром, коефіцієнт віддалеміра

К = 100,

а помилка

відліку по рейці на першому відрізку лінії

m1 2

см; на другому

m2

3

см і на третьому m3 1 см. Користуючись формулою (15),

маємо:

ml 1004 9 1 10014 3,7 см.

4.Функція загального виду: U f (l1 , l2 ...ln ) .

Величина U є функцією багатьох незалежних величин.

В цьому випадку для оцінки точності вимірювань користуються

формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дf

 

2

 

дf

 

2

 

дf

 

 

2

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

m

 

...

 

 

m

 

,

(17)

 

 

 

 

 

U

 

дl

l1

 

 

дl

2

l2

 

 

дl

n

ln

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто, середня квадратична помилка функції загального виду дорівнює кореню квадратному із суми квадратів добутків часткових похідних за кожним аргументом на середню квадратичну помилку відповідного аргументу.

Наприклад: виміряно дві сторони прямокутника: a 51,25 м і b 25,42 м.

Середні квадратичні помилки цих сторін відповідно дорівнюють: ma 0,03 м, а mb 0,02 м.

Визначити площу прямокутника і її середню квадратичну помилку.

P ab 51,25 25,42 1302,76 м2;

mP b2ma2 a2mb2 25,422 0,032 51,252 0,022 1,28 м2; P 1302,76 м2; 1,28 м2.

310

§ 194. Арифметична середина

Якщо маємо ряд з n рівноточних вимірювань будь-якої величини,

дійсне значення якої дорівнює X , а її виміряні значення: l1 ; l2

... ln ,

то дійсні помилки кожного результату вимірювання будуть:

 

l1 X 1

 

l2 X 2

(1)

.................

 

 

ln X n

 

Додаючи почленно рівняння (1), одержимо:

 

l1 l2 ... ln nX 1 2 ... n

 

або, приймаючи скорочені позначення сум l nX .

 

Звідси визначимо дійсне значення виміряної величини:

 

X l

,

(2)

n

n

 

На підставі четвертої властивості випадкових помилок другий

член правої частини рівняння (2)

приблизно дорівнює 0,

тобто

 

n

 

дуже малий і ним можна знехтувати. Перший член правої частини рівняння (2) є середнім арифметичним із всіх результатів вимірювань,

або арифметичною серединою, тобто X l L , якщо n . n

Арифметична середина із всіх рівноточних вимірювань однієї і тієї величини дорівнювала б дійсному значенню, якби проводилось нескінченне число вимірювань. На практиці виконують певне число вимірювань, тому арифметична середина буде відрізнятись від дійсного значення на невелику помилку. Середнє арифметичне із результатів вимірювань називається найімовірнішим значенням

вимірюваної величини і позначається буквою, L ; тобто L nl .

§ 195. Середня квадратична помилка арифметичної середини

Допустимо, що ми маємо результати рівноточних вимірювань будь-якої величини l1 ; l2 ... ln . Обчислимо її арифметичну середину:

311

L

l1 l2 ... ln

 

1

l

 

1

l

 

...

1

l

 

,

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n 1

 

n

2

 

n

n

 

де

1

– постійне число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглядаючи рівняння (1), можемо сказати, що арифметична

середина L є функцією виду:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U Kl Kl ... Kl

де K

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Середня квадратична помилка цієї функції обчислюється за

формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

K 2 m2

K 2m2

... K 2m2

,

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

l

 

 

 

 

 

l

2

 

 

 

 

 

l

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

але вимірювання рівноточні, тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

m1 ... m1

m1 m ,

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mL

 

1

m2

 

1

m2 ...

1

 

 

m2

 

n

m2

 

m2

 

 

 

 

 

 

n2

 

n

 

 

 

 

n2

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

Позначивши

середню

квадратичну

помилку

 

mL арифметичної

середини через M , одержимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

m

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто, середня

 

квадратична

 

помилка

арифметичної середини

(найімовірнішого значення) з результатів рівноточних вимірювань дорівнює середній квадратичній помилці одного вимірювання, поділеного на корінь квадратний з числа вимірювань.

