kniga_9

Геодезичні задачі на поверхні еліпсоїда обертання розв’язуються порівняно легко. Розв’язування різних геодезичних задач і математичне опрацювання геодезичних вимірювань проводиться на поверхні земного еліпсоїда.

Еліпсоїд, який найкраще підходить до фігури геоїда в цілому, називається загальним земним еліпсоїдом. Встановити параметри цього еліпсоїда є одним з головних завдань вищої геодезії.

Р ефер е н ц -е л і псо ї д Референц-еліпсоїдом називається еліпсоїд обертання з

конкретними розмірами його півосей, певним способом орієнтований в тілі Землі і прийнятий для геодезичних робіт в даній країні.

В нашій країні з 1942 р. користуються референц-еліпсоїдом Красовського Ф. М.

Основні параметри земного еліпсоїда та розміри референцеліпсоїда Красовського Ф. М. (рис. 4).

Рис. 4

а= ОЕ = ОЕ1 – велика піввісь; в = ОР = ОР1 – мала піввісь;

a b – полярне стиснення еліпсоїда; a

а= 6378245,00 м;

в = 6356863,02 м;= 1:298,3.

7

§ 5. Визначення місцезнаходження точок на кулі і на площині

Місцезнаходження точки на поверхні Землі визначається її географічними координатами: широтою і довготою.

За методом визначення географічні координати можуть бути астрономічними і геодезичними. Астрономічні координати одержують внаслідок спостережень за небесними світилами. На рис. 5:

РГКР1 – початковий меридіан, який проходить через Грінвіцьку обсерваторію;

РМFР1 – географічний меридіан точки М; РР1 – вісь обертання Землі.

Рис. 5

Площина, проведена через центр Землі 0 перпендикулярно до осі обертання РР1, утворить в перерізі з земною кулею лінію ЕFКЕ1, яка називається земним екватором. Якщо взяти на земній поверхні довільну точку М, то її місцезнаходження можна визначити в географічній с и ст ем і ко о р д и на т : ш ир о то ю – і д о вго то ю – . МО – прямовисна лінія точки М.

Географічною широтою називається кут, утворений прямовисною лінією в даній точці і площиною екватора. Географічною довготою

8

називається двогранний кут, утворений площиною географічного меридіана даної точки з площиною Грінвіцького меридіана, взятого за початок відліку довгот. Якщо для одного (початкового) пункту географічні координати і визначити з астрономічних спостережень, а для всіх інших точок широти і довготи обчислити за результатами геодезичних вимірювань, то широти і довготи таких точок називаються, на відміну від географічних, геодезичними координатами; їх позначають: через В – широту, L – довготу.

По н я т тя пр о пр ям о к ут н і ко о р д и на т и В геодезії найбільше поширення має система прямокутних

координат.

У цьому випадку для різних розрахунків та обчислень досить знати формули плоскої геометрії і тригонометрії. В цій системі координат беруть на площині дві прямі XX і УУ, які перетинаються під прямим кутом, і їх називають осями координат. На рис. 6:

XX – вісь абсцис УУ – вісь ординат

0 – початок координат

Відрізки: 0m абсциса і 0m1 ордината визначають місцезнаходження точки М1 на площині.

Рис. 6

9

§ 6. Зображення земної поверхні на площині

Земну поверхню неможливо спроектувати на площину без розривів і спотворень, тому проектування виконують по частинах.

Для графічного зображення місцевості користуються головним чином ортогональним методом проектування, беручи за основу прямовисні лінії, як такі, що зберігають постійний і цілком визначений напрям в будь-якій точці Землі (рис. 7).

Рис. 7

§ 7. Загальні відомості про зональну систему плоских прямокутних координат Гаусса-Крюгера

Німецький математик К.-Ф. Гаусс запропонував спроектувати поверхню Землі на циліндр, а потім розгорнути циліндр і одержати зображення земної поверхні на площині. Для простоти судження, в даному випадку, припустимо, що Земля має фігуру кулі (рис. 8).

