kniga_9

ctga sinb cos bcos C sinCctgA

Формули для розв’язання прямокутних сферичних трикутників. Якщо в сферичному трикутнику (рис. 206) кут A 90 , тоді

sin A 1 , cos A 0 , ctgA 0

розв’язувати за одним із таких правил:

1. Косинус окремого елемента прямокутного сферичного трикутника дорівнює добутку синусів елементів, не суміжних з ним.

cos a cos b cos c ; cos B cos bsinC ; cos C cos csin B ; sinb sinasin B ; sinc sinasinC .

2. Косинус середнього елемента прямокутного трикутника дорівнює добутку котангенсів крайніх, суміжних з ним елементів.

cos a ctgBctgC ; cos B ctgatgc ; cos C ctgatgb ; sinb tgcctgC ; sin c tgbctgB .

277

3. В прямокутному сферичному трикутнику відношення тангенса одного із катетів до тангенса протилежного кута дорівнює синусу другого катета:

§ 216. Короткі відомості про Всесвіт

Для визначення астрономічних широт, довгот і азимутів астрономічними методами спостерігають Сонце або зорі. Величини зірок домовились характеризувати числами, при цьому найслабші, які видно неозброєним оком, це зорі шостої величини.

Всі зорі, різні за величиною, на небесній сфері об’єднані в сузір’я, назви яких нагадують персонажі або події античної міфології.

Окремі зорі в сузір’ях позначають буквами грецької азбуки або просто номерами.

Видимі форми сузір’їв і взаємне розташування зірок залишаються постійними, не дивлячись на рух Землі по орбіті, рух всієї Сонячної системи і на власний рух зірок. Знайти на небі ту чи іншу зірку досить важко навіть озброєним оком, але спостерігач повинен бути впевнений в тому, що зірка, яку він спостерігає, є тією, яка намічена програмою його спостережень. Для цього спостерігачеві необхідно знати в момент спостереження азимут і зенітну віддаль цього світила. Таблиці, в яких на певні моменти часу приведені азимути і зенітні віддалі небесних світил, називаються ефемеридами.

§ 217. Небесна сфера і її елементи

Внаслідок обертання Землі навколо своєї осі небо здається спостерігачеві у вигляді сфери, яка обертається зі сходу через південь на захід, на внутрішній поверхні якої розташовані небесні світила. В дійсності ніякої матеріальної сфери немає, і зорі, Сонце, Місяць, планети знаходяться на різних відстанях від Землі, але в астрономії користуються поняттям “небесна сфера”, тому що воно спрощує опис небесних явищ і математичних розрахунків. Небесною сферою називається уявна сферична поверхня, описана радіусом довільної довжини з центром в точці стояння спостерігача або центром Землі, на поверхню якої начебто спроектовані всі зорі, які спостерігаються.

За радіус небесної сфери приймають нескінченність. Положення світил на небесній сфері визначається координатами, які беруть свій початок від конкретних точок і ліній на небесній сфері.

278

Визначимо на небесній сфері основні точки і лінії, пов’язані з добовим обертанням Землі, пунктом спостереження і видимим рухом Сонця.

1. Точки та лінії, пов’язані з видимим обертанням небесної сфери.

Уявна пряма PP1 (рис. 207), паралельна до осі обертання Землі,

навколо якої відбувається видиме добове обертання небесної сфери, називається віссю світу. Вісь світу перетинає небесну сферу в точках P і P1 , які називаються відповідно північним і південним полюсами

світу. Північний полюс світу знаходиться поблизу Полярної зірки. Площина, перпендикулярна до осі світу, яка проходить через центр небесної сфери, називається площиною небесного екватора, а лінія перетину QRQ1 цієї площини і сфери називається небесним

екватором.

Рис. 207

Переріз небесної сфери площиною, яка проходить через вісь світу і будь-яку точку, наприклад через світило , називається кругом

схилення цієї точки. P RP1 – круг схилення світила . Внаслідок видимого обертання небесної сфери кожне світило за добу описує коло q q1 в площині, паралельній до екватора. Коло q q1 називається

добовою паралеллю світила . Миттєве положення світила на небесній сфері визначається перетином круга схилення і паралелі, які проходять через дане світило.

2.Точки та лінії, пов’язані з розташуванням спостерігача.

279

Вискова лінія ZZ1 (рис. 208), яка проходить через точку

спостереження, перетинає небесну сферу в двох діаметрально протилежних точках: в точці зеніту Z , яка знаходиться над головою спостерігача, і в точні надиру Z1 , яка знаходиться під його ногами.

Площина, яка перпендикулярна до вискової лінії і проходить через центр небесної сфери, називається площиною небесного (дійсного)

площиною небесної сфери – астрономічним, або дійсним меридіаном точки спостереження.

