kniga_9

267

§ 211. Зрівнювання незалежної мережі нівелірних ходів способом В.В. Попова

Мережу нівелірних ходів називають незалежною, якщо вона не прив’язана до реперів державної нівелірної мережі, або прив’язана тільки до одного репера. Такі мережі зручно зрівнювати способом полігонів В.В. Попова.

Для цього складають схематичний рисунок мережі полігонів з зазначенням номерів вузлових точок і полігонів, довжин ходів (в кілометрах), сум перевищень і числа штативів (станцій) кожної ланки.

На рис. 201: А – вихідна нівелірна марка; В, С, D – вузлові точки, які не мають відміток; L – довжина ланок в кілометрах; n – число штативів; стрілками показано напрями з додатними перевищеннями.

Безпосередньо, згідно з рисунком, підраховують нев’язки в сумах перевищень по кожному полігону, визначаючи знаки нев’язок для напрямів, що збігаються з ходом годинникової стрілки. Визначають якість виміряних перевищень шляхом порівняння одержаних нев’язок з допустимими, обчисленими згідно з вимогами нівелювання ІV кл. за

формулою: f hдоп 20 мм L .

В наведеній формулі L – довжина ходу, виражена в кілометрах. Обчислені і допустимі нев’язки записують на рисунку в середині

відповідних полігонів (рис. 201).

Рис. 201

268

Складають схему полігонів для зрівнювання перевищень (рис. 202) і вказують на ній номери вузлових точок і полігонів.

На цій схемі в середині кожного полігона, під його номером, заготовляють табличку нев’язок (в міліметрах), а біля кожної ланки – табличку поправок, при цьому по зовнішніх ланках – по одній табличці з зовнішньої сторони, а по внутрішніх ланках – по дві таблички з обох сторін кожної ланки.

Після цього обчислюють з точністю до 0,01 червоні числа для кожної ланки кожного полігона за правилом: червоне число ланки дорівнює числу штативів ланки, поділеному на число штативів всього полігона (або довжині ланки в км, поділеній на периметр всього полігона).

Для ланок АВ, ВD і DА першого полігона (рис. 202) відповідно будемо мати такі червоні числа: 0,45, 0,33 і 0,22. Сума червоних чисел в кожному полігоні повинна дорівнювати 1. Червоні числа виписують над відповідними табличками червоним кольором. Безпосередньо на схемі розподіляють нев’язки, починаючи з найбільшої за абсолютною величиною в такій послідовності: множать нев’язку даного полігона послідовно на кожне червоне число його ланки. (В нашому прикладі для ІІІ полігона, з якого почали зрівнювання, одержали поправки +25, +8, +14). Одержані добутки записують в зовнішні таблички поправок під відповідними червоними числами з знаком нев’язки і сума всіх добутків повинна дорівнювати величині нев’язки, тобто нев’язці III полігона. На схемі розподілену нев’язку підкреслюють.

Переходять до сусіднього полігона І. В табличці нев’язок записують під нев’язкою полігона нову, одержану, як алгебраїчну суму нев’язки з поправкою, винесеною за рахунок спільної ланки з сусіднього полігона (+38) + (+8) = (+46). Нову нев’язку множать послідовно на червоні числа кожної ланки даного полігона, і одержані добутки записують у відповідні таблички поправок, контролюючи їх суму, яка повинна дорівнювати величині нев’язки.

Після цього переходять до наступного, II полігона, підраховують його нову нев’язку, в якій враховані внесені за рахунок спільних ланок поправки з сусідніх полігонів (–42) + (+15) + (+14) = (–13), з цією нев’язкою поступають так само, як описано в попередніх полігонах.

Закінчивши, таким чином, перший круг, переходять знову до початкового полігона. Підраховують його нову нев’язку, яка складається з алгебраїчної суми поправок, внесених з спільних ланок сусідніх полігонів (+10) + (–4) = (+6). Записують її в табличку нев’язок, множать послідовно на червоні числа ланок. Одержані добутки записують у відповідні таблички поправок і контролюють

269

суми добутків. Потім, переходячи послідовно від полігона до полігона, поступають аналогічно до тих пір, поки нев’язки всіх полігонів будуть дорівнювати нулю, тобто будуть винесені за зовнішні межі полігонів.

Рис. 202

Після закінчення розподілу нев’язок підраховують алгебраїчну суму поправок в кожній табличці і записують її під подвійною лінією. Обчислюють поправки в сумах перевищень по кожній ланці і записують їх на схемі, в дужках, біля відповідної ланки з внутрішньої сторони полігона.

Поправка в суму перевищень внутрішньої ланки дорівнює алгебраїчній сумі чисел зовнішньої таблички поправок, взятій з протилежним знаком, плюс алгебраїчна сума чисел внутрішньої таблички поправок.

270

Наприклад, в II полігоні:

для ходу СD поправка буде: –(–4) + (+16) = (+20);

для ходу DВ поправка буде: –(–3) + (+14) = (+17); для ходу ВС поправка буде: –(–5) + 0 = (+5).

Обчислені поправки записують в таблицю зрівнювання полігонів, (табл. 28). Алгебраїчна сума поправок по кожному полігону повинна дорівнювати величині нев’язки з протилежним знаком.

Після обчислення поправок в перевищення виконують оцінку точності нівелювання, тобто обчислюють середню квадратичну помилку одиниці ваги і середню квадратичну помилку нівелювання на

Таблиця 28

271

За вихідною відміткою марки А і відповідних сум перевищень з урахуванням поправок обчислюють відмітки вузлових точок В, С, D, контролюючи їх за всіма наявними напрямами:

Обчислення відміток можна виконувати безпосередньо на схемі, або у відомості обчислення відміток.

Способом В.Б. Попова можна зрівнювати також незалежні мережі теодолітних ходів.

Спочатку зрівнюють горизонтальні кути, розподіляючи кутові нев’язки в зімкнутих полігонах пропорціонально червоним числам. Обчислюють зрівняні дирекційні кути і прирости координат. За обчисленими приростами координат підраховують нев’язки в приростах координат в кожному зімкнутому полігоні. Нев’язки у приростах координат розподіляють в зімкнутих полігонах так, як виконували зрівнювання перевищень в незалежній нівелірній мережі, виконуючи окремо зрівнювання приростів абсцис і приростів ординат.

272

Розділ ХVІІ

Автономні методи визначення азимута

§ 212. Сутність автономних методів визначення азимута

До автономних методів визначення азимута відносяться такі методи, в яких вимірювання на кожному пункті не залежать від результатів вимірювання на інших пунктах.

До автономних методів визначення азимутів відносяться астрономічний та гіроскопічний.

Найбільш точним методом є астрономічний, але його застосування залежить від метеорологічних умов і його неможливо застосувати для орієнтування підземних геодезичних мереж. Найбільш прийнятним і ефективним є гіроскопічний метод. Гіроскопічним методом можна визначати азимут напряму за порівняно короткий час (1–2 години) з точністю 15 –60 . Перевага цього методу полягає в тому, що вимірювання азимута гіроскопічними приладами не залежить від умов погоди, пори року і доби, а також від густоти геодезичної мережі району робіт.

Визначувані орієнтирні напрями можуть розташовуватися як на поверхні землі, так і в шахтах та інших підземних спорудах.

Спостереження з гіроскопічними приладами порівняно прості і виконуються досить швидко, а процес вимірювання може бути повністю автоматизованим.

Автономні методи визначення азимута застосовують для орієнтування незалежних знімальних мереж, для прив’язки теодолітних і полігонометричних ходів і для підвищення їх точності.

§ 213. Сутність визначення азимута із астрономічних спостережень

Азимут A напряму OM на земний предмет є сума A a Q азимута a напряму на небесне світило (зірку, Сонце) в певний момент часу T і виміряного в той же час горизонтального кута Q між напрямами на світило і земний предмет M (рис. 203).