На краях в обидві сторони від лінії дотику кулі і циліндра спотворення все одно збільшуються, тому беруть окремі зони кулі і проектують їх на циліндр.

Застосовуючи проекцію Гаусса, поверхню Землі поділяють меридіанами на частини, які називаються зонами. В нашій країні різниця довгот двох суміжних меридіанів, які поділяють земну

10

поверхню на зони, встановлена 6 і 3 . За початок відліку зон беруть нульовий меридіан, який проходить через Грінвіч (рис. 9). Відлік зон ведуть на схід від нульового меридіана. Меридіани, які проходять посередині зон, називаються осьовими меридіанами.

осьовий меридіан

Рис. 8

В системі шести градусних зон довгота осьового меридіана першої зони дорівнює 3 , а другої 9 , а зони з номером “n” 0 = 6 n–3 .

Рис. 9

В проекції Гаусса кожна зона проектується на циліндр окремо. Спроектувавши окрему зону на циліндр, розгортають циліндр в площину, при цьому осьовий меридіан зобразиться прямою лінією і

11

вся зона вийде у вигляді плоского зображення із збереженням всіх розмірів зображення на циліндрі. Осьовий меридіан зони на площині відобразиться без спотворень і його приймають за вісь абсцис.

Лінія екватора зони відобразиться на площині також прямою лінією – її приймають за вісь ординат. Точка перетину осьового меридіана і екватора на площині береться за початок прямокутних координат зони (рис. 6).

§ 8. Висоти точок земної поверхні: абсолютні і відносні

Для визначення висоти точки А необхідно вибрати початкову поверхню. За початкову поверхню в геодезії приймають поверхню геоїда. Тоді положення точки А в вертикальному відношенні визначиться прямою А0А. Величину А0А = На називають висотою точки А. За аналогією висота точки В виражається відрізком В0В = НВ. (рис. 10).

Рис. 10

Слід відзначити, що проектування точок місцевості проводиться переважно на рівневу поверхню океану (геоїд). При роботах спеціального характеру з метою проектування беруть інші рівневі поверхні, які краще відповідають меті роботи.

12

Тому, щоб не було плутанини висоти точок земної поверхні, які відраховують відносно рівня поверхні океану, прийнято називати абсолютними висотами.

Висоти точок, взяті відносно іншої умовної рівневої поверхні, називають умовними (відносними) висотами А'А = Н'а, В'В = Н'в. Числове значення висоти називається відміткою або позначкою.

Величину “h” називають перевищенням однієї точки місцевості над іншою. Тобто, різниця висот двох рівневих поверхонь називається перевищенням.

Перевищення може бути додатним і від’ємним, тому перевищення завжди супроводжується знаком плюс або мінус.

Графічне зображення вертикального розрізу місцевості в заданому напрямі на фізичній поверхні Землі називається профілем.

13

РОЗДІЛ II Масштаби

§ 9. Поняття про масштаб зображення. Види масштабів: чисельний та лінійний

Горизонтальні проекції ліній місцевості не можуть бути відкладені на папір в натуральну величину. Щоб відкласти довжину лінії на папері, її необхідно зменшити. Ступінь зменшення ліній при відкладанні їх на папері називається масштабом карти (плану).

В багатьох випадках горизонтальна проекція мало відрізняється від довжини самої лінії, тому іншими словами – масштабом називається відношення довжини лінії на карті до довжини відповідної лінії на місцевості. Це відношення можна написати у вигляді дробу, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник числу, яке показує в скільки разів зменшені зображені лінії на карті. Наприклад: 1:25000, 1:10000, 1:5000. Масштаб, виражений відношенням чисел, називається чисельним (числовим). Зображення на карті більше, якщо знаменник масштабу менший і навпаки. За допомогою чисельного масштабу на практиці розв’язують дві наступні задачі:

1.Знаючи довжину лінії на місцевості, вирахувати ту довжину, яку вона повинна мати в даному масштабі на плані.