Рис. 208

Очевидно, що кожній точці на земній поверхні відповідає свій меридіан. Площини меридіана і горизонту в перерізі утворюють полудневу лінію NS . Точки N і S перетину цієї лінії з небесною сферою називаються точками півночі і півдня.

Площини, які проходять через вискову лінію ZZ1 , називаються вертикальними площинами, а їх переріз з небесною сферою – вертикалами, або кругами висот ZRZ1 . Вертикал ZWZ1E , площина

якого перпендикулярна до площини небесного меридіана, носить назву першого вертикала. Він перетинає горизонт в точках сходу E і заходу W . По лінії EW перерізуються три площини: горизонту, екватора і першого вертикала. Перераховані точки, лінії і площини (рис. 208) не беруть участь у видимому добовому обертанні небесної

280

сфери. Вони складають начебто нерухомий каркас, всередині якого обертається небесна сфера.

3. Точки та лінії, пов’язані з видимим рухом Сонця по небесній сфері.

Кожне світило рухається з великою космічною швидкістю, але відстані від Землі до зірок настільки великі, що кутові переміщення зірок, які рухаються навіть з такою великою швидкістю, незначні. Тому взаємне положення зірок на небесній сфері в період спостережень можна вважати постійним. Але видиме положення Сонця і планет на небесній сфері відносно зірок змінюється досить швидко.

Земля є супутником Сонця, обертається навколо нього по орбіті, яка має вигляд еліпса. Повний оберт відбувається впродовж одного року. Спостерігачеві з Землі здається, що Сонце рухається відносно Землі роблячи повний оберт протягом року. Тому в сферичній астрономії прийнято вести мову про видимий річний рух Сонця. Шлях видимого річного руху Сонця по небесній сфері утворює собою коло  E  E1 (рис. 209) великого круга, яке називається екліптикою, а

площина, в якій воно розташоване, площиною екліптики. Площина екліптики нахилена до площини екватора на кут 23°27 . Екліптика і небесний екватор перетинаються в точках  (Овен) і  (Терези), які відповідно називаються точками весняного і осіннього рівнодення.

Рис. 209

В першій з них – Сонце буває весною, 21 березня, коли воно перетинає екватор, проходячи із південної півкулі небесної сфери в північну, а в другій – восени, 23 вересня, при зворотному переході.

281

Ці дати називаються днями весняного і осіннього рівнодення. Верхню E і нижню E1 точки екліптики, найбільш віддалені від

екватора, називають точками, відповідно літнього і зимового сонцестояння. Екліптика і небесний екватор також належать небесній сфері, і всі їх точки, включаючи  і , беруть участь в її добовому обертанні разом з іншими точками сфери.

§ 218. Добовий рух світил

Спостерігаючи в даній точці земної поверхні за рухом Сонця і зірок, можна переконатися, що вони кожного дня сходять в східній частині неба, досягають свого найвищого положення на небесній сфері і заходять в західному напрямі за горизонт. Найбільша висота підняття світил над горизонтом різна, але для однієї і тієї ж зірки вона в даній точці земної поверхні однакова в усі дні року, а найбільша висота Сонця над горизонтом в різні дні не однакова.

Видимий рух небесних світил обумовлений обертанням Землі навколо своєї осі. Обертання Землі навколо своєї осі відбувається досить рівномірно, і повний оберт відбувається протягом доби. Отже, впродовж однієї доби повний оберт здійснює також небесна сфера, тому рух світил називають добовим. Кожна зірка рухається по своїй добовій паралелі.

Легко помітити, що світила двічі перетинають даний меридіан. Проходження світил через меридіан називають кульмінаціями світил. Розрізняють верхню кульмінацію, коли світило на меридіані знаходиться ближче до зеніту, і нижню кульмінацію, коли світило на меридіані найбільш віддалене від зеніту.

Якщо добова паралель qq1 світила 1 (рис. 210) знаходиться вище горизонту, то таке світило називається незаходячим (циркумполярне).

відповідних двох точках: східна точка називається точкою сходу, а західна – точкою заходу світила.

282

Рис. 210

§ 219. Системи координат небесних світил

Положення світила на небесній сфері визначається двома сферичними координатами, подібно тому, як розташування точки на земній поверхні визначається широтою і довготою відносно двох взаємно перпендикулярних ліній: екватора та початкового меридіана.

В астрономії користуються трьома системами координат: горизонтною, першою екваторіальною та другою екваторіальною, які відрізняються між собою положенням двох взаємно перпендикулярних великих кругів, прийнятих за початкові.

1.Система горизонтальних координат.

В горизонтній системі за осі координат прийнято круги, пов’язані з точкою спостереження на земній поверхні: небесний горизонт і дійсний меридіан точки спостереження. Положення світила на небесній сфері відносно прийнятих кругів визначається двома горизонтними координатами: висотою та азимутом.

Висотою h світила (рис. 211) називається дуга R круга висот від небесного горизонту до даного світила . Цією дугою вимірюється центральний кут OR , складений площиною небесного горизонту і

напрямом на світило. Замість висоти h часто користуються зенітною віддаллю світила, тобто дугою Z Z , яка доповнює висоту світила до 90 . Очевидно Z h 90 . Азимутом a світила називається дуга SR небесного горизонту від точки півдня до вертикала даного світила. Величина цієї дуги чисельно рівна сферичному куту SZR або центральному куту SOR . Внаслідок добового обертання небесної сфери висота і азимут світила постійно змінюються.

283

Рис. 211

2.Перша система екваторіальних координат.

В першій системі екваторіальних координат за одну із координатних осей приймається та сама лінія, що і в системі горизонтних координат, – астрономічний (дійсний) меридіан точки спостереження, а за другу – небесний екватор. Положення світила на небесній сфері в цій системі визначається схиленням і годинним кутом. Схиленням світила (рис. 212) називається дуга R круга схилення від небесного екватора до даного світила . Ця дуга відповідає центральному куту RO , утвореному площиною небесного екватора і напрямом на світило. Замість схилення світила іноді користуються його полярною віддаллю P .

Рис. 212

284

екватора. На північ від екватора схилення супроводжують знаком плюс, а на південь від екватора – знаком мінус.

Годинним кутом t світила називається дуга небесного екватора від астрономічного меридіана до круга схилення світила. Величина цієї дуги чисельно рівна сферичному куту ZP з вершиною на полюсі світу або центральному куту QOR в центрі небесної сфери. Годинний кут

відраховується від південної частини меридіана за ходом годинникової стрілки до круга схилення світила і змінюється від 0° до 360°.

Годинний кут світила постійно змінює свою величину внаслідок добового обертання небесної сфери. Схилення світила залишається постійним (якщо світилом є зірка), тому що його величина не залежить ні від добового обертання небесної сфери, ні від розташування точки спостереження на земній поверхні. Годинний кут світила постійно змінює свою величину пропорціонально часові. Величиною годинного кута користуються при вимірюванні часток доби.

Годинні кути в більшості випадків зручно відраховувати не в градусній, а в часовій мірі: 24h 360 ; 1h 15 ; 1m 15 ; 1s 15 .

3.Друга система екваторіальних координат.

Координати світил можуть бути постійними тільки в тих випадках, коли обидві осі координат беруть участь в добовому обертанні небесної сфери.

Такими осями є небесний екватор QRQ1 і круг схилення точки

весняного рівнодення P Р1 (рис. 213). Положення світила на небесній сфері в другій системі екваторіальних координат визначається схиленням і прямим сходженням. Схилення світила є координатою, спільною з першою системою екваторіальних координат.

Рис. 213

285

Прямим сходженням світила називається дуга небесного екватора R від точки весняного рівнодення  до круга схилення світила. Величина цієї дуги чисельно рівна сферичному куту P  з вершиною на полюсі світу або центральному куту RO  з вершиною в центрі небесної сфери.

Пряме сходження, як і годинний кут першої системи екваторіальних координат, вимірюється в часовій мірі. Відлік прямих сходжень світил починається від точки весняного рівнодення в напрямі, протилежному добовому обертанню небесної сфери, тобто проти ходу годинникової стрілки. Так як точка весняного рівнодення , небесний екватор і круг схилення світила обертаються разом з небесною сферою, то пряме сходження зірки не змінюється з плином часу або з переміщенням спостерігача. Координати і є постійними величинами для кожної зірки, тому вони подаються в астрономічних каталогах, наприклад, в Астрономічному щорічнику. Незначні зміни і зірок обумовлені повільним переміщенням полюса світу і небесного екватора відносно нерухомих зірок.

§ 220. Час та його вимірювання

Внаслідок добового обертання небесної сфери азимути, годинні кути і висоти світил постійно змінюються. Отже, визначення положення світил за допомогою цих координат можливе тільки в тому випадку, коли ми одночасно будемо указувати час, до якого ці координати відносяться, тому визначення часу для астрономії є цілком необхідним і має першорядне значення. Час можна виміряти, якщо взяти за одиницю вимірювання які-небудь періодичні явища, що повторюються з однаковою тривалістю. До таких явищ відносяться: добове обертання Землі і її річне обертання навколо Сонця.

Таким чином, проміжки часу „доба” і „рік” визначені самою природою.

Для вимірювання часток доби (годин, хвилин і секунд) застосовуються спеціальні прилади, які відтворюють періодичні процеси – це маятникові, кварцеві, атомні та інші годинники.

Зо р я н и й ча с Зоряна доба – це проміжок часу між двома послідовними верхніми

кульмінаціями будь-якої зірки, будь-якої точки небесної сфери, в тому числі точки весняного рівнодення .

Зоряну добу ділять на 24 зоряні години, зоряну годину – на 60 зоряних хвилин, одну хвилину – на 60 зоряних секунд. За початок

286