273

Рис. 203

Азимут світила не може бути виміряний безпосередньо, тому що напрям астрономічного меридіана ON не відмічений на місцевості. Азимут a можна обчислити, попередньо вимірявши висоту світила над горизонтом або середній момент часу вимірювання горизонтального кута Q . Дійсно, спостерігаючи небесні світила з

даної точки, можна помітити, що положення їх на небесній сфері з плином часу постійно змінюється за висотою і за азимутом. Очевидно, існує залежність, яка дозволяє визначати азимут a , який відповідає часу вимірювання горизонтального кута Q .

Таким чином, суть визначення астрономічного азимута напряму на земний предмет полягає в обчисленні астрономічного азимута a на момент часу, коли вимірювався горизонтальний кут між напрямами на світило і місцевий предмет.

§ 214. Відомості з сферичної тригонометрії

Для визначення азимута напряму з астрономічних спостережень необхідно розглядати кути і трикутники, які розташовані на сферичній поверхні. Тому розглянемо попередньо необхідні формули для

називається сферичним трикутником. Сферичним кутом називається кут, утворений на сфері перетином двох дуг великих кругів.

Наприклад, сферичний кут CAB утворений перетином дуг великих

274

кругів ABA1 B1 і ACA1C1 . Точки A , B і C , перетин дуг великих кругів на сфері, називаються вершинами сферичних кутів, а дуги AB , BC і AC великих кругів, які знаходяться між вершинами кутів, називаються сторонами трикутника. Кути сферичного трикутника позначаються, аналогічно плоскій тригонометрії, великими літерами, якими позначено вершини трикутника, а сторони – малими літерами, відповідно протилежним кутам (рис. 204). Сторони сферичного трикутника є дугами, так само, як і кути, будуть виражатися в градусах, мінутах і секундах. Сторони сферичного трикутника можна виразити лінійною мірою, якщо відомий радіус сфери. В сферичному трикутнику сума кутів завжди більша 180° і менша 540°. Якщо в сферичному трикутнику один кут дорівнює 90°, то такий трикутник називається прямокутним. Сферичний трикутник має шість елементів

– три кути і три сторони.

Трикутник можна розв’язати, якщо відомі три будь-які елементи трикутника.

Рис. 204

§ 215. Основні формули сферичної тригонометрії

Сферичний трикутник ABC (рис. 204) можна розв’язати за однією із формул сферичної тригонометрії.

Т ео р ем а с и н усі в д л я с фер ич но го тр и к ут н и к а Синуси сторін сферичного трикутника пропорційні синусам

протилежних кутів.

275

Ф о р м ул а к о с и н уса с то р ін сф ер ич но го тр и к ут н и ка Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку

косинусів двох інших його сторін, доданого до добутку синусів тих же сторін на косинус кута між ними.

cos a cos c cos b sin csinbcos A ; cos b cos ccos a sincsinacos B ; cos c cos acos b sinasinbcos C .

Ф о р м ул а к о с и н уса к ут а сфер ич но го тр ик ут н и к а Косинус кута сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів

двох інших кутів, взятого з протилежним знаком, доданого до добутку синусів тих же кутів на косинус сторони між ними.

cos A cos C cos B sinC sin B cos a ; cos B cos Acos C sin AsinC cos b ; cos C cos Acos B sin Asin Bcos c .

Ф о р м ул а п ’я т и ел ем е н т ів Добуток синуса сторони на косинус прилеглого кута дорівнює

добутку косинуса протилежної цьому куту сторони на синус третьої сторони без добутку синуса протилежної сторони на косинус третьої сторони і на косинус кута між ними.

sinacos B cos bsinc sinbcos ccos A ; sinacos C cos csinb sinccos bcos A ; sinbcos C cos csina sinccos acos B ; sinbcos A cos asinc sinacos ccos B ; sinccos A cos asinb sinacos bcos C ; sinccos B cos bsina sinbcos acos C .

Ф о р м ул а к о т а нге н сі в а бо фо р м ул а чо т ир ьо х е л ем е нт і в В формулу входять дві сторони і два кути (рис. 205).

Добуток котангенса крайньої сторони на синус внутрішньої дорівнює добутку косинусів внутрішніх елементів, доданого до добутку синуса внутрішнього кута на котангенс крайнього:

276