2.Знаючи довжину лінії на плані, вирахувати її довжину на місцевості.

Перша задача розв’язується діленням довжини лінії на зменшений

в100 раз знаменник масштабу.

Друга задача є оберненою першій і розв’язується множенням довжини лінії на плані на зменшений в 100 раз знаменник чисельного масштабу.

Наприклад:

1.Визначити довжину лінії на плані dПЛ, якщо відома довжина цієї лінії на місцевості dm = 130,7 м, масштаб плану 1:1000, dПЛ = dm n; n – число метрів на місцевості, яке відповідає 1 см на плані в заданому масштабі n = 1000:100 = 10 м dПЛ = 130,7:10 = 13,1 см

2.Визначити довжину лінії на місцевості, якщо довжина її на

карті dПЛ = 5,3 см, а масштаб карти 1:10000, n = 10000:100 = 100 м. dm = 5,3 100 = 530 м.

Лі н і й н и й м ас ш та б На практиці для розв’язання двох попередніх задач не вдаються до

множення та ділення, а користуються спеціальною графічною побудовою, яка називається лінійним масштабом.

14

Для побудови лінійного масштабу беруть пряму лінію АВ і на ній декілька разів, відкладають який-небудь відрізок АС, переважно 2 см (рис. 11). Цей відрізок називається основою масштабу. Перший з лівої сторони відрізок АС поділяють на десять рівних частин, для того щоб можна було вимірювати на карті і відкладати на ній десяті частини основи масштабу. За початок відліку довжин беруть штрих між першим і другим великим відрізками (основами) лінійного масштабу і відмічається “о”, вправо від нуля підписують числа, які відповідають цілим основам масштабу, а зліва від нуля – його частини, така десята частина називається найменшою поділкою масштабу. За допомогою такого масштабу сотні і десятки метрів відраховуються безпосередньо, а окремі метри оцінюються приблизно. Всяка лінійка з сантиметровими і міліметровими поділками може бути використана як графічний масштаб. Якщо потрібно виміряти на карті віддаль між точками А і В, то для цього голки вимірника прикладають до точок А і В карти, а потім прикладають вимірник до лінійного масштабу так, щоб ліва ніжка припадала зліва від нуля, а права попадала точно на яку-небудь поділку вправо від нуля. Віддаль між точками А і В буде дорівнювати сумі відліків по двох ніжках вимірника, частини малих поділок визначаються приблизно.

Рис. 11

По п ер еч н и й м ас шт аб Щоб підвищити точність вимірювання і відкладання ліній на плані

(карті), використовують так званий поперечний масштаб. Поперечний масштаб будують в такий спосіб:

на прямій лінії КL декілька разів відкладають основу масштабу. Основу масштабу, як правило беруть 2 см (рис. 12).

Із всіх одержаних таким способом точок проводять перпендикуляри. Два крайні перпендикуляри КD і LМ поділяють на десять рівних частин і через ці мітки проводять прямі паралельно до

15

лінії KL. Перший лівий відрізок KС і DB також поділяють на десять рівних частин і ці мітки з’єднують між собою скісними лініями в такій послідовності:

початок верхньої лінії – з кінцем першої поділки нижньої лінії, кінець першої поділки верхньої лінії – з кінцем другої поділки нижньої лінії і т. д. Розглянемо трикутник АВС (рис. 13). Із подібності

побудови AB = 0,1 основи масштабу, Cb1 = 0,1 довжини відрізка СВ,

а3b3 = 0,03 ... тобто кожний відрізок відрізняється від сусіднього на 0,01 основи масштабу. За допомогою поперечного масштабу можна не оцінювати приблизно, а вимірювати і відкладати на карті відрізки з точністю 0,01 основи масштабу.

Поперечний масштаб з основою 2 см, на якому підписані цифри, означають цілі, десяті і соті долі основи (а не довжину ліній на місцевості), називається нормальним поперечним масштабом, яким можна користуватися під час вимірювання і відкладання відрізків при будь-якому чисельному масштабі.

16