З формули (2) виходить, що арифметична середина точніша від

будь-якого окремого вимірювання в n разів.

Середня квадратична помилка m одного вимірювання служить критерієм для оцінки точності даного ряду вимірювань, а M – середня квадратична помилка арифметичної середини служить критерієм точності виведення середнього із даного ряду вимірювань.

312

її значення

§ 196. Ймовірніші помилки та їх властивість

На практиці, в більшості випадків, дійсне значення вимірюваної величини невідоме, тому невідомі також дійсні помилки . В таких випадках замість дійсного значення вимірюваної величини беруть середнє арифметичне із результатів вимірювань, тобто найімовірніше

L nl . Потім знаходять відхилення від середньо-

арифметичного значення вимірюваної величини і кожного безпосередньо виміряного значення. Різниця між найімовірнішим значенням вимірюваної величини і даним результатом, одержаним із вимірювань, називається ймовірнішою помилкою. Якщо ми маємо виміряні значення величини l1 , l2 , ..., ln , дійсне значення якого

невідоме, то для знаходження ймовірніших помилок V необхідно

визначити найімовірніше значення цієї величини, а потім знайти

різницю між кожним виміряним і найімовірнішим її значенням.

 

L

l1 l2 ... ln

l

(1)

 

 

n

n

 

l1 L V1

 

 

l2 L V2

 

(2)

................

 

 

ln L Vn .

 

 

Різниці V є ймовірнішими помилками.

 

Додамо почленно всі ймовірніші помилки системи рівнянь (2),

одержимо l1 l2

... ln

nL V1 V2 ... Vn , або з урахуванням

позначень сум:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l nL V ,

 

 

(3)

Поділивши рівняння (3) на n, одержимо:

 

 

 

l

L V ,

 

 

(4)

 

 

n

n

 

 

 

але l є арифметичною серединою, тобто

l

L і рівняння (4) можна

n

 

 

 

 

 

n

 

записати L L

V

; тобто, 0

V

або

V

0 . Виходить, що сума

 

 

 

 

 

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

313

ймовірніших помилок дорівнює “0” при будь-якому числі вимірювань. Цю властивість ймовірніших помилок використовують для контролю

правильності обчислення арифметичної середини і помилок V .

§197. Середня квадратична помилка одного вимірювання

ісередня квадратична помилка арифметичної середини, виражені через ймовірніші помилки

Ми маємо ряд результатів рівноточних вимірювань однієї і тієї величини l1 , l2 , ..., ln , дійсне значення якої X , а найімовірніше значення L . Обчислимо дійсні і ймовірні помилки V :

l1 X 1

 

l1 L V1

 

l2 X 2

(1)

l2 L V2

(2)

.................

 

................

 

ln X n

 

ln L Vn

 

Віднімаючи від кожного рівняння системи (1) відповідно рівняння системи (2), одержимо:

L X 1

V1

 

L X 2

V2

(3)

........................

 

L X n Vn

 

В лівій частині рівнянь системи (3) різниці L X

є дійсними

помилками арифметичної середини. Замінимо їх квадратичними помилками арифметичної середини М, тоді

M 1 V1

 

 

 

1 M V1

 

M 2 V2

 

 

 

2 M V2

 

...................

 

 

 

 

...................

(4)

M n Vn

або

 

 

n M Vn

 

Піднесемо кожне рівняння системи (4) до квадрата і додамо:

 

 

2

M 2 2MV V 2

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

M 2 2MV V 2

 

 

2

2

2

 

 

 

 

……………………….

 

 

 

2

M 2 2MV V 2

 

 

 

n

n

n

 

 

 

 

2

nM 2 2M V V 2

(5)

314

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности