Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

Нехай ряд (1.3) збігається і його сума дорівнює Sv , тоді

lim Sn (v) = Sv .

n→∞

Члени ряду (1.3) знакододатні, тому Sn (v) ≤ Sv , а оскільки виконується нерівність (1.5), тоSn (u) ≤ Sv . Отже, послідовність частинних сум {Sn (u)} монотонно зростаюча і обмежена зверху числом Sv . За теоремою Вейєрш-

трасса існує границя lim Sn (u) = Su , тобто ряд (1.2) є збіжним.

n→∞

Нехай ряд (1.2) розбіжний. Оскільки члени цього ряду невід’ємні, то

Зауваження. Теорема 2 справджується й у випадку, коли нерівність 0 ≤ un ≤ vn виконується не для всіх членів рядів, а починаючи з де-

якого номера n > N0 .

На практиці більш ефективною є гранична ознака порівняння.

додатними членами. Якщо існує скінченна, відмінна від нуля, границя

lim un = k ( 0 < k < ∞ ),

n→∞ vn

то вказані ряди одночасно збіжні або розбіжні.

Для порівняння часто використовують такі ряди: а) геометричний ряд; б) гармонічний ряд;

в) узагальнений гармонічний ряд (або ряд Діріхле—Рімана).

Зауваження. При дослідженні рядів на збіжність корисно знати, що показникова функція an ( a > 1 ) при n → ∞ зростає швидше, ніж

11

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.4.2. Ознака Д’Аламбера

Основний недолік застосування ознак порівняння полягає в необхідності вибору еталонного ряду, тобто ще перед дослідженням ряду ми повинні передбачити його поведінку. Ознака Д’Аламбера дає можливість для певних типів рядів розв’язати задачу про збіжність, використовуючи лише дії над самим рядом.

∞

Теорема 4 (ознака Д’Аламбера). Нехай ∑ un — ряд з додатними чле-

n=1

нами. Якщо існує границя

lim un+1 = l,

n→∞ un

то рядзбігаєтьсяпри l < 1 ірозбігаєтьсяпри l > 1 (тут l можебутирівним ∞ ). Якщо l = 1, то ряд може бути збіжним або розбіжним, і для розв’язан-

ня питання про збіжність ряду потрібні додаткові дослідження.

нерівності

uN +1 < quN ,

uN + 2 < quN +1 < q2uN ,

uN +3 < quN + 2 < q3uN ,

....................................

12

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Порівняємо ряди uN +1 + uN + 2 + uN +3 + … та quN + q2uN + q3uN + … . Оскільки останній ряд збігається як сума нескінченно спадної геометричної

прогресії із знаменником q (0; 1) , то за ознакою порівняння ряд uN +1 + uN + 2 + uN +3 + … збігається, отже, збігається і початковий ряд.

2) l > 1. Тоді, починаючи з деякого номера N, виконується нерівність

збіжності ряду зручно проводити за допомогою радикальної ознаки Коші. Її формулювання має певну схожість із формулюванням ознаки Д’Аламбера.

∞

Теорема 5 (радикальна ознака Коші). Якщо для ряду ∑ un з додат-

n=1

ними членами існує скінченна або нескінченна границя

lim n un = l,

n→∞

то цей ряд збіжний, якщо l < 1, і розбіжний, якщо l > 1.

У випадку l = 1 питання про збіжність ряду залишається відкритим.

Зауваження.

1. Ознакою Д’Аламбера доцільно користуватися насамперед тоді, коли

загальний член ряду містить n! або показникову функцію an .

2. Існують випадки, коли застосування ознаки Д’Аламбера не при-

Pm (n) , Qk (n) — многочлени степенів m і k відповідно, завжди дістають

l = 1, що потребує додаткового дослідження, зазвичай застосування ознак порівняння.

13

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

3. При використанні радикальної ознаки Коші користуються відомими

гочлен степеня m ).

1.4.4. Інтегральна ознака Коші. Узагальнений гармонічний ряд

Теорема 6 (інтегральна ознака Коші). Нехай члени знакододатного ря-

часно збіжні або розбіжні.

Доведення. Розглянемо криволінійну трапецію, обмежену графіком функції y = f (x) , віссю Ох та прямими x = 1 , x = n (рис. 1.1). Площа її дорів-

n

нює In = ∫ f (x)dx . Впишемо в цю трапецію й опишемо навколо неї ступін-

y = f(x)

Рис. 1.1

Порівнюючи площі криволінійної трапеції та утворених фігур, дістанемо нерівності

f (2) + f (3) + …+ f (n) < In < f (1) + f (2) + …+ f (n − 1) ,

тобто

u2 + u3 + …+ un < In < u1 + u2 + …+ un−1 ,

або

Тут Sn — частинна сума ряду.

14

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Розглянемо можливі випадки:

∞

1) Нехай інтеграл ∫ f (x)dx збіжний. Це означає, що існує границя

1

Доведемо, що в цьому випадку існує границя lim Sn , тобто ряд є збіж-

n→∞

ний. Для цього достатньо показати, що {Sn } — монотонно зростаюча та обмежена зверху послідовність. Справді, оскільки f (x) > 0 , то послідовності {Sn } та {In } монотонно зростаючі. Крім того, враховуючи нерівність (1.6), дістаємо

Sn < u1 + In < u1 + I,

звідки випливає обмеженість послідовності {Sn } . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність частинних сум {Sn } має границю і ряд є збіжний.

∞

розбіжний.

Дослідимо за допомогою інтегральної ознаки Коші узагальнений гар-

монічний ряд

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

При p = 1 маємо гармонічний ряд, який розбігається:

де un > 0 ( n = 1, 2,… ) називатимемо альтерновним. У такому ряді знаки

членів строго чергуються, тобто довільні сусідні члени мають різні знаки. Збіжність ряду (1.7) досліджують за допомогою достатньої ознаки,

встановленої Лейбніцем.

Теорема 7 (Ознака Лейбніца.) Альтерновний ряд (1.7) збіжний, якщо:

1) u1 > u2 > u3 > ... > un > ... ;

2) загальний член ряду прямує до нуля: lim un = 0 .

n→∞

Іншими словами, ряд (1.7) збіжний, якщо послідовність його членів монотонно прямує до нуля при n → ∞ .

При цьому сума S ряду задовольняє подвійну нерівність

0 < S < u1 .

Доведення. Розглянемоспочаткучастиннусумузпарнимчисломчленів:

S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + ... + u2n−1 − u2n =

=(u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + ... + (u2n−1 − u2n ).

Зпершої умови теореми випливає, що кожна різниця у дужках додатна, тому S2n > 0 і {S2n } — зростаюча послідовність. З іншого боку,

S2n = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − ... − (u2n− 2 − u2n−1 ) − u2n < u1 ,

бо вирази у дужках додатні.

16

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Отже, послідовність частинних сум {S2n } зростає і обмежена зверху

числом u1 . Тому вона має границю lim S2n = S, причому 0 < S < u1 .

n→∞

Обчислимо тепер границю частинних сум з непарним числом членів. Зрозуміло, що S2n+1 = S2n + u2n+1 . Враховуючи другу умову теореми, дістаємо

де un > 0 ( n = 1, 2,… ), також є альтерновним. Після домноження всіх йо-

го членів на –1 дістанемо ряд вигляду (1.7).

Ряди вигляду (1.7) та (1.8) називають рядами лейбніцевого типу.

2.Перша умова ознаки Лейбніца може виконуватися не з першого, а починаючи з деякого номера.

3.З ознаки Лейбніца випливає, що абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (1.7) його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто

S − Sn ≤ un+1 ,

або

rn ≤ un+1 .

Цю властивість використовують для наближеного обчислення суми альтерновного ряду із заданою точністю.

Альтерновний ряд є окремим випадком знакозмінного ряду.

Числовий ряд, що містить нескінченну кількість як додатних, так і від’ємних членів, називають знакозмінним.

Для знакозмінних рядів справджується така достатня ознака збіжності.

Теорема 8 Нехай числовий ряд

∞

u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = ∑ un

n=1

є знакозмінним (тут числа u1 , u2 , … можуть мати довільний знак).

17

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Якщо збігається знакододатний ряд

∞

| u1 | + | u2 | + | u3 | +...+ | un | +... = ∑| un |,

n=1

утворений із модулів членів заданого ряду, то збігається і сам знакозмінний ряд.

Із цієї теореми випливає, що при дослідженні на збіжність знакозмінних рядів можна користуватися ознаками збіжності знакододатних рядів.

Наприклад, знакозмінний ряд

збігається, оскільки ряд

∞ | cos n |

∑ n2 ,

n=1

утворений із модулів членів даного ряду, збігається.

( p = 2 > 1), то за ознакою порівняння (теорема 2) ряд із модулів збігається, отже, за теоремою 8 збігається і вихідний ряд.

Зауваження. Зазначимо, що обернене до теореми 8 твердження неправильне: якщо знакозмінний ряд збігається, то це не означає, що збігається ряд, складений із модулів його членів.

Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо ряд, складений із модулів його членів, збігається.

Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо ряд, складений із модулів його членів, розбігається, а сам ряд є збіжним.

лютно збіжним.

Абсолютно збіжним рядам притаманна низка властивостей, якими не володіють умовно збіжні ряди. Сформулюємо основні властивості абсолютно збіжних рядів.

18

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.Якщо ряд абсолютно збіжний і його сума дорівнює S, то ряд, утворе-

ний з нього перестановленням членів, також збігається і має ту саму суму S, що і заданий ряд.

2.Абсолютно збіжні ряди з сумами S1 та S2 можна почленно додавати (віднімати). Утворений ряд є абсолютно збіжним, і його сума дорівнює

S1 + S2 ( S1 − S2 ).

3.Добуток двох абсолютно збіжних рядів із сумами S1 та S2 є абсо-

лютно збіжний ряд, сума якого дорівнює S1S2 .

Т.1 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

це значить, що заданий ряд збіжний і його сума S = − 16 .

∞2

2.Знайдіть суму ряду n∑=1 n(n + 1)(n + 2).

Розв’язання. Розклавши загальний член ряду на елементарні дроби, дістанемо

19

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Отже, сума ряду S = 12 .

3. Дослідіть на збіжність ряд

∞ 1

Розв’язання. Цей ряд дістаємо із гармонічного ряду n∑=1 n, якщо його

домножити на 2 і відкинути перші п’ять членів. Гармонічний ряд розбіжний, а добуток ряду на ненульове число і відкидання скінченної кількості членів не порушує його розбіжності. Тому заданий ряд розбіжний.

Доведіть розбіжність рядів, використовуючи достатню ознаку розбіжності ряду.

∞3n + 1

4.n∑=1 100n + 7 .

Розв’язання. Знайдемо границю загального члена ряду:

отже, ряд розбіжний.

Розв’язання. Знайдемо границю загального члена ряду:

Отже, ряд розбіжний.

20

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/